解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告.docxVIP

解线性方程组的迭代法数值计算上机实习报告一综述：考虑用迭代法求解线性方程组 Anx=bn，取真解为x=1,1,1T，初始向量x0取为零，以 l2 范数为度量工具，取误差指标为=10-6.Tn=2-1-1-1-12其中An=TnIn+InTn。分别完成下面各小题：第六题：编制程序实现Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel 方法。对应不同的停机标准（例如残量，相邻误差，后验误差停机标准），比较迭代次数以及算法停止时的真实误差。其中残量准则：rk、相邻误差准则：k=xk-xk-1后验误差停机准则：k2k-1-k解：为了结果的可靠性，这里我分别对矩阵阶数为400、2500、10000进行试验，得到对应不同的方法、取不同的停机标准，迭代次数和真实误差的数据如下：1.残量作为停机标准：矩阵阶数 Jacobi迭代方法Gauss-Seidel 方法迭代次数真实误差迭代次数真实误差 40012069.4155e-076049.3474e-07 250066672.1743e-0633352.1677e-0610000247464.2294e-06123754.2242e-062.相邻误差作为停机标准：矩阵阶数 Jacobi迭代方法Gauss-Seidel 方法迭代次数真实误差迭代次数真实误差 40010833.7483e-065741.8339e-06 250059378.6936e-0631524.3428e-0610000218821.6907e-05116588.4541e-063.后验误差作为停机标准：矩阵阶数 Jacobi迭代方法Gauss-Seidel 方法迭代次数真实误差迭代次数真实误差 40014834.1941e-087424.2108e-08 250092381.6502e-0846201.6483e-0810000376598.1831e-09188308.1848e-09分析上面数据可知，对应不同的停机标准，GS方法的迭代次数都近似为J方法的一半，这与理论分析一致。而且从迭代次数可以看出，在这个例子中，作为停机标准，最强的依次为后验误差，再到残量，再到相邻误差。第七题：编写程序实现SOR 迭代方法。以真实误差作为停机标准，数值观测SOR 迭代方法中松弛因子对迭代次数的影响，找到最佳迭代因子的取值。解：本题中考虑n=50，即对2500阶的矩阵A。由于我们已经知道要使SOR方法收敛，松弛因子w需要位于(0,2)。下面来求SOR方法中对应的最佳松弛因子。应用筛选法的思想，第一次我们取松弛因子w=1:0.01:1.95，间距为0.05，得到的对应的图像如下，从图中可以看出迭代次数随着w的增大，先减小后变大，这与理论相符。同时可以看出最佳松弛因子1.85wopt1.95.第二次将区间1.85,1.95细分为10份，即取w=1.85:0.01:1.95，可得下面第二幅图像，从图像中可以看出最佳松弛因子opt1.89第八题：对于J 方法，GS方法和（带有最佳松弛因子的）SOR 方法，分别绘制误差下降曲线以及残量的下降曲线（采用对数坐标系），绘制（按真实误差）迭代次数与矩阵阶数倒数的关系；解：对于J方法，考虑n=50时，采用相邻误差为迭代的终止条件，误差下降曲线及残量的下降曲线如下：对于GS方法，考虑n=50的时候，采用相邻误差作为迭代的终止条件，所得到的残量和误差的下降曲线如下图：从中可以看出，当相邻误差满足误差指标=10-6时，真实误差却并不小于误差指标=10-6，而为2.6281e-04。从上面两图可以看出，J方法和GS方法的残量及误差的下降都与迭代次数成一条直线，同时GS收敛速率将近为J方法的两倍。对于SOR方法，考虑n=50，即对应2500阶矩阵，由第7题结果可以取最佳松弛因子=1.89,得到误差和残量的下降曲线如下： 下面来绘制迭代次数与矩阵阶数的倒数关系：从上面最后两图可以看出，对J方法，GS方法和 SOR方法都满足迭代次数与矩阵阶数的倒数成反比的关系。第九题：编制变系数的Richardson 迭代方法，绘制误差下降曲线以及残量的下降曲线。观测循环指标m对收敛速度的影响。解：对于n=30，即900阶的矩阵，取循环指标m=20时的误差和残留的下降曲线见下图。从上图中可以看出，这里残量和误差的下降曲线都成锯齿状，由于是取得循环指标m=20，即应用重启技术，每一次迭代20步，然后在对迭代20步之后的值，作为初始值x0，再继续迭代到x20。故上图中误差和残量的下降速率呈现了一定的周期性。对于900阶矩阵，取相同的误差界，观察在不同循环指标m下，通过观察达到误差指标=10-6所需的迭代次数的大小来反映相应的收敛速度大小，所得到的数据如下表：循环指标m迭代次数1331421667311234853569165897512846594241039111364123371332614309153011628917290182711926720261将上表的数据画成图像如下：从上图可以看出，适当增大循环指标m，所需的迭代次数会减少，当m12时，再增大m值，迭代次数的下降不明显。在上机实验中，当设置的循环指标m21时，出现了无法收敛的现象，通过输出中间值发现，残量和相邻误差都接近预先设定的误差指标为=10-6，但在迭代次数接近上万时，仍然一直会比10-6大，处于2*10-69*10-6，一直无法降下去。这可能是由于m值取得过大，导致计算系数时精确度不够，从而误差在10-6之上徘徊，却无法降到10-6之下。第十题：对 Jacobi 迭代进行半迭代加速，绘制误差的下降曲线以及残量的下降曲线。解：对于Jacobi迭代进行半迭代加速，可得迭代公式如下： xk+1=k+1vGxk+g+1-vxk+1-k+1xk+1其中 v=22-max-min，=2-max-minmax-min，k+1=1-142k-1，1=2.这里取n=50，即对于2500阶矩阵，取实际误差作为停机标准，可得误差的下降曲线与残量的下降曲线如下：上图说明误差和残量的下降曲线与迭代次数成一线性关系，对比之前未使用半迭代加速方法的J方法，可以看出相应的收敛速度大大增加。第十一题：共轭梯度算法的研究。比较n=100,101时，CG算法与SOR算法的迭代次数；绘制误差下降曲线以及残量的下降曲线；绘制迭代次数与矩阵的阶数的关系。解：通过上机实验，得到CG算法和SOR算法的迭代次数如下表：nCG算法SOR算法100176371101178375下面绘制了n=100时CG算法中残量及误差的下降曲线。从上图中可以看出，CG算法中误差和残量的下降并不与迭代次数成线性关系，且收敛速率呈现不断增大的趋势，这与CG算法的理论分析相吻合。下图为迭代次数与矩阵的阶数的关系：从上图可以看出，随着矩阵阶数的变大，CG方法的迭代次数也随之增大，但增大的速率在不断变小。对于SOR算法，这里考虑用公式opt=21+1-2B来计