光电信息物理基础——数学基础.pptx

第一章数学基础 光电信息物理基础 第一章数学基础 1 1矢量代数和矢量函数1 矢量 既有大小又有方向的量 如 力 速度 位移等 标量 只有大小没有方向的量 如 长度 时间 质量等 矢量表示 带箭头的字母 如 等 黑斜体字母 如A B等 矢量的模 矢量的大小 用A或 第一章数学基础 2 矢量加减运算矢量加法服从交换律 A B CA B B A当有三个矢量相加时 服从结合律 A B C A B C A B C 平行四边形法则三角形法则 两个矢量相减时 如A B 先取B的负矢量 B 第一章数学基础 B A B 3 单位矢量和分矢量一个矢量A乘以一个正标量m得到一个新矢量 与A同向 大小为A的m倍 单位矢量 大小为1的矢量 如A的单位矢量表示为 一个矢量可以用该矢量方向上的单位矢量和该矢量的大小相乘所得 即 任意矢量都可以分解为几个矢量 特别是可以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量 如在笛卡尔坐标系中 矢量A可以分解为 为坐标轴方向的单位矢量 4 两矢量的标量积矢量A和矢量B的标量积记为A B 第一章数学基础 是矢量A和矢量B的夹角 若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示 则有两矢量的标量积满足交换律和分配律5 两矢量的矢量积记为矢量积是一个矢量 大小等于方向垂直于矢量A和矢量B所决定的平面 第一章数学基础 是矢量A和矢量B的夹角 A B 两矢量的矢量积不服从交换律 满足分配律若将矢量A和矢量B用直角坐标系方法表示 则有6 三矢量相乘 第一章数学基础 7 矢量函数与矢量线标量函数 具有确定数值的标量可以是空间坐标 如直角坐标系中的x y z 和时间t的函数 称f x y z t 为标量函数 矢量函数 具有确定方向的物理量的矢量 一般都是一个或几个 标量 变量的函数 称F x y z t 为矢量函数 一个矢量函数F x y z t 对应三个标量函数若f或F的物理状态与时间无关 则代表静态场 若与时间有关 则为动态场或时变场 第一章数学基础 矢量和矢量场的不变特性描述物理状态空间分布的标量函数f x y z t 和矢量函数F x y z t 在时间是一定值的情况下 它们是唯一的 它们的数值和方向与所选择的坐标系无关 即使进行坐标系转换 它们也保持不变 大小和方向都保持不变的矢量称为常失 反之称为变失 矢量函数对时间和空间坐标变量的微分 仍然是一个矢量 第一章数学基础 矢量线为形象描述矢量场在空间的分布状态 引入矢量线概念 矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向 矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过 所有矢量线充满了整个矢量所在空间 如 电力线 磁力线就是电场和磁场的矢量线 由矢量线定义可知 其上任一点的切向长度元dl与该点矢量场A的方向平行 于是有 第一章数学基础 直角坐标系中由可得这就是矢量线的微分方程 求得它的通解可绘出矢量线 第一章数学基础 0 1 2场 梯度 散度和旋度1 场如果在一个空间区域中 某个物理量在其中每一点都取确定值 就称这个空间区域存在物理量的场 如果这个物理量是标量 则为标量场 如温度场 电势场等 如果这个物理量是矢量 则为矢量场 如电场 磁场等 2 标量场的方向导数和梯度标量场中分布在各点的物理量u是场中点坐标的单值函数 即u u r r代表三个空间坐标 x y z u在场中的变化情况通常具有更重要的物理意义 故引入方向导数的概念 第一章数学基础 在场中取一点 由点引射线 其方向由方向余弦 确定 在l上取另一点M 记 定义u在点沿l的方向导数为方向导数描述u在点沿l方向的变化率 设函数u在点可微 方向导数在直角坐标系下可表示为 1 2 3 式中为函数u在该点的偏导数 方向余弦 第一章数学基础 M 在标量场u中定义一个矢量G 是沿直角坐标系坐标轴x y z方向的单位矢量 在场中任意点 矢量G是唯一的 记沿l方向的单位矢量为由 1 2 3 得意义 它在任意方向的投影就给出沿这个方向u的方向导数 矢量G的方向就是u变化率最大的方向 其模就是变化率的最大值 G称为标量场u的梯度 记做gradu G 第一章数学基础 引进矢量微分算子 第一章数学基础 例1 1 已知标量场 求空间一点P 1 1 1 的梯度和沿方向的方向导数 解 由根据梯度公式 得标量场在P点的梯度为 第一章数学基础 l的单位矢量为由方向导数与梯度之间的关系式可知 沿方向的方向导数为 第一章数学基础 3 矢量场的通量和散度引进矢量线来描述矢量场 矢量场分为两种 纵场 矢量线从场中一点发出 终止在另外一点上或无穷远处 横场 矢量场没有起点及终点 是闭合回线 第一章数学基础 矢量场A沿场中任一有向曲面S的积分称为矢量场A穿过面S的通量 当式中S为一小闭合曲线时 取曲面正法向由内向外 记S包围的空间区域为 其体积为 在直角坐标系中矢量A可表示为有向面元dS可表示为 故 第一章数学基础 根据高斯积分公式 上式可写为 利用积分中值定理 上式可写为式中 为闭合曲面S所围区域中的一点 的体积为 第一章数学基础 在矢量场A中取一点 作一包围点的闭合有向曲面S 设S包围的空间区域为 体积为 以记为穿过S的通量 当以任意方式缩向时 极限值称为矢量场A在点