随机变量及其分布.ppt

2 1随机变量及其分布 2 2随机变量的数学期望 2 3随机变量的方差与标准差 2 4常用离散分布 2 5常用连续分布 2 6随机变量函数的分布 2 7分布的其他特征数 第二章随机变量及其分布 2 1随机变量及其分布 1 掷两颗骰子 出现的点数之和为X2 3 4 12 2 任取n个产品 其中的不合格品个数Y0 1 2 n 3 某商场一天内来的顾客数Z0 1 2 4 某种型号电视机的寿命T 0 2 1 1随机变量的定义 定义2 1 1设 为某随机现象的样本空间 称定义在 上的实值函数X X 为一个随机变量 注意点 1 随机变量X 是样本点 的函数 其定义域为 其值域为R的子集 2 若X为随机变量 则 X k a X b 均为随机事件 3 随机变量的取值有一定的概率 这是与普通函数最大的区别 例1将一枚硬币掷3次 记X表示正面出现的次数 试用随机变量X表示事件A 至多出现一次正面 B 三次出现同一面 并求它们的概率 若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个 则称X为离散随机变量 若随机变量X的可能取值充满某个区间 a b 则称X为连续随机变量 两类随机变量 定义2 1 2设X为一个随机变量 对任意实数x 称F x P X x 为X的分布函数 易知 1 对任意实数a b a b 有P a X b P X b P X a F b F a 2 分布函数F x 的定义域为R 值域为 0 1 2 1 2随机变量的分布函数 分布函数的基本性质 1 F x 单调不降 2 有界 0 F x 1 F 0 F 1 3 右连续 注 这是一个充要条件 例2下列函数可以作为某个随机变量的分布函数的是 A B C 练习 ex2 1第8题 2 1 3离散随机变量的分布列 设离散随机变量X的可能取值为 x1 x2 xn 称pi P X xi i 1 2 为X的分布列 分布列也可用表格形式表示 Xx1x2 xn Pp1p2 pn 分布列的基本性质 1 pi 0 2 正则性 非负性 注意点 求离散随机变量的分布列应注意 1 确定随机变量的所有可能取值 2 计算每个取值点的概率 例3求下列随机变量分布律中的未知参数a 例4ex2将一颗骰子抛两次 以X表示两次中所得的最小点数 1 求X的分布列 2 求X的分布函数 3 求P 1 X 2 5 P x 4 练习 已知X的分布列如下 求X的分布函数并作图观察其特点 注意点 离散随机变量的分布函数的特点 1 F x 是递增的阶梯函数 2 其间断点均为右连续的 3 其间断点即为X的可能取值点 4 其间断点的跳跃高度是对应的概率值 作业 习题2 1第1 3 6题 频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线 总体密度曲线 而具有这种特征的总体密度曲线 一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式 定义2 1 4 设随机变量X的分布函数为F x 则称X为连续随机变量 若存在非负可积函数p x 满足 称p x 为概率密度函数 简称密度函数 2 1 4连续随机变量的密度函数 几何意义 x处的分布函数值表示曲线p x 落在直线X x左侧的面积 注 连续型随机变量X的分布函数F x 是一个连续函数 但p x 不一定是连续函数 密度函数的基本性质 满足 1 2 的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数 非负性 正则性 注意点 3 P a X b P a X b P a X b P a X b 1 F x 是 上的连续函数 见P70 2 对任意实数a 有P X a F a F a 0 0 看书中例2 1 7的均匀分布 密度函数 分布函数 求 1 常数c 2 X的分布函数F x 3 P 0 5 X 1 5 P X 1 例6设随机变量X 辛普森分布 的概率密度为 1 求常数a 2 求X的分布函数F x 3 求P 0 5 X 1 例7设随机变量X的概率密度为 例8设随机变量X的分布函数为 思考 概率密度是唯一的吗 是连续的吗 1 设X p x 且p x p x F x 是X的分布函数 则对任意实数a 0 有 F a 1 F a F a F a F a 2F a 1 课堂练习 练习2 设随机变量X的分布函数为 例9向区间 0 a 内任意投点 用X表示该点的坐标 设此点落在 0 a 内任一小区间的概率与其长度成正比 而与小区间的位置无关 求X的分布函数和密度函数 看书中例2 1 9给出的奇异型随机变量 例10设随机变量X的密度函数为 作业 习题2 1第10 12 13 14题 ex10 设X 求F x 解 设X与Y同分布 X的密度为 已知事件A X a 和B Y a 独立 解 因为P A P B P A B P A P B P A P B 从中解得 且P A B 3 4 求常数a 且由A B独立 得 2P A P A 2 3 4 从中解得 P A 1 2 由此得0 a 2 因此1 2 P A P X a ex15 连续型 密度函数X p x 不唯一 2 4 P X a 0 离散型 分布列 pn P X xn 唯一 2 F x 3 F a 0 F a P a X b F b F a 4 点点计较 5 F x 为阶梯函数 5 F x 为连续函数 F a 0 F a F a 0 F a 2 2随机变量的数学期望 分赌本问题 17世纪 甲乙两赌徒赌技相同 各出赌注50元 无平局 谁先赢3局 则获全部赌注 当甲赢2局 乙赢1局时 中止了赌博 问如何分赌本 两种分法 1 按已赌局数分 则甲分总赌本的2 3 乙分总赌本的1 32 按已赌局数和再赌下去的 期望 分 因为甲获胜的概率为3 4 乙获胜的概率为1 4 所以甲分总赌本的3 4 乙分总赌本的1 4 2 2 1数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的 期望 分 则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量 其分布列为 X0100 P1 43 4 甲的 期望 所得是 0 1 4 100 3 4 75 2 2 2数学期望的定义 定义2 2 1设离散随机变量X的分布列为P X xi pi i 1 2 若级数 绝对收敛 则称该级数为X的 数学期望 记为 连续随机变量的数学期望 定义2 2 2设连续随机变量X的密度函数为p x 若积分 绝对收敛 则称该积分为X的 数学期望 记为 数学期望简称为期望 数学期望又称为均值 数学期望是一种加权平均 注意点 X 1012 例2掷一颗均匀的骰子 以X表示掷得的点数 求X的数学期望 思考 习题2 2第5题 例3在一个人数为N的人群中普查某种疾病 该疾病的发病率为p 方法一 每个人分别检查 方法二 先分成k个小组 各组内进行一次检查 若混合血样后呈阴性 则无需进一步检验 若呈阳性 则每人再做一次检查 问第二种方法能否减少平均检验次数 例5求证 柯西分布的数学期望不存在 2 2 3数学期望的性质 定理2 2 1设Y g X 是随机变量X的函数 若E g X 存在 则 数学期望的性质 1 E c c 2 E aX aE X 3 E g1 X g2 X E g1 X E g2 X 例8某公司销售某种原料 已知该原料的市场需求X 吨 服从 300 500 上的均匀分布 每出售一吨公司获利1 5 千元 若积压一吨公司损失0 5 千元 问公司应组织多少吨货源 可使平均收益最大 作业 习题2 2第9 11 12 14题 2 3随机变量的方差与标准差 数学期望反映了X取值的中心 方差反映了X取值的离散程度 是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征 如何定义 2 3 1方差与标准差的定义 定义2 3 1若E X E X 2存在 则称E X E X 2为X的方差 记为记为D X 或Var X 即Var X E X E X 2 简化公式 D X E X2 E X 2 2 称 注意点 X X 1 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 方差越大 则随机变量的取值越分散 为X的标准差 例1某人有一笔资金 可投入两个项目 房产和商业 其收益都与市场状态有关 未来市场状态分为好中差的分别为0 2 0 7 0 1 投资房产的收益X 万元 投商业的收益Y 万元 的分布列如下 问哪种投资更好 2 3 2方差的性质 1 Var c 0 性质2 3 2 2 Var aX b a2Var X 性质2 3 3 3 对任意常数c 有 例3设E X 2 E X2 5 求E 1 3X Var 1 3X 练习 习题2 3第1题 随机变量的标准化 设Var X 0 令 则有E Y 0 Var Y 1 称Y为X的标准化 2 3 3切比雪夫 Chebyshev 不等式 设随机变量X的方差存在 这时均值也存在 则对任意正数 有下面不等式成立 或 例4已知某种股票每股价格X的平均值为1元 标准差为0 1元 求a 使股价超过1 a元或低于1 a元的概率小于10 练习 设 定理2 3 2 作业 习题2 3第2 4 5 11题 含义 设一次试验中事件A发生的概率为P A p 记n次独立重复试验中事件A发生的次数为X 则X B n p 1 二项分布定义若离散型随机变量X的分布列为则称X服从参数为n p的二项分布 记作X B n p 2 4常用离散分布 举例 1 设某人在10次独立射击中的击中次数为X 则X服从什么分布 2 某时间段内25只灯泡中损坏 是否损坏相互独立 的只数Y服从二项分布 例1一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0 25 为试验一种新药是否有效 把它给10个人服用 且规定若10个病人中至少有4个治好则认为这种药有效 反之则认为无效 求 1 虽然新药有效 且把痊愈率提高到0 35 但通过试验却被否定的概率 2 新药完全无效 但通过试验却被认为有效的概率 检验中的两类错误 1 弃真的错误 称为第一类错误 虽新药有效但检验结果认为无效 厂家受损 2 采伪的错误 称为第二类错误 虽新药无效但检验结果认为有效 消费者受损 本题体现的统计思想 练习 一批产品的合格率为0 8 有放回地抽取6次 每次一件 则取得的合格品件数X服从什么分布 不合格品数Y服从什么分布 至多有一件不合格品的概率是多少 例2设X b 2 p Y b 4 p 已知P X 1 8 9 求P Y 1 举例 0 1分布可描述只有两种可能结果的试验 1 抛一枚硬币 设X表示正面出现的次数 2 从一批产品中任取一件 设Y表示取到的次品数 3 设一次试验中事件A发生的次数为Z 设X表示n次独立重复试验中某事件A发生的次数 则X b n p 若记第i次试验中事件A发生的次数为Xi 则Xi 0 1 且X X1 X2 Xn 即二项分布b n p 可表示为n个相互独立的随机变量之和 0 1分布与二项分布的联系 二项分布b n p 的数学期望 np 0 1分布的方差 p 1 p 二项分布b n p 的方差 np 1 p 0 1分布的数学期望 p 例3ex13某产品的不合格品率为0 1 每次随机抽取10件进行检验 若发现其中不合格品数多于1 就去调整设备 若检验员每天检验4次 求每天平均要调整几次设备 提示 ex12 思考 71页例2 1 10 泊松 Poisson 分布P 定义若随机变量X的分布律为P X k k 0 1 2 0 则称X服从参数为 的泊松分布 记作X P 2 4 2泊松分布 举例 描述单位时间 面积或产品中的计数过程 比如 医院一日内的急诊人数 一页书中的印刷错误数 某时间内发生的交通事故次数 一平方米内玻璃上的气泡数 例4设由某商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数为8的泊松分布来描述 为了以90 以上的把握保证不脱销 问商店在月初至少应进某种商品多少件 介绍泊松分布表 练习 ex8 泊松定理 定理2 4 1 二项分布的泊松近似 在n重伯努利试验中 记pn为一次试验中成功的概率 若npn 则 当n 20 p 0 05时 二项分布就可近似地看成是参数 np的泊松分布 N越大 p越小 近似效果越好 例5有10000名同年龄段的人参加某保险公司的一项人寿保险 每人在年初交纳200元保费 而在这一年中若投保人死亡 则受益人可从保险公司获取100000元的赔偿费 据生命表知此类人的年死亡率是0 001 试求该保险公司在此项业务上 1 亏本的概率 2 至少获利500000元的概率 泊松分布P 的数学期望 泊松分布P 的方差 其中k为非负整数 且k M k n 则称X服从超几何分布 记为X h n N M 2 4 3超几何分布 若X的分布列为 超几何分布对应于不返回抽样模型 设N个产品中有M个不合格品 从中抽取n个 不合格品的个数记为X 则X服从超几何分布 当n N远小于1时 不放回抽样可近似看作有放回抽样模型 此时的超几何分布近似可以看成是一个二项分布 则称X服从几何分布 记为X Ge p 含义 几何分布X表示独立重复的伯努利试验中 首次成功 时的试验次数 2 4 4几何分布 若X的分布列为 举例 1 设一批产品的次品率为0 01 则首次查到次品的检查次数X Ge 0 01 2 若某射手的命中率为0 7 则首次击中目标的射击次数Y Ge 0 7 几何分布Ge p 的数学期望 1 p 几何分布Ge p 的方差 1 p p2 例6ex10 从一个装有m个白球 n个黑球的袋中有放回地取球 直到取到白球时停止 试求取出的黑球数的数学期望 负二项分布 巴斯卡分布 记为X Nb r p X为独立重复的伯努里试验中 第r次成功 时的试验次数 注意点 1 二项随机变量是独立0 1随机变量之和 2 负二项随机变量是独立几何随机变量之和 思考题 习题2 4第9题 作业题 习题2 4第2 7 8 11 12题 常用离散分布的数学期望 几何分布Ge p 的数学期望 1 p 0 1分布的数学期望 p 二项分布b n p 的数学期望 np 泊松分布P 的数学期望 常用离散分布的方差 0 1分布的方差 p 1 p 二项分布b n p 的方差 np 1 p 泊松分布P 的方差 几何分布Ge p 的方差 1 p p2 2 5常用连续分布 正态分布 均匀分布 指数分布 伽玛分布 贝塔分布 记为X N 2 其中 0 是任意实数 是位置参数 是尺度参数 2 5 1正态分布 频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线 总体密度曲线 观察总体密度曲线的形状 有什么特征 如果总体密度曲线具有这种特征 可近似认为该总体服从正态分布 中间高 两边低 记为X N 2 其中 0 是任意实数 是位置参数 是尺度参数 2 5 1正态分布 其中 0为常数 则称X服从参数为 的正态分布 记为X N 2 又称为高斯分布或误差分布 若随机变量X的概率密度为 一 正态分布的定义 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度等都近似服从正态分布 生产生活中的正态分布 另一方面 有些分布 如二项分布 泊松分布 的极限分布是正态分布 所以 无论在实践中 还是在理论上 正态分布是概率论中最重要的一种分布 二项分布向正态分布的转换 正态分布是概率论中最重要的分布 1 曲线关于直线x 对称 且在x 时位于最高点 2 曲线以x轴为渐近线 3 曲线的位置由 决定 曲线的形状由 决定 4 曲线在处有拐点 二 正态曲线的性质 正态分布的分布函数 三 正态分布的概率计算 重点 难点部分 搭一座桥 利用正态分布与标准正态分布的关系解决问题 标准正态分布N 0 1 参数为 0 1的正态分布称为标准正态分布 记作U N 0 1 分布函数表示为 其密度函数表示为 由于标准正态分布在概率统计中有非常重要的地位 已专门制作了 标准正态分布表 若U N 0 1 查表可得标准正态分布函数值 利用对称性还可得以下公式 从而可得公式 u u u 1 u 2 1 2 一般正态分布的标准化 定理2 5 1设X N 2 则U N 0 1 推论 若X N 2 则 例题1 3 设某次考试学生成绩服从正态分布N 100 64 求此次考试成绩在110分以上的考生占总人数的百分比 1 求标准正态分布落在区间 1 2 内的概率 P X 1 2 设X N 10 4 求P 10 X 13 P X 10 2 若P X a 0 95 求a 2 设正态分布N 6 2 在区间 5 7 取值的概率是0 8 则 课堂练习 1 设X N 0 1 4 求P X 1 P X 0 3 已知X N 3 22 且P X k P X k 则k 3 4 设X N 2 则随 的增大 概率P X 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 5 设X N 42 Y N 52 记p1 P X 4 p2 P Y 5 则 对任意的 都有p1 p2 对任意的 都有p1p2 6 正态总体N 2 在区间 3 1 取值的概率等于在区间 3 5 取值的概率 则 求正态总体N 2 在下列区间内取值的概率 四 3 原则 O x 小概率事件 小概率原理 小概率事件在一次实验中几乎不可能发生 正态总体在 3 3 以外取值的概率是0 3 3 3 中心线 控制上界 控制下界 例题2 设零件尺寸 cm 服从正态总体N 4 0 25 质检人员从工厂生产的1000件产品中随机抽查一件 测得其尺寸为5 7cm 试问该产品是否合格 3 4 3 0 5 5 5 控制上界 3 4 3 0 5 2 5 控制下界 5 7 2 5 5 5 该产品不合格 若U N 0 1 可算得E U 0 Var U 1 五 正态分布的期望和方差 若X N 2 由性质得E X Var X 2 记为X U a b 2 5 2均匀分布 观察其图像有什么特点 含义 均匀分布U a b 表示落在区间 a b 内的随机点的坐标 回顾P71例2 1 11 练习 设 求 例3设随机变量X在区间 0 5 上服从均匀分布 求方程有实根的概率 例4X U 2 5 现在对X进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 Var X b a 2 12 均匀分布U a b 的期望E X a b 2 练习 115页第2 5题 2 5 3指数分布 记为X Exp 其中 0 实例 电子元件的寿命 等待服务的时间等都服从指数分布 因此 指数分布在可靠性及排队论中有重要的应用 指数分布具有无忆性 即对任意s 0 t 0有 P X s t X s P X t 例5某种电子元件的寿命X 单位 小时 服从参数为1 600的指数分布 求3个这样的元件使用200小时至少有一个已损坏的概率 练习 115页第8题 看110页例2 5 5 作业 115页第19 21 22 243 6 10 11题 2 5 4伽玛分布 记为X Ga 其中 0 0 为伽玛函数 称 注意点 1 1 1 1 2 n 1 n 2 Ga 1 Exp Ga n 2 1 2 2 n 2 5 5贝塔分布 记为X Be a b 其中a 0 b 0 称 为贝塔函数 注意点 1 2 B a b B b a B a b a b a b 3 Be 1 1 U 0 1 常用连续分布的数学期望 均匀分布U a b E X a b 2 指数分布Exp E X 1 正态分布N 2 E X 伽玛分布Ga E X 贝塔分布Be a b E X a a b 常用连续分布的方差 均匀分布U a b 的方差 b a 2 12 指数分布Exp 的方差 1 2 正态分布N 2 的方差 2 例2 5 6已知随机变量X服从二项分布 且E X 2 4 Var X 1 44 则参数n p的值为多少 例2 5 7设X表示10次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为0 4 则E X2 的值为多少 解 从2 4 np 1 44 np 1 p 中解得 解 因为E X np 4 Var X 2 4 所以 n 6 p 0 4 E X2 Var X E X 2 2 4 16 18 4 设E X Var X 2 则对任意常数C 必有 课堂练习 2 6随机变量函数的分布 问题 已知X的分布 求Y g X 的分布 例如 Y1 4X 3 Y2 X Y3 X2 当X为离散随机变量时 Y g X 为离散随机变量 将g xi 一一列出 再将相等的值合并即可 2 6 1离散随机变量函数的分布 0 2 0 1 2 0 2 6 2连续随机变量函数的分布 例2设X Exp 1 且 求Y的分布列 一 公式法 当y g x 的反函数唯一时 定理2 6 1设X pX x y g x 是x的严格单调函数 记x h y 为y g x 的反函数 且h y 连续可导 则Y g X 的密度函数为 例3练习第7题设X U 1 2 求Y e2X的密度函数 例4练习第8题设X U 0 2 1 求Y X2的密度函数 2 求P Y 2 正态变量的线性不变性 定理2 6 2设X N 2 则当a 0时 Y aX b N a b a2 2 推论 若X N 2 则Y X N 0 1 练习 若X N 10 4 则Y 3X 5 Z 2X 1分别服从什么分布 对数正态分布 定理2 6 3设X N 2 则Y eX的服从对数正态分布LN 2 其密度函数为 练习 P124第17题 生活中的例子 绝缘材料的寿命 维