导数的综合应用2.docx

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2020-3-4导数的应用一、课前热身1.（08湖北）若上是减函数，则的取值范围是C A. B. C. D. 解：由题意知f(x)x0，x(1，)，即f(x)0，即x22xb(x1)21b0.1b0，b1.2(09福建)若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解：f(x)5ax4，x(0，)，由题知5ax40在(0，)上有解即a在(0，)上有解x(0，)，(，0)a(，0)3. 点P的曲线y=x3-x+上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是解:4函数的单调递增区间是解：=lnx+10,5若函数f(x)=的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围是（-1，1）解：当a0时，f(x)的极值点为，且f(-a)为f(x)的极大值，f(a)为f(x)的极小值，欲使f(x)的图象与直线y=3只有一个交点，则有f(-a)3;得0a1当a0时，仿上得-1a0； 当a=0时，显然成立； 综上得-1a0得a97.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：,令,解得,故选D8.（2009安徽卷理）设b,函数的图像可能是 解：，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C三、典例剖析考点一：利用导数求函数的单调区间1.（08四川）已知是函数的一个极值点。（）求； （）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解：（）因为 所以 因此（）由（）知 当时， 当时，所以的单调增区间是 的单调减区间是（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。2(2010课标全国)设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解：(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1，当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x， 从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1) (ex2a)，故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解：函数f(x)的定义域为(0,2)， f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.6（08辽宁）设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由解：（）2分故当时， 时，所以在单调递增，在单调递减4分由此知在的极大值为，没有极小值6分（）（）当时，由于，故关于的不等式的解集为 10分（）当时，由知，其中为正整数，且有12分又时， 且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为 7、(07全国卷)已知a 0 ，函数f(x) =( -2ax) (1) 当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在 -1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：（I）对函数求导数得令得+2(1)2=0从而+2(1)2=0 解得 当 变化时，、的变化如下表 + 0 0 +递增极大值递减 极小值 递增在=处取得极大值，在=处取得极小值。当0时，1,在上为减函数，在上为增函数而当时=，当x=0时，所以当时，取得最小值（II）当0时，在上为单调函数的充要条件是 即，解得于是在-1，1上为单调函数的充要条件是 即的取值范围是考点三：导数与其他知识的综合8. 已知函数,且 的两个极值点,.（1）求的取值范围；（2）若对恒成立,求实数m的取值范围. 解：（1）， 由题知： （2）由（1）知： 对恒成立，所以：.9.（08全国二）（本小题满分12分）设函数（）求的单调区间； （）如果对任何，都有，求的取值范围解：（）2分当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数6分（）令， （构造函数）则 故当时，又，所以当时，即9分当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有 因此，的取值范围是12分10.(09山东.)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解法一:（1）如图,由题意知ACBC,A B C x 其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.四、夯实基础9.（09湖南）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是【 A 】解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.2.已知函数上是增函数，（1）求的取值范围；（2）在（1）的结论下，设，求函数的最小值. 解：（1） ,上是增函数， 在（0，1）上恒成立，即 恒成立 .（当且仅当时取等号），. （2）设,当时，在区间1，3上是增函数，所以的最小值为当时, .因为函数上是增函数，在区间1，a上也是增函数，又 上为连续函数，所以上为增函数，所以的最小值为.所以，当的最小值为,当时, 的最小值为.3.（09江西）（本小题满分12分）设函数(1)求函数的单调区间； (1)若，求不等式的解集解: (1), 由,得 .因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .(2)由 , 得：. 故：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是：. 4.（09辽宁）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解析 (1)的定义域为。2分（i）若即, 则 故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a5,故，即g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有，即，故， 当时，有12分5.（09宁