平方根与立方根及实数(综合提高).doc

平方根与立方根知识点小结及练习 一、知识要点1、平方根：、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。2、立方根：、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即0；有意义的条件是a0。4、公式：()2=a（a0）；=（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ； （5）100； （6） （7）0.25例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各数的立方根： 343； ； 0.729；（4） 343 ；（5） ；（6）-0.0064；（7）-729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a0时，a的平方根是，即a是非负数.例4、若求yx的立方根.练习：1、已知求的值.2、已知，求xyz的值。3、已知互为相反数，求a，b的值。三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a0时，a的平方根是，而例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.六、实数1、实数：有理数和无理数统称为实数我们一般用下列两种情况将实数进行分类：按属性分类： 按符号分类 2关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用在实数范围内，不仅可以进行加减乘除乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算 3实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、 等 思考：（1）a2一定是负数吗？a一定是正数吗？（2）是一个无理数，那么1在哪两个整数之间？(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=_, b=_ (4)实数包括_或_；(5)下列各数：，0，其中无理数有（ ）个七、实数大小比较的方法一、平方法 比较和的大小二、移动因式法 比较和的大小三、求差法 比较和1的大小四、求商法 比较和的大小练习：比较下列各组数的大小：和；和；和；和2.45。八、解答题1、当时，化简 2、已知实数a 、b在数轴上表示的点如上图，化简+ 3、已知是实数，且有，求的值.4、已知为有理数，且，求的平方根 【课堂练习】1无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2如果，则是一个 数，的整数部分是 .3的平方根是 ，立方根是 .4的相反数是 ，绝对值是 .5若 .6当时，有意义；7当时，有意义；8若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；9当时，化简;10的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）. A、B、C、D、11全体小数所在的集合是（ ）.A、分数集合B、有理数集合C、无理数集合D、实数集合12等式成立的条件是（ ）.A、 B、 C、 D、13若，则等于（ ）.A、B、C、D、14、0.25的平方根是 ；125的立方根是 ；15计算：=；=；的绝对值等于16若x的算术平方根是4，则x=；若=1，则x=；17若-9=0，则x=；若27+125=0，则x=；18当x时，代数式2x+6的值没有平方根；19= ；20若，则x+y= ；21若，则.22立方根是8的数是， 的立方根是。23如果x、y满足=0，则x= ，y=；24、如果a的算术平方根和立方根相等，则a等于 ；25、如果式子有意义，则x的取值范围为 。26、在整数 和整数 之间，在整数 和整数 之间。27、121的算术平方根是是 ，的算术平方根是 。28、 的算术平方根是它本身。 的平方根是它本身。29、已知一个正数的平方根是3x-2 和 5x+6，则这个数是 。30、已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,a的值是 。二、计算：1、（1） （2） （3） （4） (5) (6) (7) (8) 2若，求的值.3