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第4章对圆的进一步认识 复习课 青岛版数学九年级上册 1 回顾总结圆的有关性质定理及其应用 2 通过典例解析 总结解题规律 提高解题技能 学习目标 知识网络 一 垂径定理 AM BM 重视 模型 垂径定理直角三角形 若 CD是直径 CD AB 1 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如由条件 AB A B OD O D AOB A O B 二 圆心角 弧 弦 弦心距的关系 三 圆周角定理及推论 90 的圆周角所对的弦是 定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这弧所对的圆心角的一半 推论 直径所对的圆周角是 直角 直径 四 切线的判定定理 定理经过半径的外端 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C D O A 如图 OA是 O的半径 且CD OA CD是 O的切线 五 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 CD切 O于 OA是 O的半径 C D O A CD OA 交点个数名称 0 外离 1 外切 2 相交 1 内切 0 内含 同心圆是内含的特殊情况 d R r的关系 d R r d R r d R r R r d R r d R r d R r 六 圆与圆的位置关系 相离 相切 A B C O 七 三角形的外接圆和内切圆 A B C I 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三内角角平分线的交点 到三角形各边的距离相等 到三角形各顶点的距离相等 八 弧长和扇形面积的计算 弧长公式 扇形面积公式 例1 如图 AB是 O的直径 弦CD AB于点E 点P在 O上 1 C 1 求证 CB PD 2 若BC 3cm sinP 0 6 求 O的直径 3 方法总结 由AB为 O的直径 AB CD得弧BC等于弧BD 从而得 P A 并连接AC构造Rt ABC是解题的关键 典例解析 例2 如图 AB为 O的直径 BC与 O相切于B AC交 O于E 点D是BC边的中点 连结DE 1 求证 DE与 O相切 2 若 O的半径为 求AE 6 方法总结 1 如果已知直线与圆有交点 常连接圆心与交点 再证明连线垂直于半径即可 2 如果不明确直线与圆的交点 往往要作出圆心到直线的垂线段 再证明这条垂线段等于半径即可 方法总结 充分利用 垂径定理 与 等弧或同弧所对的圆周角相等 得出结论 1 如图 AB是 O的直径 AB CD于点E 则在不添加辅助线的情况下 求出图中与 CDB相等的角 巩固练习 CAB BAD BCD 2 如图所示 草地上一根长5米的绳子 一端拴在墙角的木桩上 另一端拴着一只小羊 那么 小羊在草地上的最大活动区域的面积是多少 1米 1米 方法总结 正确画出小羊的最大活动区域是解决问题的关键 3 已知 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的 O交BC于点D 过点D作DE AC于点E 求证 DE是 O的切线 解题关键 证明OD AC 方法一 利用等边对等角证 C BDO 方法二 利用三线合一证明OD为 ABC的中位线 2011江苏泰州 如图 以点O为圆心的两个同心圆中 矩形ABCD的边BC为大圆的弦 边AD与小圆相切于点M OM的延长线与BC相交于点N 1 点N是线段BC的中点吗 为什么 2 若圆环的宽度 两圆半径之差 为6cm AB 5cm BC 10cm 求小圆的半径 r 5 r 6 5 点击中考 1 利用垂径定理 2 在Rt BON中 利用勾股定理列出方程 1 2011江苏南通 如图 O的弦AB 8 M是AB的中点 且OM 3 则 O的半径等于 8B 5C 10D 2 2 2011四川凉山 如图 AOB 100 点C在 O上 且点C不与A B重合 则 ACB的度数为 A 50 B 50 或80 C 130 D 50 或130 B D 布置作业 4 2011湖北荆州 如图 O是 ABC的外接圆 CD是直径 B 40 则 ACD的度数是 50 3 已知两圆的半径分别为3和7 且这两圆有公共点 则这两圆的圆心距d为 A 4B 10C 4或10D 4 d 10 D 5 2010南京 如图 以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB是小圆的切线 C为切点 若两圆的半径分别为3cm和5cm 则AB的长为 cm 8 6 2011上海 如图 点C D分别在扇