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第3课时导数与函数的综合应用 规律方法 1 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 设自变量 因变量 建立函数关系式y f x 并确定其定义域 求函数的导数f x 解方程f x 0 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 回归实际问题作答 2 如果目标函数在定义域内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 训练1 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 考点二利用导数研究函数的零点或方程的根 例2 2014 全国 卷 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 规律方法 1 本题求解的关键是通过构造函数 把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决 2 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图像判断方程根的情况 这是导数这一工具在研究方程中的重要应用 训练2 2016 北京卷节选 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 规律方法 1 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h x 0 2 不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决 解答相应的参数不等式 如果易分离参数 可先分离变量 构造函数 直接转化为函数的最值问题 避免参数的讨论 思想方法 1 用导数方法证明不等式f x g x 时 找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图像与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 注意转化思想与数形结合思想的应用 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 易错防范 1 利用导数解决恒成立问题时 若分离参数后得到 a f x 恒成立 要根据f x 的值确定a的范围中端点能否得到 2 利用导数解决
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