牛顿插值上机报告.doc

数学与应用数学数值分析实验报告实验名称Newton插值多项式实验时间年 月 日组长班级学号成绩组员学号手写签名一、实验目的，内容 二、相关背景知识介绍 三、代码四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会一 实验目的1.了解并掌握Newton插值多项式，根据给定的数值表 ，构造1，2，3，4次Newton插值多项式,列出算法并求解。 2.并与Lagrange插值多项式比较精度。实验内容1、给定数据表, 构造1，2，3，4次Newton插值多项式， 求f(1.5)=? 并与Lagrange插值多项式比较精度。 xf(x)1.10.76519771.30.62008601.60.45540221.90.28181862.20.11036232、给出f(x)=lnx的数值表x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性、二次、三次、四次Newton插值多项式, 并求你们的数值结果能说明插值多项式次数越高，计算的近似值越准确吗？准确值ln0.54= -0.616186139423817。二 相关背景知识介绍牛顿法插值法：插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值多项式：余项为：，。三 代码我们组将代码写成了matlab的函数形式，用于解决所有的关于此类的问题。第一题牛顿插值法第二题牛顿插值法四 数值结果第一题xy一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商1.10.76519771.30.6200860-0.72555851.60.4554022-0.5489460.3532251.90.2818186-0.578612-0.0494433333-0.50333541662.20.1103623-0.5715210.011818333330.068068518480.5194581228由,且得出在各次插值下f(x),x=1.5的值如下：各次插值结果线性插值二次插值三次插值四次插值f(1.5) (Newton)0.75620.47500.50320.5073f(1.5)（Lagrange）0.50130.50320.50730.5089有nf(x)Pn(x)Rn(x)10.75620.47498630.28121320.47500.431070620.0439293830.50320.4356995160.06750048440.50730.43387064880.0734293512第二题(ln0.54= -0.616186139423817)各次插值结果线性插值二次插值三次插值四次插值f(0.54)-0.9163-0.6039-0.6153-0.6160|f(0.54)-ln0.54|0.30010.01230.00090.0002五 计算结果分析第一题各次插值结果如上表，由上次报告知Lagrange插值结果，经过比对，得出牛顿插值法精度较高。第二题已知f(x)=lnx，ln0.54= -0.616186139423817，与上面各次插值后所得结果的差取绝对值比较，发现精度提高了，则得出结论：的确是插值多项式次数越高，计算的近似值越准确。六 计算中出现的问题、解决方法和体会 牛顿插值法能够很好的分析和处理离散的数据，通过确定多项式的阶次满足高精度和低运算量的要求，我们需要熟练掌握。同时我们应该熟悉编程，到现在，我们在编程的过程中还是会出现许多问题，但是查出并改正它本身也是很有趣的，我们不应该感到退缩，只有一次次的亲自动手，我们才能享受学习的乐趣并增长见识。当然小组内的合作也是我们完成任务所必须的，只有当我们共同动手，探讨并实践，才能共同进步