选修2-1圆锥曲线与方程单元复习测试题.doc

欢迎光临中学数学信息网 选修2-1圆锥曲线与方程单元复习测试题钱耀周（广东佛山市南海区南海中学，528211）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )A. B. C. D.【解析】椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.2.已知双曲线,则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于( )A. B. C.2D.4【解析】依题意可知,故选C.3.与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.【解析】设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为,点到轴的距离为,则有,而,所以,化简得.故选A.4.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则( )A. B. C.D.【解析】因为双曲线,故,排除,将方程变为标准式.由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方=4.即,所以.选A.当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来.5.已知双曲线的一条准线与两渐近线的交点分别为、,相应于这条准线的焦点为,如果是等边三角形,那么双曲线的离心率为( )A.2 B. C.4 D.【解析】不妨设双曲线的方程为,则渐近线的方程为,准线方程为.设双曲线的准线与其渐近线分别相交于两点,由双曲线的性可知两点关于轴对称,易求得,又|AB|2|CA|2,又ABF为等边三角形,|CF|=|AB|,即,整理得,从而.故选A.6.抛物线上的点到直线距离的最小值是( )A. B. C. D.【解析】抛物线上任意一点到直线的距离,因为,所以恒成立.从而有,易得最小值,故选A.7.已知抛物线上一定点和两动点,当时,点的横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】设,由得,即, ,因为,所以上式化简得,由基本不等式可得或,故选D.8.直线与曲线的公共点的个数为( ) A. 1 B.2 C.3 D.4【解析】将代入得,显然该关于的方程有两正解,即有四解,所以交点有4 个,故选择答案D.9.椭圆上有个不同的点,椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为( )A.199 B.200 C.198 D.201【解析】由题意知,要使所求的最大,应使最小,最大,又为椭圆的右焦点,设的横坐标为故由第二定义可得,其中,所以当时, ,当时,最大.由等差数列的通项公式可得,即,又因为,解得.10.点到点,及到直线的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么的值是( )A. B. C.或 D.或【解析】(思路一)点在抛物线上,设,则有,化简得,当=时,符合题意;当时,=0,有+=0,得,选D.(思路二)由题意有点在抛物线上,在直线上,当时,为直线与准线的交点,符合题意;当=时,为直线与抛物线通径的交点,也符合题意,故选D.11.某人获悉一个岛上三处藏有宝物,由于年代久远,有的数据缺失,记载如下:岛上有一棵椰子树,由叶子树向东走3米为藏宝处,继续向东走米,到达处然后向东偏北走米为藏宝处(其中为缺少数据),由向南走为藏宝处,三个藏宝处在以为焦点,椰子树的南北方向所在直线为相应的准线的双曲线上.寻宝的关键是推出的值,的准确值为( ) A.28;4 B.14;4 C.28;8 D.14; 8【解析】建立坐标系,由第二定义得,然后特值验证,选A.12.已知为四面体的侧面内的一个动点,且点与顶点的距离等于点到底面的距离,那么在侧面内,动点的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( )A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆【解析】把问题转化成动点到的距离与它到边的距离比值问题,当然需分两种情况考虑,其一是侧面底面,此时动点到的距离等于它到边的距离,其二,若侧面与底面不垂直,过在侧面内作,易知.故选D.【解析】二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.椭圆的两个焦点为,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么是的_倍.【解析】依题意得.由于焦点关于轴对称,所以必垂直于轴.,.14.要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为_米.【解析】由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,所以柱子的高度为1米.15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和.若是的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是_【解析】由已知椭圆与双曲线有相同的焦点可知,又,解得,椭圆的离心率为.16.已知两点,给出下列直线方程:;.则在直线上存在点满足的所有直线方程是_.(只填序号)【解析】答案:.由可知点在双曲线的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为,直线过原点且斜率,所以直线与双曲线无交点;直线与直线平行,且在轴上的截距为故与双曲线的右支有两个交点;直线的斜率,故与双曲线的右支有一个交点.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知三点、. (1)求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程; (2)设点、关于直线的对称点分别为、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.【解析】(1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为+,其半焦距., ,故所求椭圆的标准方程为+. (2)点、关于直线的对称点分别为、设所求双曲线的标准方程为-,由题意知半焦距, ,故所求双曲线的标准方程为-.18.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数). (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆上一点,且过点的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.【解析】(1)设所求椭圆方程为.由已知得:,所以.故所求椭圆的方程为:. (2)设,直线,则点.当时,由于.故,.又点在椭圆上,所以,解得.当时,.于是,解得.故直线的斜率为0或.19.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点,以双曲线的左准线为准线.(1)求抛物线的方程；xlAMByO(2)若直线垂直平分抛物线的弦,求实数的取值范围。【解析】(1)双曲线的左准线方程是,故抛物线的方程为；(2)解法一:设抛物线被直线垂直平分的弦的方程为,则设、,则，,从而弦的中点,由此及点在直线上得,代入式得,解之得,故实数的取值范围是.解法二:依题意,设、,则弦的中点,从而有.因为点在直线上,所以.注意到点在抛物线的内部,故,即实数的取值范围是.20.(本小题满分12分)根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高3,宽1.6.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道,为保障双向行驶安全,交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4的距离行驶.已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱宽为,求能使卡车安全通过的的最小整数值.xyCABO【解析】如图,以拱口所在直线为轴,以拱高所在直线为轴建立直角坐标系,由题意可得抛物线的方程为点在抛物线上,得.抛物线方程为.取,代入抛物线方程得,.由题意,令即3, . . 又,应取14,15,16,.答:满足本题条件使卡车安全通过的的最小正整数为14.21.(本小题满分12分)已知平面上一定点和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为,且 (1)问点在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点,是否存在实数,使 得以线段为直径的圆经过点?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)设的坐标为,由得（2分） 化简得 点在双曲线上,其方程为(2)设点的坐标分别为、,由 得，与双曲线交于两点, ,即解得若以为直径的圆过,则,即,解得,故存在值为.OAPBxy22.(本小题满分14分)如图,和两点分别在射线、上移动,且,为坐标原点,动点满足.(1)求的值；(2)求点的轨迹的方程,并说明它表示怎样的曲线?(3)若直线过点交(2)中曲线于两点,且,求的方程.【解析】(1)由已知得 (2)设,由得 ,整理得，又 ,点的轨迹方程为 它表示以原点为