【考点5】导数及其应用.doc

考点5数 学2010年高考数学试题分类解析【考点5】导数及其应用1、（18）（重庆理）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）已知函数其中实数 （）若a=-2，求曲线在点处的切线方程； （）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。解：（I）当a=2时，因此曲线在点处的切线方程为，即 （II）因由（I）知又因处取得极值，所以即此时其定义域为，且由当时，时，由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间（1，3）上是减函数2、（22）（浙江)（本题满分14分）已知a是给定的实常数，设函数是的一个极大值点. （I）求b的取值范围; （II）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由. （）解：令则于是可设是的两实根，且 （1）当时，则不是的极值点，此时不合题意 （2）当时，由于是的极大值点， 故即即所以所以的取值范围是（-，） （）解：由（）可知，假设存了及满足题意，则 （1）当时，则于是即此时或 （2）当时，则若于是即于是此时若于是即于是此时综上所述，存在满足题意当当当3、（21）（天津）（本小题满分14分）已知函数 （）求函数的单调区间和极值； （）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （）如果，且，证明 （）解：f令f（x）=0,解得x=1当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表X（）1（）f（x）+0-f（x）极大值所以f（x）在（）内是增函数，在（）内是减函数。函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）= （）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）令F（x）=f（x）-g（x）,即于是当x1时，2x-20,从而（x）0,从而函数F（x）在1,+）是增函数。又F（1）=F（x）F（1）=0,即f（x）g（x） （）证明：（1）若 （2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而因为，所以，又由（）可知函数f（x）在区间（-，1）内事增函数，所以,即24、（22）（四川）（本小题满分14分）设（且），是的反函数 （）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围； （）当（为自然对数的底数）时，证明：； （）当时，试比较与4的大小，并说明理由解：（）由题意，得故由得列表如下：2（2，5）5（5，6）605极大值25所以所以t的取值范围为5，32（5分） （） （）综上，总有（14分）5、（陕西21）（本小题满分14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR. （I）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （II）设函数h(x)=f(x) g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值（a）的解析式； （III）对（2）中的（a），证明：当解:（I）由已知得 =alnx，=， 解得a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2，e） 切线的斜率为切线的方程为ye=(x e2). （II）由条件知（i）当a.0时，令h ( x)=0,解得x=,所以当0 x 时 h ( x)时，h ( x)0，h(x)在（0，）上递增。x是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.最小值（a）=h()= 2a a ln=2 （ii）当a0时，递增，无最小值.故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1ln2a) (a0) （III）由（II）知（a）=2ln2a.对任意的 ， 故由，得6、（7）（山东5分）由曲线围成的封闭图形面积为（A）（B）（C）（D）答案：7、（山东22）（本小题满分14分）已知函数. （）当时，讨论的单调性； （）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.解：（）因为所以令（1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减， （）因为，由（）知，当，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为由于“对任意，存在，使”等价于“在1，2上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）又，所以当时，因为，此时与（*）矛盾；当时，因为，同样与（*）矛盾；当时，因为解不等式，可得综上，的取值范围是8、（全国I，20）（本小题满分12分）已知函数 （）若，求的取值范围； （）证明：解：（）题设等价于令当时，；当时，的最大值点，综上，的取值范围是 （）由（）知，即当时，当时；所以9、（全国2，22）（本小题满分12分）设函数 （）证明：当时，； （）设当时，求a的取值范围解：（I）当时，当且仅当令2分当，是增函数；当是减函数。于是在x=0处达到最小值，因而当时，所以当6分、 （II）由题设当不成立；当则当且令当8分 （i）当时，由（I）知是减函数，10分 （ii）当时，由（I）知当时，综上，a的取值范围是10、（全国新，21）（本小题满分12分）设函数f（x）=. （）若a=0,求f（x）的单调区间; （）若当x0时f（x）0，求a的取值范围.解：（I）a=0时，当当故单调减少，在单调增加. （II）由（I）知当且令当x=0时等号成立，故从而当于是当由可得从而当时，故当于是当综合得a的取值范围为11、（3）（全国新，5分）曲线在点处的切线方程为（A） （B） （C） （D）答案：A12、（辽宁，21）（本小题满分12分）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）设如果对任意，求的取值范围。解：（） f（x）的定义域为（0,+），当a0时，0，故f（x）在（0,+）单调增加；当a1时，0, 故f（x）在（0,+）单调减少；当1a0时，令0,解得x=当x（0, ）时, 0；x（，+）时，0, 故f（x）在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少 （）不妨假设x1x2由于a1,由（）知在（0，+）单调减少，从而等价于令,则等价于在（0，+）单调减少，即从而故的取值范围为12分13、（10）（辽宁5分）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）答案：A14、（江西）19（本小题满分12分）设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若在上的最大值为，求的值解：函数的定义域为（0，2），（1）当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当即在上单调递增，故在上的最大值为，因此15、（江西5分）5等比数列中，函数，则A B C D答案：16、（江苏）20（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质 （1）设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间 （2）已知函数具有性质，给定，且，若|0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_答案：21 18、湖南5分）5等于A B C D答案：19、（湖北）21（本小题满分14分）已知函数的图象在点处的切线方程为 （I）用a表示出b，c； （II）若上恒成立，求a的取值范围； （III）证明：解：（I） （II）由（I）知，令则（i）当若是减函数，所以即上不恒成立.（ii）当若是增函数，所以即时，综上所述，所求a的取值范围为 （II）解法一：由（II）知：当令且当令即将上述n个不等式依次相加得整理得解法二：用数学归纳法证明. （1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立. （2）假设n=k时，不等式成立，就是、那么由（II）知：当时，有令令这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立.20、（福建）20（本小题满分14分） （1）已知函数f（x）=x3=x，其图像记为曲线C （i）求函数f（x）的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f（x1）处的切线交于另一点P2（x2,f（x2）曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3，f（x3），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值： （）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。解法一： （）（i）由得当时，；当时，因此，的单调递增区间为，单调递减区间为 （ii）曲线C在点P1处的切线方程为即由得即解得故进而有用代替，重复上述计算过程，可得又，所以 （II）记函数的图象为曲线C，类似于（I）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数曲线与其上点P1（）处的切线交于另一点曲线与其在点P2处的切线交于另一点，线段P1P2、P2P3与曲线所围成封闭图形的面积分别记为为定值。证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设故解法二： （I）同解法一。 （II）记函数的图象为曲线C，类似于（I）（ii）的正确命题为：若对于任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点P2处的切线交于另一点，线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为为定值。证明如下：由的得所以曲线C在点处的切线方程为由得故用所以，21、（北京）（18）（本小题共13分）已知函数（）=In（1+）-+（0）。 （）当=2时，求曲线=（）在点（1，（1）处的切线方程； （）求（）的单调区间。解：（）当时，由于所以曲线在点处的切线方程为即 （）当时，所以，在区间（-1，0）上，；在区间（0，+）上，故的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+）当时，由得所以，在区间（-1，0）和上，；在区间上，故的单调递增区间是（-1，0）和，单调递减区间是。当时，故的单调递增区间是（-1，+）当时，由得所以，在区间和（0，+）上，；在区间上，故的单调递增区间是和（0，+），单调递减区间是。22、（安徽）（17）（本小题满分12分）设a为实数，函数 （I）求的单调区间与极值； （II）求证：当时， （I）解：由令的变化情况如下表：0+单调递减单调递增故的单调递减区间是，单调递增区间是，处取得极小值，极小值为 （II）证：设于是由（I）知当于是当而即23、（重庆文）(19) (本小题满分12分), ()小问5分，()小问7分.)已知函数(其中常数a,bR),是奇函数.()求的表达式;()讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值.解：（）由题意得因此是奇函数，所以有从而 （）由（）知，上是减函数；当从而在区间上是增函数。由前面讨论知，而因此，最小值为24、（浙江文）（21）（本题满分15分）已知函数f（x）（a）（ab）（a，bR，ab） （）当a1，b2时，求曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程; （）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3x1，x3x2证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4（）解：当a=1,b=2时，因为（x）=（x-1）（3x-5）故（2）=1又f（2）0，所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为yx2 （）证明：因为（x）3（xa）（x），由于ab故a所以f（x）的两个极值点为xa，x不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b又因为a2（b），x4（a），所以a，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x425、（天津文）（20）（本小题满分12分）已知已知函数其中0。 （）若=1，求曲线在点（2，）处的切线方程： （）若在区间上，0恒成立，求的取值范围。 （）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f（x）=, f（2）=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9. （）解：=.令=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：X0f（x）+0-f（x）极大值当等价于解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f（x）,f（x）的变化情况如下表：X0f（x）+0-0+f（x）极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a0）,由已知 得 =alnx，=， 解得a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f（e2）= ,切线的方程为y-e=（x- e2）. （2）由条件知 （）当a.0时，令h （x）=0,解得x=,当0 x 时 h （x）时，h （x）0，h（x）在（0，）上递增。x是h（x）在（0，+ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点。所以（a）=h（）= 2aaln=2（）当a0时，递增，无最小值。故 h（x） 的最小值（a）的解析式为2a（1ln2a）（ao） （）由（）知（a）=2a（1ln21na） 则 （a）=2ln2a，令（a）=0 解得.当时，（a）0，（a ）在（0,）上递增当上递减。在处取得极大值在（0, +）上有且只有一个极致点，所以也是的最大值28、（山东文)（21）（本小题满分12分）已知函数 （）当 （）当时，讨论的单调性解：（） 当所以 因此，即 曲线又 所以曲线 （）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，29、(全国文)（21）（本小题满分12分）已知函数 （）当时，求的极值； （）若在（-1，1）上是增函数，求的取值范围。解：（）当时，在（-，-2）内单调减，在（-2，+）内单调增，在时，有极小值。所以的极小值。 （）在（-1，1）上，单调增加当且仅当即 （i）当时，恒成立； （ii）当时成立，当且仅当解得 （iii）当时成立，即成立，当且仅当解得综上，的取值范围是30、(全国文5分)（21）（本小题满分12分）已知函数 （I）设a=2，求的单调区间； （II）设在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.解：（I）当a=2时， 2分 当时单调递增； 当单调减少； 当单调增加. 综上，的单调增区间是 的单调减区间是6分 （II） 当为增函数，故无极值点8分 当有两个根 由题意知， 或 式无解，式的解为 因此a的取值范围是12分31、(全国文5分)（7）若曲线在点（0，b）处的切线方程是则（A）a=1，b=1（B）a=-1，b=1（C）a=1，b=1（D）a=-1，b=-1答案：32、(全国新文)（21）本小题满分12分）设函数 （）若a=，求的单调区间； （）若当0时0，求a的取值范围解：（I） （II）令若若a1，则当为减函数，而从而当综合得a的取值范围为33、(全国新文5分)（4）曲线在点（1,0）处的切线方程为（A） （B）（C） （D）答案：34、（辽宁文）（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1 （）讨论函数f（x）的单调性； （）设a-2，证明：对任意x2,x2（0,+），|f（x1）-f（x2）|4|x1-x2|解：（） f（x）的定义域为（0,+），当a0时，0，故f（x）在（0,+）单调增加；当a1时，0, 故f（x）在（0,+）单调减少；当1a0时，令0,解得x=当x（0, ）时, 0；x（，+）时，0, 故f（x）在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少 （）不妨假设x1x2由于a2,故f（x）在（0，+）单调减少所以等价于4x14x2,即f（x2）+ 4x2f（x1）+ 4x1令g（x）=f（x）+4x,则+48分于是0从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1） g（x2），即f（x1）+ 4x1f（x2）+ 4x2，故对任意x1,x2（0,+） ，12分35、（江苏文）20（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质 （1）设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间 （2）已知函数具有性质，给定，且，若|,求的取值范围解：（1）；则有如下解答：设同号， （2）依据题意当且,符合题意，当同理有综上36、（湖南文）21（本小题满分13分）已知函数其中a0,且a-1 （）讨论函数的单调性； （）设函数（e是自然数的底数）.是否存在a，使在a,-a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.解（I）的定