数学分析讲义第五版.doc

10.3 多元函数微分法1、 偏导数我们已经看到，一元函数的导数（或导函数）是研究函数性质的极为重要的工具。同样，研究多元函数的性质也需要类似于一元函数倒数这样的概念。由于多元函数的自变量不止一个，情况比较复杂。不难想到，可讨论多元函数分别关于每一个自变量（其余的自变量暂时看作常数）的导数。这就是本段的偏导数。定义 设二元函数 在区域D 有定义，（，）是D的内点。 若y = （常数），一元函数 在 可导，即极限 （ + ）存在，则称此极限是函数 z = 在 （，）关于的偏导数，记为 或 类似地，若 x = （常数），一元函数在可导，即极限 （，）存在，则称次极限是函数在（，）关于y的偏导数，记为 或 若二元函数 在区域D的任意点（x，y）都存在关于x（关于y）的偏导数，则称函数 在区域D关于x（关于y）的偏导函数，也简称偏导数，记为 或 .一般情况，n元实值函数 在点 关于的偏导数 定义为由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。例1 设 ，求 解 （y看作常数）。 （x看作常数）。例2 设 求 解 由复合函数的求到法则，有同法可得，例3 理想气态方程是（R是不为0的常数），证明：证明 ,有 (T看作常数）.，有 (P看作常数）.，有 (V看作常数）.于是，注 偏导数的符号不能像一元函数那样看成是两个微分的商，否则会出现错误.例如，上式三个偏导数的乘积不等于1而是-1.二元函数在点（，）的两个偏导数明显的几何意义：在空间直角坐标系中，设二元函数 的图像是一个曲面S.函数在点（，）关于x的偏导函数，就是一元函数在的导数.由已知的一元函数导数的几何意义，偏导数就是平面上曲线，在点的切线斜率，如图10.6.同样，偏导数是平面上曲线，在点的切线斜率，如图10.6.如图10.6.我们知道，若一元函数 在可导，则 在 连续可导.但是，二元函数在点（，）存在关于x和y的两个偏导数，在点（，）去不一定连续，这是因为在点（，）存在于关于x的偏导数，只能得到一元函数（即图10.6中曲线）在连续.同样，由存在，只能得到一元函数（即图10.6中曲线）在连续.由此可见，两个偏导数与只是过点（，）平行x轴与平行y轴的两个特殊路线的变化率.而二元函数 在点 （，） 连续是与他在点（，）的邻域有关的概念，即不仅与过点的平行x轴与平行y轴的线段上点的函数值变化有关，而且也与点的邻域内其他点上的函数值的变化有关,例如，函数 同样于是，函数在点（0，0）存在两个偏导数.但是，沿着直线y=0有，沿着直线，有，即函数在点（0，0）不存在极限.当然，函数在点（0，0）不连续.2、 全微分我们已知，一元函数在可微，有， 且，即微分是的线性函数，并且与之差比是高阶无穷小.一元函数微分推广到多元函数就是全微分.定义 若二院函数在（，）的全改变量可表为， （1）其中，A与B是与和无关的常数，则称二元函数在（，）可微，（1）式的线性主要部分称为二元函数在（，）的全微分，记为，即.由全微分的定义不难看到全微分的两个性质：是与的线性函数；与之差比是高阶无穷小.显然，若函数在（，）可微，则函数在连续.如果二元函数在可微，全微分（2）中的常数A,B与二元函数有什么关系呢？有下面可微的必要条件:定理1（可微的必要条件）若二元函数在可微，则二元函数在存在两个偏导数，且全微分（2)中的A与B分别是证明已知二元函数在可微，即， 当是，有.用除上式等号两端，在取极限，有 =.同法可证与一元函数相同，规定自变量的改变量等于自变量的微分，即.于是，二元函数在点的全微分或注这里的,是自变量x，y无关的独立变量，可取任意值.类似地，n元值函数在点的全微分.我们已知，一元函数的可微与可导是等价的.由定理1，二元函数可微一定存在两个偏导数；反之，二元函数存在两个偏导数去不一定可微.例如，函数在原点（0，0）存在两个偏导数，有偏导数定义，有 两个偏导数都存在，但是，他在原点（0，0）不可微.事实上，假设他在原点（0，0）可微，有特地，取，有，.于是，即比不是高阶无穷小，与可微定义矛盾，于是，函数在原点（0，0）不可微.二元函数在的全微分涉及函数在点邻域内所有的函数值，而偏导数与仅涉及二元函数在过点的直线与上的函数值.因此，仅仅两个偏导数与存在并不能保证函数在点可微，那么在什么条件下可保证结案数在点可微呢？有下面可微的充分条件.首先证明一个引理.引理若二元函数在点的邻域G存在两个偏导数，则，全改变量，其中，.证明显然，若点，则点与，并且连接两点与或与的线段也属于G，如图10.7.为此，将全变量改写如下形式:图10.7 上述等式右端第一个方括号内，是常数，只是x由变到；第二个方括号内，是常数，只是y由变到.根据一元函数的微分中值定理，有 ，其中，.这个引理亦称二元函数的中值定理.它是用一元函数处理这类二元函数（一般是n元函数）问题的常用方法.定理2（可微的充分条件） 若二元函数在点的邻域G存在两个偏导数，且两个偏导数在点连续，则二元函数在点可微.证明.根据引理，将全变量写为 ，其中，.已知偏导数在点连续，有， . ， . 从而，有而 或.于是， ,即函数在点可微.注 偏导数连续是函数可微的充分条件，而不是必要条件.例如，函数，在原点（0，0）可微.事实上，易求有从而，即函数在原点（0，0）可微.而两个偏导数与在原点（0，0）却间断.事实上，特别的，当时，极限不存在，即在原点间断.同法可证，在原点（0,0)也间断.3、 可微的几何意义已知一元函数在可微的几何意义是平行曲线在点存在切线.我们将要证明，二元函数在点可微的几何意义是空间曲面在点存在切平面.这里首先要回答，何谓切平面？切平面是切线在三维空间的推广.因此认识切平面还得从切线说起.我们曾经定义，曲线C在点P的切线PT是割线PQ的极限位置（当点Q沿曲线C无限趋近于点P），如图10.8.这是切线的定性定义.由此不难给出与它等价的定量定义.设曲线C上动点Q到直线PT的距离，点P到Q的距离.二者之比是.点Q沿曲线C无限趋近于点P，即.显然，PT是曲线C在点P的切线将这个切线的定量定义推广到三维空间就是切平面的定义.定义设有曲面S，M是S上一点，是过点M的一个平面.曲面S上动点Q到平面图 10.8 的距离，点M到点Q的距离，如图10.9.当动点Q在曲面S上以任意方式无限趋近于点M，即，若则称平面是曲面S在点M的切平面，M是切点.图 10.9 定理3 二元函数在点可微曲面S：在点存在切平面：证明已知在点可微，即设，上式可改写为，或其中曲面S上任意点到平面的距离h，有空间解析几何知， .点M到Q的距离 于是，即曲面是曲面S：在点的切平面.易证.将切平面的方程改写为或.即切平面上过点的任意向量都与常向量垂直.过切点与切平面垂直的直线为曲面在点M的法线.因此常向量就是法线的方向向量.从而，过点的法线方程是设分别是法向量n与x，y，z轴正向的夹角，则法向量的方向余弦是，（3）其中，“”表示法向量两个不同的方向.例4求曲面在点（2，1，4）的切平面方程和法线方程以及法向量的方向余弦.解，.切平面方程是即.或法线方程是.法向量的方向余弦（有两组）是，.注二元函数在点可微的几何意义是曲面在点存在切平面，它为我们认识可微和全微提供了直观的几何模型.例如，锥面在顶点（0，0，0）不存在切面，因此二元函数在点（0，0）不可微.4、 复合函数微分法定理4若二元函数在（x,y)可微，而，在t可导，则复合函数(一元函数）在t也可导，且.证明给自变量t一个改变量，相应有与，从而又有.由可微定义，有，其中.因为在的过程中，与可能同时为0，即.规定当时.上面等式两端除之，有.等号两端取极限，有，即.类似地，若函数在可微，而在t可导（k=1，2，3，n），则复合函数在t也可导，且，（6）（7）证明将s看作常数，应用定理4，得（6）式.将t看作常数，在应用定理4，得（7）式.若果中间变量的个数和自变量的个数多于2，并满足相应的条件，则有类似的结果.例如，若在可微，而，在都存在偏导数，则，.例5设函数，而，求.解由公式（4），有例6设函数，而求.解=.例7设函数，而，求解由公式（6）与公式（7）有=.例8设，求，.解设，有，并用，分别代替，.于是= 例9. 证明：若 而则 证明： 于是， 例10. 设，而求解： 由公式（5），有 五、 方向导数设三元函数在点存在三个偏导数它们只是过点P沿着平行于坐标轴的方向的变化率. 函数在点P沿着任意方向的变化率，就是方向导数.从点任作射线.设的方向余弦是在射线上任取一点.设如图10.10，有图10.10定义 在过点的射线上任取一点，设.若极限存在，则此极限是函数在点P沿着射线的方向导数，表为或，即 =.定理5. 若函数在点可微，则函数在点P沿着任意射线的方向导数都存在，且 其中是射线的方向余弦.证明： 由可微定义，有 其中.在等号两端除以，并令，有 即 定理5指出，若函数在点P可微，则在点P沿任意方向的方向导数都可用偏导数表示出来.如果用表示在点P与射线反向的射线，则的方向余弦与的方向余弦相差一个符号.因此，若函数在点P可微，则有 注定理5的条件只