测重力加速度的几种方法比较及误差分析.doc

分类号 密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目 测重力加速度的 几种方法比较及误差分析 系 别 专 业 名 称 物理学 年 级 学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师 二00 八年 五 月摘要：地球表面及附近的物体受到地球重力的作用，如果忽略空气摩擦的影响，则所有落地物体都将以同一加速度下落，这个加速度称为重力加速度。重力加速度是一个重要的地球物理常数，准确测定它的量值，不仅在理论上，而且在生产上、科研上都有着极其重要的意义。在实验室内测量重力加速度的方法有很多种。本文利用实验室的仪器，通过单摆法、电磁打点计时器法、倾斜气垫导轨法以及复摆法进行测量重力加速度的实验。通过实验原理、实验方法、实验记录数据、误差分析、最终结果等方面进行比较与研究，针对可能造成较大误差的变量，提出可实施的改进办法，提高实验测量值的可靠性。关键词：重力加速度 单摆 电磁打点计时器 气垫导轨 复摆Abstract: On Earth, everything feels the downward force of gravity. If we neglect the friction force of the air, all the masses will be falling freely with the same downward acceleration because gravity is the only force acting. This is the acceleration of free fall. The constant acceleration, g, is very important. Measuring exactly plays a significant role in theory, production and scientific research. There are many methods for measuring g in laboratories. The major content about this thesis is doing experiments through using the simple pendulum, the electromagnetic pointing set, the sloping air track and the compound pendulum. Then compare the principle, method or result of the four experiments and analyze the error. At the end, suggest practicable and improvable measures in accordance with the larger error for raising accuracy.Key words: acceleration of gravity simple pendulum electromagnetic pointing set air track compound pendulum文献综述一、概述测量重力加速度的方法有很多种，包括用单摆测重力加速度、用电磁打点计时器测重力加速度、用自由落体法测重力加速度、用复摆测重力加速度、用凯特摆测重力加速度、倾斜气垫导轨上测重力加速度以及频闪照相法测重力加速度等。每个方法涉及的实验原理都不相同，有的用简便的过程就可以测出，而有的则需要经过复杂的步骤。经过阅读文献资料，依据论文的需要，从上面提及的方法中选取单摆法、电磁打点计时器法、倾斜气垫导轨法和复摆法这四种方法进行实验，测量重力加速度，然后比较各实验结果与实际值，分析实验误差，比较各个方法之间的优与缺。二、正文从我们以往的实验经验中可以总结出，一个实验可以依据不同的原理来做，一个原理也可以通过不同的方法来实现。在阅读了各类实验参考文献后，我确定了四种测量重力加速度实验的原理及方法，将准确依照理论完成实验，以完成这篇论文。1、单摆测重力加速度的实验原理：单摆小球沿圆弧运动，重力在运动切线方向上的分力为。当角很小（一般不超过）时，考虑到切向分力的方向与角位移方向相反，有，即起回复力作用，它与角位移成正比，而方向指向平衡位置。根据牛顿定律可得 （1）即 （2）所以，单摆在时做简谐振动。角频率，其振动周期，故 （3） 2、电磁打点计时器测重力加速度的实验原理：当电磁打点计时器的线圈通以50赫兹的交流电时，振动片的磁极随着电流方向的改变而不断变化，在永久磁铁的磁场作用下，振动片上下振动，其振动周期与线圈中的电流变化周期一致，即为0.02秒。振动片的一端装有打点针，当纸带从针尖下通过时，便打上一系列点，相邻点之间对应的时间为0.02秒。当忽略空气阻力时，物体在重力作用下的下落运动是匀加速直线运动。这种运动可以用下列方程来描述，即 （4）式中，是在时间秒内物体下落的距离，是重力加速度。设物体从点开始自由下落，到达点的速度为。从点起，经过时间后，物体到达点。令、两点间的距离为，则 （5）设它到达点的速度为，从点起经过时间后，物体到达点。令、两点间的距离为，则 （6）通过电磁打点计时器打出的纸带上，相邻点、之间对应的时间为0.02秒，即相同，则（5）、（6）式化为 （7） （8）又，（8）式化为类比可得，其中，即 （9） （10）同理运用逐差法 （11）3、倾斜气垫导轨上测重力加速度的实验原理：设导轨倾斜角为，滑块质量为，则 （12）上式是在滑块运动时，不存在阻力时才成立。实际上滑块在气垫导轨上运动虽然没有接触摩擦，但是有空气层的内摩擦。滑块在气垫导轨上以速度运动时，滑块下方气垫中的空气将以不同的速度运动，附在滑块上的空气速度为滑块速度，附在轨面上的速度为零，气垫中的空气速度由逐渐变为零，可以设想气垫中的空气分为不同速度的若干层，不同流速各层间的作用力为内摩擦力，在流体力学中给出 （13）式中为接触面积，为速度梯度，设气垫厚为，则 （14）即 （15）为粘度，设（粘性阻尼常量），则阻力和平均速度成比例，即 （16）考虑此阻力后，式（12）化为 （17）整理后，重力加速度 （18）4、复摆测重力加速度的实验原理：设复摆的质心为，质量为，悬点为，绕点在铅直面内转动的转动惯量为，质心与悬点间的间距为。在任意时刻，与竖直线之间的夹角为。在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程 （19）令，在非常小时，上式的解为： （20） （21）设摆体沿过质心转轴的转动惯量为，由平行轴定理可知： （22）将式（22）代入式（21）可得 （23）对于形状等规则的摆，可以计算出，则 （24）三、总结物理学是实验的科学，很多新概念的确立和新规律的发现都是依赖于反复实验。最早测定重力加速度的科学家伽利略，在1590年左右，利用倾角为的斜面将的测定改为测定微小加速度。1784年，G阿特武德将质量同为的重物用绳连接后，挂在光滑的轻质滑轮上，再在另一个重物上附加一重量小得多的重物，使其产生一微小加速度，测得后即可算出。文献中所提及的其他原理、方法等内容在一定程度上丰富了我对论文研究对象背景的理解，一些学者提出的观点也适时地提醒我在实验过程中需要注意的事项，这些对我的论文都有着深深的影响。参考文献1万伟，林洪文大学物理实验成都：四川大学出版社，2005：51552李传亮用单摆测定重力加速度实验中的几点探讨物理实验，2006，26（4）：283杨述武普通物理实验“一”北京：高等教育出版社，2000：1061134李寿松物理实验教程北京：高等教育出版社，2003：1421435李学慧大学物理实验北京：高等教育出版社，2005：1001026张建飞复摆测实验的分析物理实验，1993，13（4）：145146，1567麻金继，方正华倾斜气垫导轨上重力加速度测量方法的改进物理通报，2003，4：29308何捷，陈继康，金昌祚基础物理实验南京：南京师范大学出版社，2003：6365目 录1.单摆测重力加速度1011实验原理1012实验数据112.电磁打点计时器测重力加速度1321实验原理1322实验数据153.倾斜气垫导轨上测重力加速度1631实验原理1632实验数据184.复摆测重力加速度2341实验原理2442实验数据255.几种方法的比较28参考文献31致 谢3232地球表面及附近的物体受到地球重力的作用，是由伽利略（1564-1642）首先证明的：如果忽略空气摩擦的影响，则所有落地物体都将以同一加速度下落，这个加速度称为重力加速度。物体所受重力是地球对它的引力和物体随地球自转的惯性离心力的合力。因此，物体在地球上各地区所受的重力略有不同，从而在各地区的重力加速度也有变化。地球上各地区重力加速度的数值，随着该地区的地理纬度和海拔高度的不同而不同，赤道附近重力加速度最小，而南、北两极重力加速度最大。地球标准的重力加速度为。重力加速度是一个重要的地球物理常数，准确测定它的量值，不仅在理论上，而且在生产上、科研上都有着极其重要的意义。我们平时所接触到的测量重力加速度的方法，有高中时的单摆法、电磁打点计时器法，现在的倾斜气垫导轨法、复摆法等。本文测量重力加速度的各实验在位于武汉市的湖北第二师范学院物理与电子工程系实验室进行，武汉地区重力加速度的公认值为。1.单摆测重力加速度单摆法测重力加速度是原理最简单、所需仪器最少的一种测量重力加速度的方法，所以在高中阶段我们就接触到了这种方法。单摆法测重力加速度除了最直接的实验目的是测量重力加速度以外，还巩固了我们对公式图1 单摆示意图的理解，以及建立与的关系模型。11实验原理1单摆装置如图1所示，小球沿圆弧运动，重力在运动切线方向上的分力为。当角很小（一般不超过）时，考虑到切向分力的方向与角位移方向相反，有，即起回复力作用，它与角位移成正比，而方向指向平衡位置。根据牛顿定律可得 （1-1）即 （1-2）所以，单摆在时做简谐振动。角频率，其振动周期，故 （1-3）式中，是摆长（悬点到摆球球心的距离），是重力加速度。若测得、，利用式（1-3）可以计算出。12实验测量与数据处理第一步，测量单摆的摆长，将摆长取大约80厘米，测量支点到球心的距离三次。摆长，这里是摆线长度，是摆球直径。用米尺测量摆线长度，游标卡尺测量摆球直径。测量完毕后，安装单摆装置，将摆角拉开到的位置，放开手让单摆摆动几次后开始计时。用秒表测定单摆摆动n=50次所需要的时间，然后由公式求出单摆摆动周期，测量三次。以上各测量数据见表1。表1 单摆摆长的实验测量数据表摆线长（）摆球直径（）摆动50次所需时间（）摆动周期179.681.99690.371.8074279.701.99490.381.8076379.652.00090.351.8070由于测量值存在误差，所以必须通过计算标准不确定度来进行评定。实验误差来源有几项:首先,计算摆长的标准不确定度。摆线长的测量平均值为，则A类不确定度，又米尺的仪器误差，则B类不确定度，即摆线长的标准不确定度为。摆球直径的测量平均值为，则A类不确定度，又游标卡尺的仪器误差，则B类不确定度，即摆球直径的标准不确定度为。综上，摆长的平均值，由直接测量结果不确定度的合成公式，摆长的标准不确定度为 （1-4）其次，摆动周期的测量平均值为，则A类不确定度，又秒表的仪器误差，则B类不确定度，即摆动周期的标准不确定度为 （1-5）由式（1-3）可得，由间接测量结果不确定度的合成公式，重力加速度的标准不确定度为 （1-6）重力加速度的测量最终结果的表达式为 （1-7）与武汉地区重力加速度的公认值比较,其相对误差为 （1-8）2.电磁打点计时器测重力加速度在高中，电磁打点计时器用来测量小车运动的加速度，并没有涉及测量重力加速度。实际上，电磁打点计时器法测重力加速度所用原理和测量小车运动的加速度的原理一样，匀加速直线运动时21实验原理当忽略空气阻力时，物体在重力作用下做匀加速直线下落运动。这种运动可以用下列方程来描述，即 （2-1）图2 自由落体运动示意图式中，是在时间秒内物体下落的距离，是重力加速度。如图2所示，让物体从开始自由下落，设它到达点的速度为。从点起，经过时间后，物体到达点。令、两点间的距离为，则 （2-2）设它到达点的速度为，从点起经过时间后，物体到达点。令、两点间的距离为，则 （2-3）通过电磁打点计时器打出的纸带上，相邻点、之间对应的时间为0.02秒，即相同，则式（2-2）、（2-3）化为 （2-4） （2-5）又，式（2-5）化为类比可得，其中 （2-6）运用逐差法可得重力加速度为 （2-7）22实验测量与数据处理将电磁打点计时器固定并安装好纸带，把纸带一端固定在重锤的夹子上，使打点计时器工作，让重锤拖着纸带下落，得到一条打有点的纸带。重复以上步骤，打三条纸带，将纸带编号1、2、3。以纸带1为例，以其看得清的某个点为零点，给打点编号。编号从零开始，一个点编一个号，给予编号的点叫计数点。从零到八共取九个计数点，相邻计数点之间距离分别为，所对应的时间，用米尺测出相邻计数点之间的距离。纸带2、3同纸带1，测量数据见表2。表2 电磁打点计时器实验测量数据表1234567812.352.823.133.494.104.394.534.78939.062522.502.923.283.674.114.404.775.22957.812530.911.321.702.092.442.843.263.59954.6875由式（2-7），每条纸带所得重力加速度计算结果见表2。重力加速度的测量最终结果的表达式为 （2-8）与武汉地区重力加速度公认值比较,其测量的相对误差为 （2-9）3.倾斜气垫导轨上测重力加速度进入大学阶段，我们有机会接触到更多的精密仪器。像气垫导轨就是一种摩擦很小的运动实验装置，它能够有效地减少摩擦力对实验造成的误差，提高实验数据的精确度。31实验原理2设导轨倾斜角为，滑块质量为，则 （3-1）上式是在不考虑阻力前提下滑块的动力学方程。实际上滑块在气轨上运动虽然没有接触导轨，但是有空气层的内摩擦。滑块在气轨上以速度运动时，滑块下方气垫中的空气将以不同的速度运动，附在滑块上的空气速度为滑块速度，附在轨面上的速度为零，气垫中的空气速度由逐渐变为零，可以设想气垫中的空气分为不同速度的若干层，不同流速各层间的作用力为内摩擦力，在流体力学中给出 （3-2）式中为接触面积，为速度梯度，设气垫厚为，则 （3-3）即 （3-4）为粘度，设（粘性阻尼常量），则阻力和平均速度成比例，即 （3-5）考虑此阻力后，式（3-1）化为 （3-6）整理后，重力加速度 （3-7）在式（3-7）中，已知，加速度和平均速度的值都可以由MUJ-5B计时计数测速仪直接读出，因此值的确定变得尤为重要。为了得到准确的值，需要调平气垫导轨。调平导轨本应是将平直的导轨调成水平方向，但是实验室现有的导轨都存在一定的弯曲，因此“调平”的意义是指将光电门、所在两点，调到同一水平线上，如图3。水平线图3 导轨调平示意图假设导轨上、所在两点已在同一水平线上，则在、间运动的滑块，因导轨弯曲对它运动的影响可以抵消，但是滑块与导轨间还存在少许阻力，所以以速度通过门的滑块，到达门时的速度，将是。当导轨已水平，滑块以速度、通过、光电门，则阻尼力为，阻尼加速度，则有 （3-8）整理后可得由于阻力产生的速度损失 （3-9）式中为粘性阻尼常量，为光电门、之间的距离，为滑块的质量。参照上述讨论，可以提出如下检查调平的要求：a滑块从向运动时，；相反时。由于挡光片宽度相同，所以时，相反时（速度均取正值）。b由向运动时的速度损失，要和相反运动时的速度损失尽量接近。调平导轨后，测量两个方向的速度损失和（二者要很接近），则由式（3-9）可得为 （3-10）32实验测量与数据处理首先是获得系数的值。调平气垫导轨，读出光电门、之间的距离。使滑块从向运动，分别读出滑块通过、光电门的速度依次为、；相反方向运动时的相应速度依次为、。则两个方向的速度损失分别为 （3-11） （3-12）将式（3-11）、（3-12）代入式（3-10），可得系数的值为 （3-13）测出气垫导轨两支点间距离，若将气垫导轨一端垫高，则 （3-14）选取五个高度均为的垫块，由一块到五块逐个添加，改变倾斜角，由MUJ-5B计时计数测速仪中功能键加速度一档读出通过光电门、的速度、以及加速度。每加一片垫块均测量三次,获得三组数据，测量数据见表3。滑块通过光电门、之间这段路程的平均速度为，计算结果见表3。表3 倾斜气垫导轨实验测量数据表131.1545.0210.3538.085932.351531.1544.7010.0637.925907.234030.7444.4010.0537.57905.9802243.4663.5320.9453.495930.093743.5563.6921.0853.62936.183043.3663.8221.4053.59949.9264352.9977.9431.8565.465937.242352.8077.7631.7365.28933.733952.8877.7631.6965.32932.6020461.0190.0942.8575.55942.228860.7990.0143.0175.4945.627260.9090.2543.2875.575951.4807567.84100.8154.2184.325951.122067.89100.8154.1984.35950.783667.80100.8154.3084.305952.6656将每组对应数据代入式（3-7），可求得重力加速度，计算结果见表3。由于测量值存在误差，所以要计算测量量的标准不确定度进行评定。实验误差来源有几项:首先计算的标准不确定度。滑块在导轨上运动的速度损失，由于A类不确定度较小可忽略，计时计数测速仪速度档的仪器误差，则B类不确定度，即标准不确定度为。光电门、之间的距离，由于A类不确定度较小可忽略，气垫导轨上刻度的仪器误差，则B类不确定度，即标准不确定度为。由间接测量结果不确定度的合成公式，的标准不确定度 （3-15）其次是滑块通过光电门A、B的加速度的标准不确定度。1）当时，滑块通过光电门、之间这段路程的加速度的测量平均值为，则其A类不确定度，又计时计数测速仪加速度档的仪器误差，则B类不确定度，即加速度的标准不确定度为。 （3-16）最后是滑块通过光电门、之间这段路程的平均速度的标准不确定度。平均速度的三次测量的平均值为，则A类不确定度，又计时计数测速仪速度档的仪器误差，则B类不确定度，即平均速度的标准不确定度为。 （3-17）综上，由表3中的第6列数据可得重力加速度的测量平均值为，由间接测量结果不确定度的合成公式，重力加速度的标准不确定度 （3-18）其测量的最终结果表达式为 （3-19）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （3-20）当、时，数据处理过程同上，结果见表4。表4 重力加速度g的标准不确定度计算结果表221.140.153.5680.04938.73444331.7570.165.3550.06934.52613443.0470.175.5080.05946.44562554.2330.0384.3270.01951.52370.52）当时，由表4中的数据可得重力加速度g的测量结果表达式为 （3-21）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （3-22）同理可得3）当时，重力加速度g的测量结果表达式 （3-23）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （3-24）4）当时，重力加速度g的测量结果表达式 （3-25）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （3-26）5）当时，重力加速度g的测量结果表达式 （3-27）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （3-28）由以上结果比较可得，随着垫块高度的增加，即的不断增大，的值越来越接近公认值，且的标准不确定度越来越小。4.复摆测重力加速度以上三种方法的实验原理都是高中时的物理知识，复摆法测重力加速度虽然也简单方便，但是由于原理中运用了刚体力学中的转动惯量的知识，使得数据处理的过程有些复杂。41实验原理XZYOCMgh图4 复摆原理示意图在重力作用下，一个绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆。如图4所示,设复摆的质心为，质量为，悬点为，绕点在铅直面内转动的转动惯量为，与之间的距离为。在任一时刻，与竖直线之间的夹角为，通常规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。此时，复摆受到相对于轴的恢复力矩为，式中的负号表明力矩的转向与位移的转向相反。当摆幅甚小时（摆角不超过），有。在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程 （4-1）令，在很小时，式（4-1）的解为： （4-2） （4-3）设摆体沿过质心转轴的转动惯量为，由平行轴定理可知： （4-4）将式（4-4）代入式（4-3），则 （4-5）对于形状等规则的摆，可以计算出，则 (4-6)平衡砣孔摆针和小螺母0图5 复摆摆杆结构示意图如图5所示，复摆转动惯量，其中为实体扁平摆杆对质心正垂于扁面的转轴的转动惯量，为摆杆孔所相应的实圆孔对摆杆质心正垂于摆杆扁面的转轴的转动惯量，为平衡砣的转动惯量，为摆针和小螺母的转动惯量。 本实验所需的特定仪器有JD-2复摆、光电门测试架、J-25周期测定仪。42实验数据取下摆锤，则摆杆为规则复摆，质心即为摆杆摆心0点。首先测量两平衡砣（1，2）中心离摆杆质心的距离、，质量、，摆针针心离的距离。 经查阅仪器说明书，摆质，摆杆长、宽、厚，摆杆孔共28孔、直径、孔距，平衡砣的外直径，摆针半径即平衡砣内半径，摆针和小螺母的质量。对于摆杆孔所相应的实圆孔对摆杆质心正垂于摆杆扁面的转轴的转动惯量，由于，则 （4-7）为计算，一是要计算实圆孔对正垂于圆心的转轴的转动惯量；二是用平行轴定理，逐个求和，设各实圆孔离距为，其中；三是再乘以左右对称的2倍。，则；，则 （4-8）对于平衡砣，绕中心面垂直中心轴的轴的转动惯量，其中、分别为平衡砣的内外半径。移轴至，设两平衡砣（1，2）中心离摆杆质心的距离分别为、，质量分别为、，则 （4-9）摆针和小螺母的转动惯量 （4-10）综上可得 （4-11） （4-12）将复摆的摆孔悬挂在复摆支架的刀口上，确定光电门测试架的位置，使得复摆的摆针恰能通过光电门。将摆角拉开到的位置，放开手让复摆摆动几次后开始计时。测量摆动10个周期时间为，即 ，则，依次改变悬挂处的孔，测量半截摆杆的关系，测量数据见表5。表5 复摆实验测量数据表127.512.62171.26229.88330.92225.512.50021.25009.81730.24323.512.31961.23209.88170.89421.512.29561.22969.75010.44519.512.22001.22009.80450.11617.512.16541.21659.86000.68715.512.23001.22309.89030.99813.512.42611.24269.90171.1911.512.82111.28219.87430.82109.513.47601.34769.85830.66117.514.54101.45419.87860.87125.516.40871.64099.88520.94133.519.88291.988310.06632.8141.529.37192.937210.45826.8由式（4-6）求出质心与悬点间不同距离相应的重力加速度，以及与武汉地区重力加速度公认值比较所得的测量相对误差的计算结果见表5。由于摆杆孔的加工精度原因，在离质心很近处的误差稍大，计算测量平均值时不予考虑。重力加速度g的测量结果表达式为 （4-13）与武汉地区重力加速度公认值比较，其相对误差为 （4-14）5.几种方法的比较表6 实验结果比较表实验方法单摆法9.75040.44电磁打点计时器法9.50522.9气垫导轨法9.15196.69.38734.19.34534.69.46453.49.51522.8复摆法9.85710.65在实验室环境基本一致的情况下，四种不同的测重力加速度的方法都得到了比较理想的结果。单摆测重力加速度的实验结果为，相对误差为0.44%，与公认值最为接近。这是由于摆角取得足够小，振动次数取得足够大，使得系统误差自身非常小。再加上公式中，变量只有和，由仪器所造成的误差影响也相对较小。通过的不确定度传递公式（），可以看出，在、大体一定的情况下，增大和能够使的标准不确定度减小，对测量有利。电磁打点计时器测重力加速度的实验结果为，相对误差为2.9%。这种方法的误差相对较大，虽然使用逐差法消除了一定的误差，但是由于磁性的减弱使得电磁打点计时器振动片的振动频率发生的微小改变，以及纸带的摩擦力、在测量纸带上的不够清晰的计数点之间的距离时产生的视觉误差，都会对实验结果产生影响。倾斜气垫导轨上测重力加速度的实验结果依次为 相对误差由6.6%减少到2.8%。可以看出，随着垫块高度的增加，即的