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数学论文稿范文 论等价无穷小性质及其应用重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学xx级罗晓磊指导老师宋银方摘要等价无穷小的概念是高等数学中最基本的概念之一.本文介绍了它的定义、性质及其在求极限，广义积分以及级数的敛散性的判断中的应用，在求极限的过程中，推广了其性质，拓宽了运用等价无穷小求极限的范围。 关键词等价无穷小；极限；比较收敛法Abstract The equivalent infinitesimalis oneof conceptof mostbasic conceptsin highermathmatics,this articleintroduce itsdefinition,the nature,the wayof obtaining the limit of afunction,the improperintegral andthe applicationof progressionin thedivergence judgment.In theprocess ofobtainingthelimitoffunction,the articlepromoted itsnature andopened upthe applicationscope ofmaking useof equivalentinfinitesimal toobtain limitof afunction.Key words:Theequivalentinfinitesimal，Limit，Compared convergencemethod前言在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其它地方似乎都未涉及到。 其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果。 因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。 一、等价无穷小的概念与性质定义1.11当0xx?(或x?)时，0)(lim?xf，则称函数0)(?xf0xx?时(或?x)时为无穷小量。 定义1.21设?与?是两无穷小，若1lim?，则称?与?是等价无穷小；记作?a（或?）性质1.11设?，1?，?，1?，等均为同一自变量变化过程中的无穷小，若1?，1?，且lim11?存在，则lim?=lim11?.性质1.21设?，?，?，等均为同一自变量变化过程中的无穷小，且?，?，则?注性质1表明等价无穷小量的商的极限求法；性质2表明等价无穷小的传递性。 二、等价无穷小在求极限中的应用2.1利用等价无穷小的性质求函数极限极限是高等数学的一个基本概念，准确求出函数的极限是个基本功，求函数极限时，如果能恰当采用等价无穷小替换，可以起到化繁为简、化难为易的效果。 （1）利用等价无穷小的传递性求函数极限常见的等价无穷小有当0x?时，xsin xsinarcxtan xtanarcxln (1)x?1xe?，1-cos x12x2， (1)1xx?通过换元可得当0xx?时，()x0?有()x?sin()x?sin()?arcxtan()x?tan()?arcxln(1()x?()x1e?，1cos()x?21()x2?，1()x1?()x?；若当(,)x y00(,)x y时，(,)x y0?，上式中的()x?也可用二元函数代换。 例2.10limx?3tansinxxx?解当x0时，tan xx，1-cos x22x则原式=0limx?3tan(1cos)x?xx=0limx?231.2xxx=12注此题也可用罗比塔法则，但通过比较，显然等价无穷小代换计算更直接简单。 例2.2求220（1limx?cot xx?）解原式=0limx?2222tantanxxxx?=0limx?4(tan)(tan)xxxxx?=0limx?42(tanx)xxx?（tan xx）=0limx?222(sec1)3xx?=23注若直接用罗比塔法则，则会出现以下结果原式=0limx?2222tantanxxxx?=0limx?222(sec.tan)2tanx2tan.secxxxxxxx?=0limx?222222sec(tanxsec)1?tan4.tan.secxsec(secxtan)xxxxxxxx?式子越变越复杂，不能求出极限，而结合等价无穷小则很快可求出。 此外等价无穷小思想也可用二元函数求极限例2.3求(,)x y?(0,0)lim2222ln1()x xyxy?解因为当(,)(0,0)x y?时，22ln1()x xy?与x22()xy?为等价无穷小所以原式=(,)x y?(0,0)lim2222()x xyxy?=(,)x y?(0,0)limx=0 （2）利用等价无穷小的和差的性质求极限由性质1.1，性质1.2拓广得到以下等价无穷小的和与差性质性质2.1设?，1?，?，1?，是同一极限过程中的无穷小量，且1?1?，且lim?-1，则11?证明11lim?=111lim1?=111lim1.c?=1lim1?=111?性质22设?，1?，?，1?是同一极限过程中的无穷小量，且1?，1?，如果lim?1，那么11?其证明过成类似，在这里不予赘述。 对于以上性质，一般地有性质2.32设?、?、?、?及1?、1?、1?、1?是同一极限过程中的无穷小量，满足1?，1?，1?，1?，且limAB?-1，limCD?-1，其中A、B、C、D为常数，则有limABCD?=l对于以上性质，更一般地有性质2.43如果无穷小11?，22?，nn?，且12lim?-1，123lim?-1，121.limnn?-1，则12.n?12.n?例2.4求0limx?1cos?3sin1sin?xxxex?解0limx?1cos?3sinxx=0limx?223xx=0?-10limx?1sinxex?=cosxex=1?-1由性质3可知:0limx?1cos?3sin1sin?xxxex?=0limx?232xxxx?=32例2.5求220ln(13sin)?arcsinlimx?sin1xxxxex?解20ln(13sin)?limx?arcsinxxx=203sinxlimx?xx=3?1201limx?sinxex?=20limx?xx=0?1由性质4可知:原式=220ln(13sin)?arcsinlimx? (1)sinxxxxex?=2203sinxlimx?xxxx?=0注利用性质2.1时一定要注意，若1?，1?，有前提条件lim?-1时，有11?；同理，利用性质2.2时一定要注意若1?，1?，有前提条件lim?x?1时，才有11?；假如求30tanlimx?xxx?若直接这样计算30tanlimx?xx?=30limx?xxx?=0则是错误的。 因为忽略了性质3的前提条件，不满足条件，故不能用等价无穷小取代。 例2.6求20(1cos)?ln (1)limx?tan (1)xxxxxe?解由于20(1cos)limln (1)xxx?=2xxlimx?xx=12?-1根据性质2.1有2(1cos)?ln (1)xx?2221322xxx?又0tanlimx?xx=1?-10tanlimx?1xxxe?=02xlimx?1xe?=2?-1根据性质2.1有tan (1)xxxe?3xxxx?则20(1cos)?ln (1)limx?tan (1)xxxxxe?=2032limx?3xx=022利用等价无穷小求幂指函数的极限另外等价无穷小在幂指函数中有以下定理定理2.14设?，1?，?，1?是同一极限过程中的无穷小量，且1?，1?，则有lim1 (1)?=lim111 (1)?定理2.24设?、?、?、?是同一过程中的无穷小量，且?，?，若1lim()R x?=A且()1limR xc?-1则1lim()R x?=1lim()R x?=A定理2.34设?、?为同一过程中的无穷小量且有()1R xlim0?,lim1 (1)?=A，则1lim()R x?=A.定理2.44设?，1?，?，1?是同一极限过程中的无穷小量，且1?，1?，其中0?，10?，则有lim?=lim11?例2.7求31sin01tanlim(x?)1sin?xxx?解因为1tan1sin?xx?=1sintansin1sin?xxxx?=1+tan(1cos)1sin?xxx?当0x?时，tan(1cos)x?1sinxxx.22x=32x，3sin x3x由定理2.1可知原式=31sin01tanlim(x?)1sin?xxx?=3301lim(1x?)2xx?=e例2.8求21lim(sinx?cos)xxx?解由于x?时，2sinx2x，且1xcos1limx?2x2sin?=21x22xlimx?=0?-1故由定理2.2有21lim(sinx?cos)xxx?=1lim(cosx?)xxx?又1xcos1limx?02x?，由定理2.3知12lim(cosx?)xxx?=2lim(1x?)xx?=2e例2.9求2sin0lim(arcsinx?sin)xxxx?解当0x?时，arcsinsin2xxx?,2sin3xxx?由定理2.4可知2sin0lim(arcsinx?sin)xxxx?=30lim (2)x?xx?=330lim2x?xxx?=30lim(x?)xx?=12.3利用等价无穷小求某些积分式的极限定理2.54当0x?时，无穷小量?（x）?（x），且?（x）与?（x）在0，x上连续，则有0()t dtx?x0()t dtx?例2.10求sin2?020ln (1)limx?11t dtx?解ln (1)t?t由定理2.54有sin2?sin2?00ln (1)xxt dttdt?原式=sinxxlimx12xtdtx?=2021sin2212limx?xx=04sin2cos2xlimx?2xx=0sin4limx?xx=42.4利用泰勒公式确定等价无穷小求极限泰勒局部公5式若 （1）函数f（x）在0x某邻域0xx?内有定义； （2）在此邻域内有一直到n-1阶的导数()f x，()f x， (1)()nfx?； （3）n阶导数0()nfx在0x点存在；则000()f x()()nnxkk?a xxxx?其中0()!kkfxak?（k=0，1，n）特别当x=0时，有0 (0)()f x()!knknk?fxxk?利用泰勒公式得几种常见的带有皮亚诺型余项的展开式3512121111sin. (1)?()3!5! (21)!mmmxxxxxxm?2422111cos1. (1)?()2!4!2!mmmmxxxxx?231111ln (1). (1)?()23nnnxxxxxxn?2 (1) (1). (1) (1)1.()2!knnk kkkknxkxxxxn?21.()2!nxnxxexxn?利用这些公式，结合等价无穷小思想，能快速而简单的求解一些复杂的函数极限。 例2.11求极限30sincoslimx?sinxxxx?解33sin()3!xxxx?2323cos1()()2!2!xxxxxxxx?3333331sincos()()()3!2!3xxxxxxxxxxx?故30sincoslimx?sinxxxx?=333013()limx?xxx?=13例2.12求极限222xx11limx?(cos)ln (1)xxxx e?x?解224411 (221)111()22!xxxx?=244111()28xxx?1+212x-21x?=4418x()x?又222221cos1()1?()2!xx e?xxxx?=2232x()x?222ln (1)()xxx?2222223(cos)ln (1)()()2xx e?xxxxx?=4432x()x?则222xx11limx?(cos)ln (1)xxxx e?x?=444418()32()xxxx?=-112 三、利用等价无穷小判断广义积分的敛散性。 在广义积分的敛散性判别法中，用得比较多的是比较原则的极限形式在积分()Aaf xdx?（A为任何大于a的数）存在的假定下；如果()f xlimx?()xl?，?l0，且()x dxa?收敛，那么积分()f x dxa?绝对收敛；如果()f xlimx?()xl?，?l0，且()xdxa?发散，那么积分()f xdxa?绝对发散。 由比较原则的极限形式可知对于无穷限积分afdx?与agdx?（瑕积分()baf xdx?baf xdx?与()bag xdx?bag xdx?），若x?时，()f x()g x.则afdx?与agdx?（瑕积分()与()）有相同的敛散性。 例3.1判断广义积分221cos (1)1dxx?的敛散性。 解由于22cos (1)1x?22cosx?而212cosdxx?收敛；故221cos (1)1dxxcos?收敛。 例3.2判断广义积分120 (1)1dxx?的敛散性。 解由于2cos (1)1x?2cosx?而102cosdxx?发散；故120cos (1)1dxx?发散。 四、利用等价无穷小判断级数的敛散性在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式设1nUn?和1nVn?都是正项级数，如果limx?UnVn=L(0L?)，且级数1nVn?收敛，则级数1nUn?收敛。 如果limx?UnVn=0L?或者limx?UnVn=+，且级数1nVn?发散，则级数1nUn?发散。 当L=1时，1nUn?和1nVn?就是等价无穷小。 由比较审敛法结论知对于级数1nUn?和1nVn?，如果n?，nUn V，则1nUn?和1nVn?敛散性相同。 例4.1判断级数211tannn?的敛散性解21tannUn?0是正项级数，当n?，2211tannn，而211nn?收敛211tannn?收敛例4.2判断11lnn?nn?的敛散性解1lnnUnn?0是正项级数，当n?，11lnnnn?，而11nn?发散则11lnn?nn?发散。 小结本文着重介绍了等价无穷小在求极限，广义积分以及级数的敛散性的判断中的应用。 在求极限的