第10章 矩量法.doc

第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单的散射体。如果散射目标结构复杂，必须选用数值方法。数值方法是对所求解的微分方程或积分方程实施离散，采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量，然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程，即可按照标准的数值程序求解这些线性方程组。数值方法的优点在于容易处理结构复杂的散射体，而且通常可以获得高精度解。随着高性能计算机的飞速发展，数值方法已经成为解决实际问题的日益重要的工具。现今已有多种数值方法，各具特色，分别适用于求解不同的电磁问题。典型的数值方法是矩量法（MoM）、时域有限差分法（FDTD）和有限元法（FEM）等。本章讨论矩量法，后两章将分别介绍时域有限差分法和有限元法。矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。20世纪60年代， R. F. Harrington首先将矩量法用于电磁问题的求解1。目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS）的计算。通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。如今很多商用软件的开发都基于矩量法。但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。为了解决这个问题，人们作了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法。因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。10-1一般步骤典型的算子方程可以表示为下列形式（10-1-1）式中L为线性算子，可以是微分、积分或两者组合，h为一个已知函数，f为待求的未知函数。这些函数可以是矢量或标量，且定义域可为一维、二维或三维空间。因此，在电磁学中它们可以是空间及时间函数。矩量法的一般步骤是，首先将未知函数表示为一组基函数的线性组合，然后匹配算子方程，最后由离散的线性方程组求出展开系数。下面详述矩量法的具体步骤。首先令为一组基函数，那么，未知函数可以近似表示为（10-1-2）式中为展开系数，它们是未知的。如果N足够大，上述表示式将非常精确。将上式代入式（10-1-1），得（10-1-3）下一步是选择一组权函数，以每个权函数与上式各项逐一相乘，并且在未知函数的定义域内求积，建立一组未知系数为的线性代数方程。该组方程可以表示为（10-1-4）该方程组的系数及右边项分别为（10-1-5）（10-1-6）求出未知系数后，即可近似地决定未知函数，并由此求得其它场量。上面简述了矩量法的求解过程，现在需要讨论几个问题。首先是基函数的选择。对于基函数的两个基本要求是完备性和正交性。完备性是指选择的基函数可以精确地表示任何未知函数，且其精度随着基函数的数目增加而提高。正交性可以放宽为线性独立，即要求一组基函数中任何两个必须是线性独立的。众所周知，一组线性独立函数总可以应用所谓Gram-Smit方法使其正交化。此外，表示式的有效性通常也是选择基函数的重要判椐。如果基函数可使未知函数易于满足实际的边界条件，那么即是一种较好的基函数。具有实际应用的典型基函数有两种：其一称为全域基函数，另一个称为分域基函数或称为子域基函数。每一个全域基函数都在相同的域中定义，而每一个分域基函数的非零区域是在未知函数的部分域中定义。例如下列积分方程（10-1-7）其中未知函数的定义域为，因此，基函数是一组全域基函数。全域基函数的很大优点是各个基函数具有相同的表示精度。与分域基函数比较，采用全域基函数时通常待求的未知数的数目较少。因为使用全域基函数时无须网格剖分，数值计算也相对地易于实现。一些有用的全域基函数是多项式（例如。），以及正弦和余弦函数。例如，对于区域，可以选择作为一组基函数。全域基函数通常用于求解一维问题的线性积分方程，定义域为矩形的二维问题有时也可采用。全域基函数也可与分域基函数组合使用。一个典型的例子是，旋转体散射问题的求解。此时，每个基函数是一个随角度变化的全域基函数与一个轴向变量的分域基函数（例如方波函数或三角函数）的乘积。全域基函数的主要缺点是，它们仅可用于形状规则的定义域，例如一维导线和二维的方形或矩形域。对于边界形状复杂的区域，定义全域基函数是十分困难的。一个分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值，通常这部分域的尺寸远小于波长。除了方波函数（又称为脉冲基函数）以外，几乎全部分域基函数（例如三角函数）具有重叠的非零区。因此，为了定义分域基函数，通常需要将求解区域划分为很多小片的集合，每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样的单元集合构成目标的近似表示，因此称为网格。一些典型的网格单元形状如图10-1-1所示。典型的网格单元的形状，对于线状结构为线段；对于面状结构为三角形和方形；对于体状结构为立方体、四面体及棱柱体25。(a)(b)(c)图10-1-1 典型的网格单元：(a)线段，(b)平面三角形，(c)六面体实际上，广泛地选择矩形基函数和三角基函数作为分域基函数25。许多其它基函数是该两种基函数的变形或组合。一个矩形基函数在一个单元内定义为1，而在其余全部单元内定义为零。因此，任何两个矩形基函数的非零的子域不会重叠。三角基函数恰好相反，每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。显然，基函数的选择有时与网格的形状有关。以一维为例，将未知函数定义在一个区域，再将该区域划分为相同尺寸的N个子区。第n个子区的数学定义为，这里，而。一个矩形基函数定义为（10-1-8）该函数如图10-1-2所示。1x图10-1-2第n个矩形基基函数图10-1-3 sinx函数的近似表示：(a) 原函数，(b) 14个矩形基函数，(c) 46个矩形基函数为了说明表示的精度，图10-1-3中给出函数的近似表示，图10-1-3(a)为原函数，图10-1-3(b)使用14个矩形基函数表示，图10-1-3(c)使用46个矩形基函数表示。由图可见，为了精确地表示一个函数需要大量矩形基函数。矩形基函数是在一个分段内用常数表示的函数，所以它是一个零阶的函数。矩形基函数十分简单，且易于编程。但是，它不是一个有效的基函数。为了改善表示的有效性，可以提高基函数的阶数。三角函数是一个一阶基函数，因为它在一段域内线性地由0增加到1，在相邻的域内线性地由1降至0。因此，两个相邻的三角函数具有重叠部分。再以一维例子予以说明。令和为两个相邻的单元，那么一个三角基函数可以表示为（10-1-9）该函数如图10-1-4(a)所示。图10-1-4(b)使用5个三角基函数近似表示函数。显然，三角基函数比矩形基函数能够更加有效地表示原函数。图10-1-4三角基函数及其表示：(a) 第三和第四单元中的三角基函数。(b) 5个三角基函数近似表示函数。0x(a)(b)0x2下面讨论算子方程的匹配技术。匹配即是使原方程在弱条件下近似成立的方法。例如在函数域中某点使方程两边相等，那么获得一个代数方程。如果对于N个不同点重复进行，那么将获得N个线性无关的方程。这是一种最简单的匹配方法，通常称为点匹配技术。总之，矩量法的一般步骤即是，首先选择一个权函数，与算子方程相乘，然后将方程两边再分别在未知函数的定义域内进行积分。如果对于N 个不同的权函数重复进行，也可建立N个线性代数方程。现有许多不同的匹配方法，在矩量法中最为广泛使用的是Galerkin方法，这种方法选择权函数组与基函数组相同。下面详细说明使用矩形基函数作为权函数的点匹配技术。为了简单起见，仍以一维问题为例。令为区域的中心，那么对于这个区域的方波函数定义为（10-1-10）如果使方程在等处进行点匹配，得 （10-1-11）点匹配技术基于场量在匹配点附近区域内（通常小于十分之一波长）是平滑的假定，其精度是有限的，且仅可用于小网格的情况。但是，点匹配技术避免了积分，便于应用。如果使用Galerkin方法匹配方程，那么，获得的方程具有下列形式（10-1-12）Galerkin匹配方法的一个优点是，获得的系数矩阵通常是对称的，这将减小内存，因为所需的矩阵单元数仅略微超过一半。而且Galerkin匹配方法比点匹配技术的精度高。上述算子方程的离散方法很容易推广到二维和三维情况。矩量法的最后一步是求解线性方程组。现有很多标准程序可以完成这个任务。例如，广泛用于科学与工程计算的LAPACK 和 PETsc两个软件包含有许多这样的子程序。求解线性方程组的方法中，直接求解和迭代求解是两种最为常用的方法。直接法所需的内存正比于（N是未知数的数目），所需的CPU时间正比于。这些方法最为精确，且适用于多个右端项。但是，随着未知数的增加，CPU时间迅速加长。迭代法试图以有限的迭代次数构造一个近似解。在计算电磁学中，共轭梯度法（CG）及其相关的变形广泛地用于迭代求解2。迭代求解时，为了求解一个右端矢量对应的未知数所需的内存和CPU时间正比于。必须承认无论直接求解还是迭代求解均限于求解电小问题。幸运的是，近数十年以来已经开发了很多快速积分方程求解方法，显著地增强了矩量法的求解能力。10-2 线散射设一根理想导电的导线位于自由空间，其半径为常数a，且远小于波长。再令导线的中心线为C，其表面为S。如果是多根线体，C代表一组全部线体中心线的集合，而S代表全部表面的集合。在入射波作用下，导线表面产生的感应电流为，那么该电流产生的散射电场可以表示为（10-2-1）式中为三维自由空间Green函数，即（10-2-2）若以表示入射电场，那么理想导电表面的边界条件可以表示为（10-2-3）式中下标“t”代表矢量的切向分量。由于导线很细，确切地说导线半径为电小尺寸，那么可取两个近似：认为导线中的电流在垂直于导线的平面内为常数；不考虑电流圆周方向的 f 分量，因为该分量的辐射由于相互抵消，因而贡献通常很小。这就是所谓的电细导线近似。通常，如果导线的半径小于或等于0.01l，l为激励波的波长，那么即可认为电细导线。如果导线半径不满足这个条件，或者要求更高的精度，应该采用三维全波模型，详述见10-5节。在电细导线近似情况下，未知的表面电流可以表示为（10-2-4）式中为沿表面S的切线方向上的单位矢量。因此，面积分方程简化为线积分方程，即应用分部积分法，得或者写为（10-2-5）必须指出，上述积分方程隐含一种近似，即源点仅限在导线中心，而场点r仅限在导线表面。对于电细导线，这种近似引起的误差可以忽略。上述方程也可写成如下形式 （10-2-6）现用矩量法求解未知电流函数。为了能够适用于任意取向和长度的导线，使用分域基函数。首先将曲线C分成N个子段，且表示为。每段长度远小于波长，典型值的范围是0.050.1，这里为激励波的波长。那么，未知的电流函数可以展开为一组N个矩形基函数的加权求和，即 （10-2-7）将上式代入积分方程式（10-2-6），得 （10-2-8）现在每个线段的中心处匹配上述方程式（10-2-8），得（10-2-9）此式为一组未知系数为的线性代数方程。如果将该方程写成矩阵形式，那么系数矩阵（也称为阻抗矩阵）的单元具有下列形式（10-2-10）因为是一个方波函数，当源点在线段上，数值为1，其余点为零。上式可以简化为（10-2-11）当匹配点（也称为场点）不在线段上，即，上式中的积分可以用单点求积规则近似为（10-2-12）式中为线段的长度。注意，上式中的二次微分可用下列步骤求得。因为，可见，仅需求出和。令和分别为曲线的起点和终点，那么，位置矢量r可用本地坐标变量l表示为（10-2-13）求得（10-2-14）式中再利用公式，求得， 上述式中。当位置矢量r位于线段上，使用另一种方法求积。已假定源点位于导线中心，场点r位于导线表面，因此场点至源点的距离永远不会为零。事实上，该距离可用本地坐标变量l表示为当l由0变化到时，R具有最小值a，此处a为导线半径。此外， 可以使用任一种一维积分规则求积上述积分，即（10-2-15）式中和分别为标准的Gauss积分权值和节点。因为线段通常远小于波长，积分规则的阶数需要很高。在大多数情况下，三阶可以满足精度。对于远区散射场，考虑到，自由空间Green函数可取下列近似（10-2-16）那么，远区散射电场可以表示为（10-2-17）式中为了计算平面波入射时导线的雷达散射截面（RCS），令入射波的电场为（10-2-18）式中这里，为入射波的传播矢量，为垂直于的常矢量，和为入射波的方位角。由式（6-1-13）知，平面波入射时目标的单站雷达散射截面为（10-2-19）式中为入射波的振幅，为散射波的振幅。观察两个实例。第一个例子是三元天线阵的结构如图10-2-1(a)所示。单元导线的长度为0.5m，半径为5mm。三根导线均位于xz平面内，且与z轴平行，其坐标位置分别为。入射波的频率为300MHz，入射方向为。在的观察面内，利用上述方法计算双站雷达散射截面的结果如图10-2-1(b)所示。图10-2-1 三元天线阵的双站雷达散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)xz0(a)-0.3m0.3m另一个例子是V形天线的结构如图10-2-2所示，其中第一根导线的起点和终点坐标分别为(2,0,-4) 和(0,0,0)，第二根导线的起点和终点坐标为(0,0,0) 和 (2,0,4)。由此可见，第一根导线的终点和第二根导线的起点相连，所以电流由导线流向导线。若入射波的频率仍为300MHz，那么在的平面内，利用上述方法计算单站雷达散射截面的结果如图10-3-2(b)所示。图10-2-2 V形天线的单站雷达散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)x(a)z-442010-3二维散射下面讨论柱体的电磁散射问题。为了简单起见，仅考虑平面波向柱体垂直入射的特殊情况。这里，作为散射目标的柱体具有三个特点： 在xy平面内的尺寸是有限的； 在z方向上为无限长； 物理特性和几何形状沿z方向不变。由于任何平面波均可表示为TE 波与TM波之和，仅需讨论TE 波与TM波的电磁散射。在下面的讨论中，假定散射体位于自由空间，其横截面的边界均以C表示。对于多柱体情况，C代表所有柱体横截面的边界联合。10-3-1二维TM波散射首先讨论具有任意形状的横截面的理想导电柱体对TM波的散射。此时仅需考虑电场强度的分量，因为电场强度的其他分量为零，而全部磁场分量又可由该分量导出。设入射波为，产生的表面电流为。将二维自由空间Green函数的表示式（6-7-11）代入式（6-7-15），即可获得该表面电流产生的散射场为（10-3-1）再将式（6-7-11）代入式（6-7-16），即可建立以表面电流为未知数的散射场积分方程为（10-3-2）该方程是根据电场的切向分量建立的，因此称为电场积分方程，简称为EFIE（Electric Field Integral Equation）2。为了处理任意形状横截面的散射体，选用分域基函数离散积分方程，而且使用矩形基函数或三角基函数展开未知的表面电流函数25。由于表面电流方向为z轴方向，没有环向电流分量，矩形基函数即可精确地描述。为此，将边界C分为N个子段，令第n个子段为，那么表面电流可以展开为（10-3-3）式中为矩形基函数。当在子段上，矩形基函数为1，其余处为零。可见，展开系数就是子段上的表面电流的振幅。将式（10-3-3）代入式（10-3-2），然后在点测试获得的方程，得（10-3-4）如果将上式写成矩阵形式，那么该矩阵的元素为（10-3-5）此式可以使用与前述线积分方程的相同方法求积。因此，当不在子段上时（），积分可用单点矩形规则近似，即（10-3-6）式中为子段的长度。当测试点位于源区，则位置矢量可以表示为那么，Hankel函数的宗量为利用小宗量Hankel函数的近似公式，求得式中。因此，当时，式（10-3-5）变为2右边第一个积分的被积函数是正则的，因为奇异部分已经去除。因此，这是一个平滑函数。如果使用单点矩形规则求解这个积分，其值为零。求解第二个积分可以使用下列公式根据上述结果，获得的矩阵元素为（10-3-7）为了精确描述表面电流的变化，每个子域的长度应该远小于一个波长，通常为0.1l0到0.05l0。如果期望获得更精确的阻抗值，可以采用高阶数值规则替代单点矩形规则。由式（10-3-7）可见，矩阵元素仅决定于测试段和源区段的中心点的距离。如果该距离为常数，则对于截面为圆的散射体的离散具有特别意义。此时，任一列的矩阵元素是前一列的移后的结果，任一行矩阵元素也是如此。具有这种特性的矩阵称为循环矩阵。对于循环矩阵，仅需储存一行或一列单元。因此，显著地简化矩阵的计算，大大地减少内存。为了读者方便，表10-3-1给出了一个离散例子的矩阵的第一列矩阵元素，此时散射体是半径为0.5l0的理想导电圆柱。进行离散时，自开始等间隔地将其划分为32个子段，即第一段的弧长从到。表10-3-1理想导电圆柱散射体的第一列矩阵元素行号i矩阵元素(实部，虚部) 行号i矩阵元素(实部，虚部)12345678910111213141516-58.1763 84.8695-52.7822 16.7679-38.2671 -14.215818.9280 -28.09153.86963E-02 -29.657814.4025 -22.595522.0589 -11.160523.1466 0.72406719.3518 10.3580912.9222 16.5567105.85960 19.39140.493084 19.66785.49485 18.42329.03160 16.593711.2773 14.8701-12.4887 13.686517181920212223242526272829303132-12.8676 13.269112.4887 13.686511.2773 14.8701-9.03160 16.5937-5.49485 18.4232-0.493075 19.66785.85962 19.391412.9222 16.556719.3518 10.3580923.1466 0.72407822.0589 -11.160514.4025 -22.59553.86890E-02 -29.6579-18.9279 -28.0915-38.2671 -14.2158-52.7822 16.7679求出展开系数后，即可计算导电体表面的感应电流以及散射场。表面电流的计算比较方便，因为展开系数本身就是子段中心点的电流数值。将式（10-3-3）代入式（10-3-1），散射场可用展开系数表示为（10-3-8）如果仅需计算远区场以及雷达散射截面（RCS），可以使用大宗量Hankel的近似公式，简化上述计算。当时，可取。求得散射场为（10-3-9）根据上述结果，可将二维雷达散射截面表示为 （10-3-10）下面给出几例，比较矩量法计算散射体的RCS与严格解析方法的结果。第一个例子是，入射的TM波频率为300MHz，理想导电圆柱的半径为。圆柱截面的周长约为，被等间隔地分为128段。因此，每段长度约为。将此结果与级数解（下面称为严格解）比较，点点平均误差为0.0056 dBm，足以满足大多数工程要求。图10-3-1给出入射方位角时双站RCS的比较结果。散射体的表面电流振幅比较如图10-3-2所示，其振幅已用377归一化。可见两种结果十分一致。图10-3-2 导电圆柱的表面电流角度f归一化电流振幅 严格解 矩量法图10-3-1 导电圆柱的双站RCSRCS(dBm)角度f 严格解 矩量法由上例可见，矩形基函数和点匹配技术对于TM波散射可以获得很精确的结果。这是因为散射体的表面是平滑的。为了说明表面具有尖角的散射体情况，考虑横截面为三角形的理想导电柱体。令三角形的三个顶点坐标分别为(-2,0), (2,0)和(0,1)，坐标单位为m（如不特别注明，本章坐标的尺度均以米为单位）。入射波的频率为300MHz，入射方位角。求解该散射问题时，使用两种不同的离散密度。第一种离散的子段长度近似为，第二种离散的子段长度大约为。两种情况的RCS如图10-3-3所示，可见两者相当一致。归一化电流振幅子段长度0.05l0-子段长度0.1l0角度fxy图10-3-3 两种离散的电流分布图10-3-4 两种离散的RCSRCS(dBm)角度fRCS(dBm)两种离散密度获得的电流分布特性则差别较大。因为表面不平滑，表面离散时出现不连续点。靠近这些不连续点附近的电流也出现奇异性。三角形顶点处的电流振幅理论上接近无限大。由于求解误差，矩量法的结果不可能达到无限大。但是，由图10-3-3可见，在这些点附近的电流仍然很大。第二种离散密度求出的奇点处电流振幅大于第一种。但是，由图10-3-5可见，两种电流产生的RCS相同，主要是因为奇点处电流对于远区场贡献很小。图10-4-5给出了理想导电方柱对于频率为300MHz，入射方位角的TM波散射时，矩量法（MoM）和下一章将要介绍的时域有限差分法（FDTD）计算获得的双站RCS的结果。由上述几个计算例子可见，对于TM波散射，使用矩形基函数及点匹配技术可以获得精确的结果。无论是表面平滑的圆柱或具有尖角的柱体都是如此。RCS(dBm)角度fMoM FDTD图10-3-5 MoM和FDTD对于理想导电方柱的RCS计算比较10-3-2 二维TE波散射对于TE波，仅需考虑磁场的z分量，电场分量均可由此分量导出。同时，在理想导电表面也会产生切向感应电流。为此，设未知函数为矢量电流密度函数J。因为已知电流密度的方向与表面相切，仅需一个标量函数描述电流密度的振幅变化特征。根据理想导电表面的电场切向分量为零的边界条件建立积分方程。由第六章获悉散射电场可用二维Green函数表示为 （10-3-11）式中算子为相应运算（梯度或散度）的横向分量。为二维自由空间Green函数，即 （10-3-12）令为入射电场强度，那么，根据理想导电表面的电场切向分量为零的边界条件，获得下列积分方程（10-3-13）此式是以感应电流为未知数的电场积分方程。仍然可以使用矩形基函数和点匹配技术，具体过程不再重述，留给读者作为练习。为了完整起见，这里采用三角基函数。该三角基函数的非零域为共节点的两个线段，当然它是一次的。为了描述三角函数的变化，将两个线段的另外两个节点称为端点（或称为浮点）。该三角函数自线段的一个端点线性地由0增至公共节点处的1，然后再由1降为0到达另一个端点。第n个三角函数的数学描述如下 （10-3-13）式中和分别为第一条和第二条线段的路径，为的长度，为两个端点的位置，如图10-3-6所示。图10-3-6 两条相邻的路径为了简单起见，式（10-3-13）有时可以改写为式中 （10-3-14）由上可见，基函数的方向为路径的切线方向，在公共节点的数值为1。如果展开未知的感应电流，其系数代表公共节点的电流数值。该展开式可取下列形式 （10-3-15）将上式代入积分方程，使用Galerkin方法测试获得的方程，求得的矩阵方程的元素为（10-3-16）而右端项为（10-3-17）上式中，为第n个基函数的非零值域。由于增加了奇异性以及基函数的复杂性，此时阻抗矩阵的求解较为复杂。为了数值计算该积分，首先需要简化上述表示式。可以证明，该基函数的散度为（10-3-18）此外，使用分步积分法将标量位的梯度运算转移至测试函数，步骤如下。将式（10-3-16）的源积分记为（10-3-19）上式为标量位的精确表示式。根据矢量恒等式，得那么，上式右边第一项积分为因为在两条线段的端点处基函数为零，上述积分实际上为零。因此求得（10-3-20）注意，测试函数的横向散度可以移出积分符号外，因为它是常数。但需记住该常数在两条线段取值不同。现将式（10-3-19）该写为 （10-3-21）式中为正比于基函数的矢量位函数。定义为 （10-3-22）因为标量位函数和矢量位函数均为平滑函数，对于测试域的积分可用任何数值方法求积。为了获得和，先介绍源积分的计算。如前所述，当测试积分不在上，被积函数没有奇点，可以使用任一种数值方法求积。如果测试点位于上，需要提取奇异点以便处理源积分，下面详细说明。首先注意二维Green函数的奇异值实际上为lnR，这里为源点至场点的距离。因此，可将二维Green函数表示为上式右边第一项是正则的，为了方便起见，通常记为，即因此，求得上面两个位函数积分中，仅需计算下列积分使用本地坐标表示基函数，可以进一步简化矢量积分。为此，考虑到区域，每个子域和具有一个起点和一个终点。因为两个子域共有一个节点，子域实际上由三个独立点定义：第一个子域的起点，两个子域公共点，以及第二个子域的终点。根据这些节点，使用本地坐标可将基函数展开为因为，故是由子域的起点指向终点的单位矢量。类似地，是由公共点指向子域的终点的单位矢量。和均为常矢量。测试点和源点也可使用本地坐标表示为，那么，源点至场点的距离R可以表示为， ， 积分宗量为， ， ， ， 使用上述符号，得式中因为，上述两个函数是解析的，注意当，。考虑到，使用数值求积方法求出位函数为式中这是一个和的正则函数，使用一阶或二阶求积即可计算。下面举例说明矩量法对于TE波散射的应用。首先给出矩形基函数和点匹配技术的结果。图10-3-7和图10-3-8分别给出半径为2的理想导电圆柱体散射时双站RCS及其电流分布，入射波的频率为300MHz，方位角。使用矩量法求解时，圆柱周长被等间隔地化分成124段。图中同时也给出严格解的结果，以便比较。可见两者十分一致。归一化电流振幅角度f严格解 MoM图10-3-8理想导电圆柱的表面电流分布RCS(dBm)角度f严格解 MoM图10-3-7理想导电圆柱的双站RCS由图可见，即使离散尺寸为0.1，矩量法可以获得很高的精度。但是，电流分布的精度较低一些，其原因可用模式概念给予解释。电流的分布特性可用很多模式描述，正弦或余弦函数均可用来描述电流随角度 f 的变化特性。低阶模式具有比较平滑的分布特性，可用方波函数精确地描述；高阶模式变化尖锐，使用方波函数不易表示。此外，由于较低阶模式对于远区场的贡献较强，而高阶模式对于RCS的贡献较弱，因此，即使电流分布的精度不高，也可获得精确的RCS结果。下面再给出相同圆柱的电流分布，但是使用三角基函数和Galerkin方法。其结果示于图10-3-9中。在此计算中，圆柱的周长被分为124段，基函数也是124个。由图可见，对于相同的网格尺寸，解的精度显著高于矩形基函数的结果。RCS的改善不太明显，原因如上所述，其结果这里不再提供。归一化电流振幅角度f严格解 MoM图10-3-9理想导电圆柱的表面电流分布（使用三角基函数和Galerkin方法）10-3-3二维体散射问题已经讨论了矩量法求解具有任意横截面的理想导电圆柱对于TM波和TE波的散射，本节将讨论介质圆柱对于TM波和TE波的散射问题。开始先假定介质特性在横截面内是可变的，而在轴线方向上没有变化。如果介质特性在横截面内是均匀的，可以利用边界条件建立面积分方程进行求解。这里先处理非均匀介质，后面再讨论均匀介质。为了简单起见，假定介质是非磁性的，即磁导率。读者可以很容易将电性材料的结果推广到磁性材料。同时，入射波仍分为TM波和TE波，入射方向仍假定垂直于圆柱体。与理想导电柱的情况一样，如果入射波是TM波，那么仅需求解总电场的z分量。由于散射体是无限长的柱体，所需讨论的是场和源在横截面内的变化。建立积分方程，积分仅在横截面内进行。根据体等效源原理，利用感应的极化电流计算散射场。已知介质内的总电场为入射电场和散射电场之和，因此，建立的积分方程如下 （10-3-24）由式（4-4-30）获知，感应的极化电流与总电场的关系为 （10-3-25）式中介电常数通常是空间函数。考虑到式（10-3-25），积分方程式（10-3-24）实际上仅含有一个未知数。这个未知数可以是或，因为将使用矩形基函数表示未知数，任选其一均可。但是为了与三维问题一致，令未知函数正比于位移电流，即极化电流与未知的位移电流的关系为 （10-3-26）式中。因此，积分方程式（10-3-24）可以改写为（10-3-27）图10-3-10椭圆柱的四边形网格下面用矩量法求解上述积分方程。首先，将介质柱的横截面剖分为小的网格单元。单元的形状通常是三角形或四边形。但是三角形比四边形更为灵活，自由度更大一些。这里对于TM波散射，使用四边形剖分横截面。对于网格的要求是，平均尺寸大约为0.1，用于方波和一阶基函数。网格的形状尽可能接近正方形。有时使用网格质量因子来衡量网格接近理想网格的程度，此时全部四边形均为相同尺寸的正方形。令为N个四边形中的最长的棱边长度，横截面的面积为S，那么网格的质量因子定义为。一个理想的四边形网格，。较大的质量因子意味是一个坏网格。较大的网格质量因子通常将导致解的精度较低，当使用迭代方法求解矩阵方程时，收敛很慢。图10-3-10给出一种网格的式样用于椭圆形的横截面的剖分。其次，选择一组基函数展开未知的电流函数。对于方形网格使用矩形基函数十分简便。第n个基函数定义为式中为Jacobian系数，即，未知函数的展开式为代入式（10-3-27）中，在每个四边形的中心（）测试获得的方程，结果求得一组线性方程为 （10-3-28）式中，。如果将式（10-3-28）写成标准的矩阵形式，那么矩阵元素及右端项分别为 （10-3-29）式中，当匹配点不在上，上述面积分很容易求积，因为没有奇异性。为了便于数值求积，使用一对本地坐标表示位置矢量，即 （10-3-30）式中，为四边形的四个顶点如图10-3-11所示，它们按照右手定则设置。图10-3-11四边形网格及其顶点利用式（10-3-30），得利用Jacobian变换，可将上述积分由xy平面变换到 uv平面，即 （10-3-31）如果测试点不在源区，那么该积分很容易使用单点或4点求积方法求出。若源点离开源区半波长，单点Gauss求积已经足够。仅当测试点位于几个相邻源区，需要高阶Gauss求积。当测试点位于上，即，可以使用奇点提取技术或Duffy变换方法。奇点提取技术前面已讨论过，下面介绍Duffy变换方法。考虑处理下述积分 （10-3-32）式中为内部任一点。这样假定是正确的，因为测试积分使用Gauss求积，测试点总是位于四边形的内部，不在边界上。如果位于边界上或顶点，下述算法只需稍微修改仍然可以应用。使用测试点作为共同顶点，在uv平面内将单一四边形积分域划分为4个子域，每个子域为三角形。如果测试点位于一条边上，那么仅得到3个非零子域。如果测试点位于一个顶点，那么只有两个非零子域。这里考虑具有4个子域的一般情况。令测试点位于，如图10-3-12所示。子域记作。因此，式（10-3-32）中的积分可以表示为4个积分之和，每个积分分别位于一个分离的子域内，即式中，。这里为具有，三个顶点的三角形，其数值列于表10-3-2。u(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)v图10-3-12 一个四边形的剖分子域uavaubvbD10010D21011D31101D40100表10-3-2 子域的定义各个子域的积分可以进行下列变换（10-3-33a）（10-3-33b）上述变换是将平面内的一个三角形映射到平面内一个单位三角形，如图10-3-13所示。Di(u0 ,v0)(ub ,vb)(ua ,va)uv(0,0)(1,0)(0,0)(1,1)u1v1图10-3-13 任意位置和取向的三角形映射该映射定义为其Jacobian行列式为该行列式为一个常数，其值实际上等于平面内三角形面积的两倍。考虑到，以及，即可证明这个结论。在此变换中，对于的积分为现在利用Duffy技术移去奇点。令，式中t是一个新的变量，上述积分变为再证明上述积分没有奇点。为此，参照式（10-3-30），位置矢量和可以表示为式中是四边形的四个顶点。因此这里多项式定义如下 当时，为零。因此可以展开为式中均为常数。这样，可以表示为下列一般形式这些展开系数列于表10-3-3中。注意，使用Gauss积分计算测试积分时，位于平面内单位正方形的内部，因此系数可以大于零或小于零。那么（10-3-34）jCj1Cj2Cj311-v01-u0-12v0-1u013-v0-u0-14v0u0-11图10-3-3距离展开系数由式（10-3-33）求得同理可得上式中，注意，当t由0变到1时，和均不会为零。将上述结果代入式（10-3-34），得因此式中根据，公式，可以证明，。四个子域的积分变为因为Green函数的奇异性表现为那么，当时，则这就意味被积函数为正则函数，可以使用任一种数值求积方法计算。下面给出一例，考虑介质圆柱对于TM波的散射。圆柱半径为1.0，横截面被化分为864个小四边形，相对介电常数为。图10-3-13给出该圆柱的双站雷达散射截面。入射波的频率为300MHz，入射方位角。图中也给出严格解的结果，可见两者十分一致。图10-3-13介质圆柱的RCS角度fRCS(dBm)严格解 MoM对于TE入射波，产生的极化电流密度方向为横向，且为一个矢量函数。该问题求解与三维散射体的面积分方程非常类似。因此，在分析三散射体的散射问题时再进行讨论。10-4三维散射实际中，散射体通常是三维的，本节将讨论三维目标电磁散射的矩量法求解69。将分为面散射体和体散射体两种类型，重点讨论面散射问题，而且主要讨论理想导电表面的散射。熟悉三维理想导电体散射的求解方法后，很容易将此技术推广到其它复杂的散射体。最后，将简单地介绍体散射以及面和体的混合散射问题的求解方法。10-4-1三维面散射当电磁波投射到理想导电体时，将在导电体的表面产生表面电流。假定散射目标位于无界的自由空间，S为导电体的表面区域，也可能是多个散射体表面的组合。令感应表面电流密度为，该表面电流产生的散射场为。根据3-1节位函数理论，获知散射场可用位函数表示为（10-4-1）式中和分别为矢量位和标量位。再由3-7节，且考虑到，位函数可用三维自由空间Green函数表示为（10-4-2）（10-4-3）式中三维自由空间Green函数为（10-4-4）根据理想导电体表面总电场的切向分量为零的边界条件，获得下列积分方程（10-4-5）下标“t”表示切向分量。上式为以电流密度为未知数的电场积分方程（EFIE）。值得提出的是，上述积分方程有时表示为下列矢量形式式中为表面的单位法向矢量。上式又称为nEFIE，因而式（10-4-5）又称为tEFIE。对于任意形状的三维目标，寻找全域基函数是不可能的，全部三维矩量法的求解均使用子域基函数。一个子域基函数通常与表面的剖分方法密切相关。用于三维表面剖分的典型单元形状有：三点定义的平面三角形；6点或更多点定义的曲边三角形；平面矩形；准平面四边形和曲边四边形。当然还有其它形状，本节主要使用平面三角形网格。使用平面三角形剖分的优点是，比较简单，易于表示和处理；比较灵活，易于模拟任意形状的三维表面，尤其是具有尖锐的拐角和棱边。直接可以使用，许多CAD程序支持这种平面三角形网格。一个网格定义为一组节点的集合，而一组网格单元由这些节点决定。对于一个三角形网格有两个要求：第一是必须很好的连接，第二是限制网格的形状和尺寸。良好的连接要求任一个三角形不能进入其它三角形的内部或位于任一条棱边上。图10-4-1给出不良连接的例子，图(a) 为部分重叠，图 (b)为接点落在另一个三角形的棱边上。对于三角形网格形状和尺寸的要求是，全部三角形应尺寸相同，且尽量接近等边三角形。图10-4-1不良的连接：(a)部分重叠；(b)节点落在棱边上。452(b)(a)影响三角形网格质量的主要因素有两个。其中之一是平均轴比，它定义为，这里为一个三角形的外接圆的半径，为其内切圆的半径。一个等边三角形的轴比为1。如果全部三角形都是等边的，那么网格的平均轴比为1。许多实际三角形网格的平均轴比通常大于1。因此，轴比越接近1，网格的质量越好。但是，平均轴比不会影响网格尺寸的差别。若一个三角形的网格中一部分尺寸相同，另一部分尺寸不同，也不是一个好的网格。为了将网格的形状和尺寸计入网格的质量，使用先前定义的网格质量因子。对于三角形，网格的质量因子为三角形的尺寸取决于使用的基函数。下面将要讨论的Rao-Wilton-Glisson基函数要求三角形的平均棱边长度约小于或更短一些。注意，太短的棱边长度将导致低频崩溃。对于单精度计算机，当平均棱边长度约小于或更短时，将发生低频失效。关于网格还有一个问题应该指出的是网格面的指向。使用电场积分方程（EFIE）时，对于开域问题这个问题并不重要。但是，使用后面将要介绍的磁场积分方程（MFIE）或组合场积分方程（CFIE）时，对于闭合区域，网格面的指向十分重要。由于三维表面问题中，未知的电流函数是一个矢量函数，此时基函数也是矢量函数。由S. M. Rao, D. R. Wilton和 A. W. Glisson 等学者创建的RWG基函数广泛地用于三角形网格6。RWG基函数由两个共边的三角形定义。令两个三角形为和，每个三角形都是平面的，但是两个三角形不一定位于同一平面。图10-4-2给出RWG基函数的几何图形。图中和分别为两个三角形的第一个节点。图10-4-2 RWG基函数第n个RWG基函数为（10-4-6）式中为公共边的长度，分别为三角形的面积。该基函数具有两个重要特性。第一个特性是棱边法向分量的连续性，它保证了电流横