250角平分线和线段垂直平分线(一).doc

海陵中学初二数学学案 班级 姓名 （设计人：吴小兵） 第一学期期末复习讲义角平分线和线段垂直平分线【要点梳理】知识点1. 角的平分线的性质及判定定理：1如图OP平分AOB，点P在射线OP上，PCOA于C，PDOB于D ()2PCOA于C，PDOB于D，PC= PD， ()答案：PC=PD (角平分线上的点到角两边的距离相等) OP平分AOB（到角两边距离相等的点在角的平分线上）知识点2. 线段的垂直平分线的性质及判定定理：1线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 2线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上3线段的垂直平分线是到这条线段两端点距离相等的点的集合答案：1、距离相等 2、距离相等知识点3. 角的平分线和线段的垂直平分线的应用：1三角形的三条 交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。2三角形的 交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。3.如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A、一处 B、二处 C、三处 D、四处4如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F.下列推理中正确的个数是 .AD上任意一点到点C，B的距离相等；AD上任意一点到AC，AB的距离相等；BD=CD，ADBC；BDE=CDF答案：1、角平分线2、三条边的垂直平分线3、A 4、4【例题选析】例1如图4，AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于点E由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）答案：DAE=BAE;DE=BE; DCE=BCE例2.如图，A=B=90，M是AB的中点，DM平分ADC，求证：CM平分BCD答案： 如图：过点M作MN与CD垂直，先用AAS证明AMD与NMD全等，得MN=AM,由M为AB中点可知，AM=BM,所以BM=NM，又因为CM是公共边，根据HL可证明MBC与MNC全等，所以CM平分BCD。例3如图，BE和CD是ABC的两条高，在BE上截取BF=CA，延长CD至点H，使HC=AB求证：AF=AH；AFAH。答案：因为BE和CD是ABC的两条高，由同角的余角相等可得ABF=ACH,根据SAS证明 ABF与HCA全等,从而得AF=AH由ABF与HCA全等得BAF=H，因为H+HAD=90所以BAF+HAD=90，即HAF=90，所以AFAH例4已知：如图，CD是ABC的高,A=22.5，边AC的垂直平分线交AB于点E，EFBC，交CD于点G，垂足为F，求证：DB=DG 证明：因为NE是AC的垂直平分线，所以AE=CE,所以CED=2A=45，因为CD CD是ABC的高,所以GDE=CDB=90EDC是等腰三角形，CD=DE。在EDG与CDB中，根据同角的余角相等得GED=BCD,根据ASA可证明EDG与CDB全等。【巩固练习】1下列说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；ABC中BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ B ）A1个 B2个 C3个 D4个2.如图，ABC中ACB=90，AD平分BAC，DEAB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线证明：先用AAS证明AED与ACD全等，得AE=AC，DE=DC，所以点A和点D都在CE的垂直平分线上，所以AD是CE的垂直平分线3如图，PB和PC是ABC的两条外角平分线。求证：BPC=90-BAC.根据第问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？证明：PB和PC是ABC的两条外角平分线，P=180-（PBC+PCB）=180- （CBD+BCE）=180- （BAC +ACB+BCE）=180- （BAC A+180）=90- BAC 根据的结论，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故该三角形是锐角三角形答案：4.如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEBC交BAC的平分线于点E，EFAB于F，EGAC的延长线于G，则BF=CG，为什么？答案：连接CE，EBAE为CAB的角平分线且EFAB，EGAGGE=EF又EDCB且D为CB的中点CE=EBECG和EBF为直角三角形ECGEBFGC=FB5.如图，在ABC中，B=90，AB=7，BC=24，AC=25，ABC内存在一点P到三边距离相等，这个距离为 3 。6.如图所示，EG、FG分别是MEF，NFE的平分线，交点是G，BP、CP是MBC和NCB的平分线，交点是P.（1）证明：A、P、G三点共线。（2）若G=68，求P的度数。答案：（1）做射线AG， 做GR、GS、GT分别垂直AN、FE、AM,垂足分别为R、S、TEG平分MEF GS=GT同理GS=GR GT=GR AG是NAM的角平分线 同理AP也是NAM的角平分线A,P,G三点共线（2）G=68GFE+GEF=180-68=112EG、FG分别是MEF和NEF的平分线NFE+MEF=2*112=224AFE+NFE+AEF+MEF=2*180=360AFE+AEF=360-224=136A=180-136=44ACB+ABC=180-44=136NCB+MBC=360-136=224PB.PC分别是MBC和NCB的平分线PCB+PBC=224/2=112P= 180-112=68解得：P=687.如图所示，D是ABC一个外角平分线上一点，求证：AB+ACHB DH=CD,AH=AC DB+DCAB+AC8.如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A6cm B8cmC10cmD12cm答案：C9如图，在ABC中，BAC=130，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则PAQ的度数是 答案：80度10已知：如图，P在AOB内，点M、N分别是点P关于OA、OB的对称点，连接M、N分别交OA、OB于E、F，若PEF的周长为15，求MN的长答案：连接PE、PF，M、P关于OA对称，EM=EP，同理：FN=FP，PEF的周长=PEEFPF=MEEFFN=MN=2011 如图示：已知在ABC中，AD是高，CE是中线，DE=DC=BE，DGCE，垂足为G求证：（1）G是CE的中点；（2）B=2BCE答案：DC=DE=BE；又DG=DG，RtEDGRtCDG；（HL）GE=CG，G是CE的中点（2）由（1）知：BE=DE=CD；B=BDE，DEC=DCE；12如图（3）所示，在ABC中，B=C=2A，BD平分ABC，BE=BD，则图中等腰三角形的个数是 答案;713如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E，求证：ACE=B+ECD 答案：延长CE至CF交AB于F AD平分BAC ,CEAD FAE=CAE,AEF=AEC=90AE共用。 AEFAEC,AF=AC AFC为等腰三角形，AFC=ACE AFC=B+ECD ACE=B+ECD14如图，在ABC中，DCAC，1=2，DA=DB求证：AB=2AC答案：作DMAB,垂足为M.1=2，DCAC，DMAB,DM=DC. DA=DB，1=DBM, 2=DBM,在RtACD和RtBDM中，2=DBM, ACD=DMB, DM=DC, ACDBDM, AC=BM, 在等腰ABD中，AB=2BM, AB=2AC.15已知如图，ABP=CBP，P为BN上一点，且PDBC于点D，BAP+BCP=180求证： AB+BC=2BD 答案:过 P做PQAB于点QABP=CBP，PQAB，PDBC，PQ=PD.QBP=DBP，BQP=BDP=90，PQ=PD,BQPBDP，BQ=BD 即AB+AQ=BD.BAP+BCP=180, BAP+PAQ=180,BCP=PAQ,，即PCD=PAQ. 又AQP=CDP=90，PQ=PD，PQAPDC，AQ=CD.AB+BC=BQ-AQ+BD+CD=BQ+BD=2BD16如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长第16题图答案：延长NC至K使CK=BM，连接DK，MBD=DCK=90，BD=CD，BM=CK，MBDDCK，DM=DK，MDN=NDK=60，DN=DN，MDNNDKMN=NK=BM+CN周长=AM+BM+AN+CN=AB+AC=