医用高等数学3.2.ppt

一 定积分的概念 二 定积分的性质 第二节定积分 三 牛顿 莱布尼兹公式 四 定积分的换元法和分部积分法 一 定积分的概念 曲边梯形设函数y f x 在区间 a b 上非负 连续 由直线x a x b y 0及曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 怎样求曲边梯形的面积 看下面的动画演示 分割越细 小矩形面积的和越趋近于曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积 3 求和 曲边梯形的面积近似为 xi 求变速直线运动的路程 把整段时间分割成若干小时间段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程的近似值 再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 对于匀速运动 我们有公式路程 速度X时间 解决变速运动的路程的基本思路 设某物体做变速直线运动 其速度为 求在时间间隔内所走过的路程 其中为区间上的非负连续函数 1 分割 3 求和 4 取极限 路程的精确值 2 近似 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 近似 求和 取极限 所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问题 将其一般化 就得到定积分的概念 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 定义3 3设在区间上有定义 用个分点 将区间分成小区间 记 任取点 作和式 记 如果无论区间如何分法 点如何取法 当时 和式的极限存在 则称此极限为在区间上的定积分 记作 即 积分上限 积分下限 2 定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为 注意 1 定义中区间的分法和的取法是任意的 3 时 规定 时 规定 例3 36利用定义计算定积分 3 求和 所以 4 取极限当 定积分的几何意义 当f x 0时 f x 在 a b 上的定积分表示由曲线y f x 直线x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 f x 在 a b 上的定积分表示曲边梯形面积的负值 即 当f x 在区间 a b 上时正时负 则定积分表示曲线y f x 与x轴介于a b之间的各部分面积的代数和 二 定积分的性质 性质3 6 注意 不论的相对位置如何 上式总成立 性质3 7定积分对于积分区间具有可加性 性质3 8 如果在区间上 则 性质3 9设及分别是函数在区间上的最大值及最小值 则 性质3 10 定积分中值定理 如果函数在闭区间上连续 则在上至少存在一个点 使 积分中值公式的几何解释 在区间上至少存在一个点 使得以区间为底边 以曲线为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为的矩形的面积 注意 通常称为连续函数在区间上的平均值 实际上 定义本身不失为定积分的一种计算方法 其基本步骤是 先作积分和 然后求其和式极限 这一过程是比较复杂的 并且应用范围也仅限于少数几种特殊的被积函数 在历史上 寻找定积分新的计算方法 经历了漫长的岁月 直到17世纪中叶 英国数学家牛顿 IsaccNewton 1642 1727 和德国数学家莱布尼茨 G W Leibniz 1646 1716 创立了微积分基本定理 从而揭示了定积分与不定积分之间的关系 建立了一种切实可行的 简单的计算方法 积分上限函数 设函数在区间上连续 并且设为上的一点 积分是函数 记为 称为积分上限函数 0 x 证明任取 定理3 3如果在上连续 则积分上限函数在上可导 且 由积分中值定理得 例3 37求函数在处的导数 解由定理3 3 所以 例3 38求函数的导数 解先将函数化为积分上限函数 因此可视为由 复合而成的复合函数 所以 例3 39求 解 解这是型不定式 应用洛必达法则 例3 40求极限 定理3 4 微积分基本定理 如果函数在闭区间上连续 且是一个原函数 则 证明已知是的一个原函数 又也是的一个原函数 牛顿 莱布尼茨公式 令 令 牛顿 莱布尼茨公式表明 一个连续函数在区间 a b 上的定积分等于该函数的任意一个原函数在 a b 上函数值的增量 例3 41求 解 例3 42求 解 解小鼠一天之内的能量代谢值可用 0 24 这一时间间隔里代谢率的积分求得 即 其中t 0 24 28相应于下午4点 求小鼠的日代谢值 例3 43设小鼠的能量代谢率EMR以日为周期而变化 定理3 5假设在区间上连续 函数在区间上是单值的且有连续的导数 其中 当在区间上变化时 的值在上变化 则 注意 1 用把变量换成新变量时 积分限也相应的改变 2 求出新变量的积分后 只要将新的积分限代入计算 不必换回原来的变量 四 定积分的换元法和分布积分法 1 定积分的换元法 定积分的换元公式 例3 44计算 解设 所以 若不换新变量 就不要换上 下限 即 例3 45计算 解 例3 46计算 解设 证明 证明 2 定积分的分部积分法 例3 48求 解 例3 49求 解 例3 50药物从患者的尿液中排出 一种典型的排泄速率函数是 其中是