重积分的应用解析.ppt

8 4重积分应用 8 4 2重积分在物理上的应用 8 4 1重积分在几何上的应用 8 4 1重积分在几何上的应用 1 二重积分的元素法 设 在闭区域 似地表示为 上连续 类似于定积分 的元素法 若要计算的某个变量 对于闭区域 有可加性 在闭区域 内任取一个直径很小的闭区 域 也表示该区域的面积 时 相应部分量可近 的形式 其中 具 这个 称为所求量 的元素 记为 所求量 的积分表达式为 2 曲面的面积 的方程为 设曲面 以 截曲面S为dS 的边界为准线 母线平行于 S的面积元素 得曲面面积公式为 或曲面面积公式 设曲面方程为 类似可得曲面面积公式分别为 或 例1求球面 含在圆柱面 内部的面积A 解 由于 例2求底圆半径相等的两个直交圆柱面 所围立体的表面积 解因第一卦限部分的表面积由两个相同部分构成 故只需求出一个部分的表面积 再乘16即得所求的表面积 的差是2米 假设水平面 例3在海湾中的一个小岛的陆地高度 小岛在涨潮与落潮时 露出水面的面积是变化的 海潮的高潮与低潮之间 解本题实质是求曲面面积问题 由题设可知 对应于低潮的位置 求 高潮与低潮时的小岛露出水面的面积之比 单位为米 关键是找到高潮和低潮时的 低潮时 高潮时 于是 由 得到 由 得到 用极坐标计算 面积比 练习1求半径为 的球的表面积 练习2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地 面的高度为 运行的角速度与地球自转 的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值 地球半径 其中 为该质点系的总质量 分别为质点系对 轴 轴的静矩 8 4 2重积分在物理上的应用 1 质心 平面上有 个质点 它们分别位于 处 质量分别为 则该质点系的质心的坐标为 设 当薄片是均匀的 质心称为形心 设有一平面薄片 占有 面上的闭区域 在点 处的面密度为 假定 上连续 求平面薄片的质心 在 占有空间有界闭区域 在点 处的 密度为 的物体的质心坐标 其中 例4求位于两圆 均匀薄片的形心坐标 和 之间的 解闭区域 轴上 即 对称于 轴 所以质心 必在 且 所求质心为 例5设球体占有闭区域 对称性可知其质心坐标 它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的 为正常数 距离的平方 求该球体的质心 解由题意可知 又由 中的 而 所求球体的质心坐标为 练习5在球心位于原点 半径为 的均匀半 球体靠圆形平面的一侧 拼接一个底半径与球半径 练习4求均匀半球体的质心 练习3设有一等腰直角三角形薄片 腰长为 平方 求这薄片的质心 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的 相等的材料相同的圆柱体 并使拼接后整个物体的 质心在球心 试确定圆柱体的高 2 转动惯量 则该质点系对于 设 平面上有 个质点 它们分别位于 处 质量分别为 轴和 转动惯量依次为 轴的 薄片对于轴的转动惯量 薄片对于轴的转动惯量 在点 设有一薄片 占有 面上的闭区域 假定 处的面密度为 在 轴和 上连续 求薄片对于 轴的转动惯量 占有空间有界闭区域 在点 处的密度 为 的物体对 轴和坐标原点的转动 惯量为 例6求半径为 的均匀半圆薄片对于其直径边 的转动惯量 面密度为常量 解薄片所占区域 所求转动惯量即半圆薄片对于 轴的转动惯量 其中 为半圆薄片的质量 例7在例5中 求球体对于 轴的转动惯量 解 的转动惯量 条轴 练习8求由曲线 值 面密度为1 成的均匀薄板绕 轴和直线 所围 旋转的转动惯量 的最小 练习6求密度为 的均匀球体对于过球心的一 练习7求半径为 过中心而平行于母线的轴的转动惯量 密度 高为 的均匀圆柱体对于 薄片对 为引力常数 平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片 占有 面上的闭区域 假定 在点 处的面密度为 上连续 计算该平面薄片对位于 在 轴上的点 处的单位质点的引力 轴上单位质点的引力 3 引力 这一小块物体的质量近似为 这一小块物体对位于 质点的引力近似为 上任取一直径很小的闭区域 在闭区域 处的单位质量的 设有一平面薄片 占有 面上的闭区域 假定 在点 处的面密度为 上连续 计算该平面薄片对位于薄片外一点 在 处的单位质点的引力 其中 分别为引力元素 在两个坐标 轴上的分量 数 将 在 上分别积分 得 为引力常 讨论空间一物体对于物体外一点 处的 单位质量的质点的引力问题 设物体占有空间有界区域 它在点 处的 密度为 小区域 这一 小块物体的质量近似为 这一小块物体对位于 处的单位质量的质点的引力近似为 空间物体对质点的引力 其中 为引力元素 在三个坐标 轴上的分量 为引力常数 将 在 上分别积分 得 例8设均匀柱体的密度为 占有闭区域 求它对位于点 处的单位质量的质点的引力 解由对称性可知引力 所以 练习10设半径为 的匀质球占有空间闭区域 求它对于位于 处的单位质量的质点的引力 练习9求面密度为常量 半径为 R 的均匀圆 形薄片 对位于 z 轴上的点 处的单位质点的引力 练习1求半径为 的球的表面积 解上半球面方程为 则它在 面上的投影区域 因为这函数在闭区域 上无界 不能直接应用曲 面面积公式 先取区域 为积分区域 算出 上的球面面积 再取 的极限就得半球面的面积 故整个球面的面积为 解取地心为坐标原点 地心 建立坐标系 如图 通讯卫星覆盖的曲面 是上半 球面被半顶角为 的圆锥面所截 得的部分 的方程为 到通讯卫星中心的连线为 轴 练习2设有一颗地球同步轨道通讯卫星 距地 面的高度为 运行的角速度与地球自转 的角速度相同 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球 表面积的比值 地球半径 在 面上的投影区域为 于是通讯卫星的覆盖面积为 由于 代入上式得 由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 解如图建立直角坐标系 练习3设有一等腰直角三角形薄片 腰长为 平方 求这薄片的质心 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的 则薄片上任一点 处的面密度为 练习4求均匀半球体的质心 解取半球体的对称轴为 轴 原点取在球心上 又设球半径为 则半球体所占空间闭区域 显然 质心在 轴上 故 其中 为半球体的体积 因此 质心为 练习5在球心位于原点 半径为 的均匀半 相等的材料相同的圆柱体 并使拼接后整个物体的 解如图建立直角坐标系 满足 质心在球心 试确定圆柱体的高 球体靠圆形平面的一侧 拼接一个底半径与球半径 设圆柱体的高为 质心坐标 于是 是整个物体的体积 令 故所求圆柱体的高为 得 解取球心为坐标原点 轴与轴 重合 又设球 的半径为 则球体所占空间闭区域 所求转动惯量即球体对于 轴的转动惯量为 的转动惯量 条轴 练习6求密度为 的均匀球体对于过球心的一 其中 为球体的质量 解如图建立坐标系 轴的 转动惯量 于是 其中 练习7求半径为 过中心而平行于母线的轴的转动惯量 密度 高为 的均匀圆柱体对于 则问题转化为对 练习8求由曲线 值 面密度为1 成的均匀薄板绕 轴和直线 所围 旋转的转动惯量 的最小 解转动惯量 是 的函数 令 得 又 取极小值 驻点 故此时 唯一 且为最小值 解 由积分区域的对称性知 练习9求面密度为常量 半径为 R 的均匀圆 形薄片 对位于 z 轴上的点 处的单位质点的引力 所求引力为 练习10设半径为 的匀质球占有空间闭区域 求它对于位于 处的单位质量的质点的引力 解