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数学物理方法 试用教材 高等数学 物理类专业用 第二版 第四册 数学物理方法 四川大学数学系编 第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解 第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解 引言 调和方程 又称方程 是一类典型的椭 圆型方程 也是最简单的椭圆型方程 从物理观点来说 它是描述稳恒过程的 当我们研究的问题涉及各种物理性质是稳定 即不随时间改变 过程 可归结为椭圆型方程 如固定电场和磁场 静电学 静磁学 直流电场 不可压缩液体的位流 温定热场 或称稳定的稳度场 等等 描述这些现象的方程为椭圆型方程 本章学习基本要求 在学习这一部分内容时 除了弄清该方程及相应定解问题的 提法与其物理背景以外 还需要掌握的内容有 1 掌握圆的Dirichlet问题 2 会用分离变量法解矩形 圆形域等区域上的拉普拉斯方程 的边值问题 3 掌握函数的定义及其性质 4 掌握在一些特殊区域中对某些定解问题的求解方法 包括解的显式表达式的导出 本章的重点和难点 本章的重点 本章的难点 函数的定义及其性质 函数的性质 1 会用分离变量法求解矩形 圆形域等区域上的拉普拉斯方 程的边值问题 2 第一节圆的狄利克雷问题 9 1 1 定解问题的提法 9 1 2 定解问题的付氏解法 9 1 1 定解问题的提法 我们在第七 第八章中通过几个不同的物理模型推导出了两种典型的数学物理方程即波动方程与热传导方程 二维的热传导方程 三维的热传导方程 二维的波动方程 三维的波动方程 1 方程的导出 在以上所讨论的热传导现象和波动现象中的位移函数和温度函数 都是随时间的变化而变化的 但有一种特殊情况 即它们已经处于稳定状态 或者说 变化相当小 以致可以看 成与时间无关 这时 而方程 称上面的方程为方程 泊松方程 或 变为 1 2 等式左边常简记为 即方程为 调和方程或Poisson方程还可以从多种物理问题中导出 方程 1 2 变为 如果 3 我们称方程 3 为拉普拉斯 Laplace 方程或调和方程 也可以从纯数学的角度推出 一个复解析函数的实部与虚部满足 Cauchy Riemann方程 容易由该两方程推知与分布满足与 注 1 Laplace方程与泊松方程描述的是处于稳定状态的物理现象的 即描述与时间无关的物理现象的 即不含时间变量 所以在讨论定解问题时 不能附加初始条件 而仅考虑边界条件 这样的问题叫做边值问题 同前一样 Laplace方程描述的不是一个物理现象 而描述的是一类物理现象 他不仅可以从热传导现象来推出 还可以从其它的物理现象来推出 例如 可以从波动方程中来推出 也可从纯数学的角度来推出 如果一个函数在某个区域D内连续 且满足拉普拉斯方 程 则称该函数是D内的调和函数 或者说 函数在 调和函数 D内调和 本章主要用付氏方法求解圆内拉普拉斯方程第一边值问题 称为狄利克雷问题 在第十一章还将对有关拉普拉斯方程做更多和更深入的问题进行讨论 轴 假设在柱的表面上温度不随时间而改变 且与坐标 无关 则过了一段时间以后 在圆柱的每一点处 温度也 会稳定下来 与无关 这时圆柱内的温度分布函数 可以把看做圆柱任一横载面上的温度分布 其边 就满足二维方程 设有一个半径为的无限长圆柱 把它的对称轴取作 2 定解问题的提法 界是个圆 这就启发我们采用极坐标 这样必须把方程 化为极坐标系下的二维 方程 其边界是个圆 由于可以看做是圆柱任一横载面上的温度分布 令 方程为 设柱面上的温度由边界条件给出 因与 时间无关 无初始条件可谈 于是给出边值问题 其中为已知函数 且有 上述边值问题称为圆的狄利克雷问题 自然边界条件 根据问题的性质提出的边界条件称为自然边界条件 例如 因在圆心是连续的 所以在圆心的值应该是有界的 即这就是一个自然边界条件 9 1 2 定解问题的付氏解法 从而得到两个常微分方程 边值问题 分离变量法是数学物理方程 偏微分方程 这门课程中的基本解法 对上述边值问题仍应用分离变量法求解 即为极坐标系下的分离变量法 令带入方程 由此推得 即是说 是以为周期函数即为周期性条件 i 当时 方程的通解为此解不可能具有非零周期性 请注意 和表示同一点 所以 现在来看下面的定解问题 ii 当时 这时方程的通解为 为使此解为周期函数 所以 其中 为任意常数 此时方程 均为常微分方程中的欧拉方程 iii 当时 当相应地变成 当相应地变成 设 所以 为求解欧拉方程 方程 变为 其通解为 这里为任意常数 但当时 将有 从物理角度上看 温度在圆心的值应该是有限的 问题的解在是有限值 变为 因为所以 但当时 有 从物理角度上看 温度在圆心的值应该是有限的 所以必须取 才能保证定解问题的解 在是有限值 当时 方程 其通解为 均为任意常数 对所有的进行叠加 形式记为 为了确定任意常数 和 我们要求满足 边界条件为此 由于 得 计算付氏系数 得 将所求出系数带入 当时 令 则 均可证明 9 7 确为上述的狄利克雷问题的解 这公式称为泊松枳分 当函数连续甚至分段连续时 例1 求解下列狄利克雷问题 解 用分离变量法设 利用边界条件确定出 其中A为已知常数 所以 时 时 时 所以 例2 考察由下列定解问题描述的矩形平板上温度分布 其中为已知的连续函数 解 此定解问题的边界为矩形 应用分离变量法 变量分离设 代入方程得 即 代入边界条件 2 解特征值问题 a 若时 方程只有零解 b 若时 令 则方程变为其通解为 于是得特征函数为 3 解方程得通解为 其中 得一系列特为 4 叠加 5 由Fourier级数确定系数 代入边界条件 所以 解之得 其中 例3 在以原点为心以为半径的圆内 求泊松方程 的解 使它满足边界条件 解 解题思路 首先求出泊松方程的一个特解 用观察法 则可将泊松方程的狄利克莱问题转化为拉普拉斯方程的狄利克莱问题 解 用观察法求得方程的一个特解 为方程的一个特解 由边界条件 设 即为所求之解 在区域 中 求解下列问题 解 令 则得 应用分离变量法 令 得 由 由 第二节函数 9 2 2 函数的性质 9 2 3 把函数看作是弱收敛函数序列的弱极限 9 2 1 函数的引入 9 2 4 高维空间中的函数及函数的其他性质 第二节函数 在实际问题中会遇到集中力的概念 例如火车的重量通过车轮而作用在铁轨上的力 设为1个单位 因为作用的范围很小 就把他看作集中在一条线上的作用力 某段铁轨与火车车轮接触时受到的压力为1 没有与火车车轮接触时受到的压力为0 由于集中力的概念是由力的作用面积很小 而力的大小却保持一 定这样的实际情况抽象而得的 所以由狄拉克引入的在讨论连续分布的量和集中分布的量之间的关系时 起着十分重要的作用 它反映了诸如点质量点电荷 点热源等集中 函数 分布的物理量这类客观实际 它是将集中分布的量当作连续分布的量来处理的重要途径 9 2 1 函数的引入 所谓函数是指具有以下性质的函数 图是函数的示意图 曲线的 峰 无限高 但无限窄 曲线下的面积却为有限值1 容易看出是偶函数 即 函数在一点值不应该影响该函数的积分值 然而 函数在 整个轴上除原点外 处处等于零 而它的积分值却为1 不 显然 函数不是一个普通的函数 因为我们知道 只改变 是零 学本身也向前大大地发展了一步 因为在物理学中 常常运用质点 点电荷 瞬时力等抽象模型 质点的 因此 在狄拉克开始引入函数时 曾遭到很多数学家 的非难 但是由于函数真实地反映着集中的量这个事实 所以它被有效地应用着 这就足使数学家们对函数进行 研究和解释 随着函数严格的数学理论的确立 纯粹 数 其实 从物理上来看 提出函数的概念是十分自然的 例如 一个质量为m体积为V的物体 不难求出密度 为了求出这个质点的质量 须对密度积分 如求质量为1的质点的密度 则因质点的体积为零而出现 新的问题 此时 如果质点处于坐标的原点 那 么密度分布就是 不管这样 下面积分总成立 又如 点电荷的体积为零 所以它的电荷密度 电量 体积 为无限大 但电荷密度的体积积分 即总电量 却又是有限的 如果轴上的区间 a b 表示一弦段 其密度函数用 表示 则计算此弦段的总质量M的公式应该是 假定只有一个单位质量 M 1 集中于坐标原点 且 则上式自然也可以写为 这时 如果我们用表示轴上各点的密度 容易理解 可见 相当于集中的量的密度函数 如果质点不放在原点 而是放在点上 则变为 由定义可见 函数不是普通意义下的函数 而是一种广义 函数 因为它没有通常意义下的 函数值 而只有在积分号下 经积分运算后才给出数值 他相当于把单位质量集中放在处 这种情形下的密度函数 显然为 9 2 2 函数的性质 性质1 对任何一个连续函数都有 证明 对于任何都有 利用积分中值定理 我们可以建立等式 其中是内的某个数 在上式中令 从而 于是得到 这一性质表明 虽然函数不符合古典函数的定义 但它和 连续函数的乘积在整个实轴上的积分却有确定的意义 来定义函数 再沿积分 其积分值为 则该函数就叫做函数 这个定义同上一段用性质 来定义的函数的等价的 也可用 如果某一函数乘以任何一个连续函数后 不难证明 对任何一个连续函数都有 因为 对于任何一个连续函数都有 性质2 证明 函数是偶函数 即 这点由的图形及函数的定义也可看出 或作变量代换 对于任何连续函数 有 这就说明了等式的合理性 性质3 证明 更一般地 有对称性 即 即对任何连续函数 有 把上式中的与变换位置 得 即 美性质 这意味着函数是卷积运算的单位函数 这是它的一个优 证明 性质4 即对任何连续函数 有 卷积的定义 函数是Heaviside函数的一阶导数 即 其中 可以这样来理解 的原函数为 事实上 性质5 证明 更一般地 若则 定义的算符称为的阶导数 有定义知 函数是无穷可微的 函数的导数 设 则有 性质6 证明 即 1 9 2 4 高维空间中的函数及函数的其他性质 以三维空间为例 我们用表示把单位质量集中于坐标原点的密度函数 2 类似于一维函数 三维函数也具有下列性质 性质1 设是连续函数 则 或 更一般地 对任意区域 有 性质2 对称性 性质3 三维函数可以看作是三个一维函数的乘积 即 证明 对任何一个连续函数 由于 所以 9 2 3 把函数看作是弱收敛函数序列的弱极限 弱收敛和弱极限的定义 所谓函数序列 弱收敛于函数 或者说 是该序列的弱极限 指对 于任何一个连续函数都有 或 9 10 并极为 其中为自然数 对于弱收敛问题 我们作几点补充说明 可以是连续函数 也可以是具有其他性质的函 数 这要问题的求面定 9 10 式中沿积分可以换为沿积分 不过 这时除了是连续函数外还要加上另外的条件 容易把弱收敛的定义推广为其中 为实数 并不能保证本身在普通意义 下收敛 更不用说一致收敛于了 我们首先考虑脉冲函数 图9 2 数序列的弱极限 对应于各种的值 形式一个函数序列 它们中的每 个函数都是普通函数 但我们下面