迭代图形迭代u.ppt

Koch曲线 试想 Koch曲线的长度是多少 一 图形迭代 Koch曲线的实现 一 图形迭代 Koch曲线的生成元 曲线的修改规则R是 将每一条直线段F0用一条折线F1替代 称F1为该分形的生成元 分形的维数 设生成元由n条线段构成 每段长度为原线段长度的1 m 则该分形的维数定义为 一 图形迭代 Koch曲线的维数 想一想 分数维数有什么道理 分形维数大小反映了分形的什么特性 分形的维数 在欧氏空间中 人们习惯把空间看成三维的 平面或球面看成二维 而把直线或曲线看成一维 也可以稍加推广 认为点是零维的 还可以引入高维空间 但通常人们习惯于整数的维数 分形理论把维数视为分数 这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念 1919年 数学家从测度的角度引入了维数概念 将维数从整数扩大到分数 从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限 分形的维数 维数和测量有着密切的关系 下面我们举例说明一下分维的概念 客观事物有它自己的特征长度 要用恰当的尺度去测量 用尺来测量万里长城 嫌太短 用尺来测量大肠杆菌 又嫌太长 如物理学中的湍流 湍流是自然界中普遍现象 小至静室中缭绕的轻烟 巨至木星大气中的涡流 都是十分紊乱的流体运动 流体宏观运动的能量 经过大 中 小 微等许许多度尺度上的漩涡 最后转化成分子尺度上的热运动 同时涉及大量不同尺度上的运动状态 就要借助 无标度性 解决问题 湍流中高漩涡区域 就需要用分形几何学 分形的维数 对一条线段 如果我们用0维的点来量它 其结果为无穷大 因为直线中包含无穷多个点 如果我们用一块平面来量它 其结果是0 因为直线中不包含平面 那么 用怎样的尺度来量直线它才会得到有限值呢 看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值 所以直线的维数为1 大于0 小于2 对Koch曲线来讲 其整体是一条无限长的线折叠而成 所以 用小直线段量 其结果是无穷大 而用平面量 其结果是0 此曲线中不包含平面 那么只有找一个与Koch曲线的维数相同的尺子量它才会得到有限值 而这个维数显然大于1 小于2 那么只能是小数了 所以存在分维 经过计算Koch曲线的维数是1 2618 分形的维数 一般地 如果某图形是由把原图缩小为1 a的相似的b个图形所组成 即有 ad b 称为相似维数 d可以是整数 也可以是分数 例如 假设线段 正方形和立方体 它们的边长都是1 将它们的边长二等分 即将原图的线段缩小为原来的1 2 则线段 正方形 立方体将分别被等分为21 22和23个相似的子图形 这里的1 2 3分别是线段 正方形和立方体的维数 分形的维数 一般地 如果某图形是由把原图缩小为1 a的相似的b个图形所组成 即有 ad b 称为相似维数 d可以是整数 也可以是分数 对Koch曲线 把原图形 直线段 缩小为1 3的4个图形 直线段 组成 因此 Koch曲线的维数d满足 3d 4 即d Log34 1 26 分形图片 思考 练习 从一个单位边长的正三角形出发 用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形称为Koch雪花曲线 即将每一条边三等分 再以每一条边的中间一段为边 向外作等边三角形 然后再对每一条边重复这样的操作 如此下去产生的图形 下面是迭代次数n 3的情况 编程画出Koch雪花曲线 试计算Koch雪花曲线的边长及面积 观察Koch曲线是否光滑 即每一点是否有切线存在 二 什么是分形 1 谁创立了分形几何学 20世纪有四项发明 发现足以影响后世 相对论 量子论 分形 混沌 其中 前两项属于物理 后两项属于数学 美籍法国数学家B B Mandelbrot 曼德尔布罗特 生于1924年 于本世纪70年代中期开创了分形几何 fractalgeometry 以其在1975年发表的 分形 形 机遇和维数 论文为标志 B Mandelbrot观察到英国海岸线与VanKoch曲线的关系 提出了一门描述大自然的几何形态的学科 分形 Fractal 英国的海岸线长度是多少 这竟然和Koch曲线的长度的计算方法相同 严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情 但是 有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义 这些定义中 最为流行的一个定义是 分形是一种具有自相似特性的现象 图象或者物理过程 Mandelbrot在1986年提出的定义是 分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形 原文是 Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway 也就是说 在分形中 每一组成部分都在特征上和整体相似 只仅仅是变小了一些而已 Mandelbrot说 fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚 他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时 突然想到的 此词源于拉丁文形容词fractus对应的拉丁文动词是frangere 破碎 产生无规碎片 此外与英文的fraction 碎片 分数 及fragment 碎片 具有相同的词根 在70年代中期以前 曼Mandelbrot一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想 因此 取拉丁词之头 撷英文之尾的fractal本意是不规则的 破碎的 分数的 Fractal一词的由来 2 分形思想的形成 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975年首先提出的 但最早的工作可追朔到19世纪 1875年 德国数学家维尔斯特拉斯 K Weierestrass构造了处处连续但处处不可微的函数 1890年 意大利数学家皮亚诺 G Peano构造了填充空间的曲线 1904年 瑞典数学家科赫 H vonKoch设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线 1915年 波兰数学家谢尔宾斯基 W Sierpinski设计了象地毯和海绵一样的几何图形 这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例 但它们正是分形几何思想的源泉 1910年 德国数学家豪斯道夫 F Hausdorff开始了奇异集合性质与量的研究 提出分数维概念 1928年布利干 G Bouligand将闵可夫斯基容度应用于非整数维 由此能将螺线作很好的分类 1932年庞特里亚金 L S Pontryagin等引入盒维数 1934年 贝塞考维奇 A S Besicovitch更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维 他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献 从而产生了豪斯道夫 贝塞考维奇维数概念 以后 这一领域的研究工作没有引起更多人的注意 先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来 二 什么是分形 3 分形几何与传统几何 从整体上看 分形几何图形是处处不规则的 例如 海岸线和山川形状 从远距离观察 其形状是极不规则的 在不同尺度上 图形的规则性又是相同的 如海岸线和山川形状 从近距离观察 其局部形状又和整体形态相似 它们从整体到局部 都是自相似的 当然 也有一些分形几何图形 它们并不完全是自相似的 其中一些是用来描述一般随即现象的 还有一些是用来描述混沌和非线性系统的 二 什么是分形 4 分形的应用 1 数学 动力系统2 物理 布朗运动 流体力学中的湍流3 化学 酶的构造 4 生物 细胞的生长5 地质 地质构造6 天文 土星上的光环其他 计算机 经济 社会 艺术等等 三 复函数迭代产生的分形 1 复函数迭代的一般概念 讨论对什么样的初值z0收敛或有界