三角形中的不等式2.doc

三角形中的不等式1. ABC中，求证：.法一：三角形ABC中，必定有最大角/3，最小角/3(这个用反证法可证，此处不多说）不妨设ABC,那么A/3,C/3(C*c+B*b+A*a)/(a+b+c) /3等价于: (C*c+B*b+A*a)(a+b+c)*/3（移项），等价于：(C*c+B*b+A*a)-(a+b+c)* /3 0（展开），等价于a(A-/3 )+b(B-/3 )+c(C-/3 ) 0将角B= -A-C 代入 ,等价于a(A-/3 )+c(C-/3 )+B(-A-C -/3 ) 0a(A-/3 )+c(C-/3 )+B(2/3 -A-C) 0展开整理,等价于A(a-b) +C(c-b) -a* /3 -c* /3 +b*2/3 0等价于A(a-b) +C(c-b) -(a-b)*/3 -(c-b)* /3 0 等价于(a-b)(A-/3) +(c-b)(C-/3) 0 也就是只要证明成立。因为在三角形中，大角对大边，ABC，所以，abc所以a-b0,c-b0,又因为 A/3,C/3所以(A-/3)0,(C-/3) 0所以(a-b)*(A-/3)0 ,(c-b)(C-/3)0所以(a-b)(A-/3) +(c-b)(C-/3) 0 从而命题成立法二：原不等式等价于3(C*c+B*b+A*a)=(a+b+c)（A+B+C）化简：2（C*c+B*b+A*a)=（Ab+Bc+Ca）+（Ac+Ba+Cb）不妨设A=B=C，则a=b=c（大角对大边）左边显然为同序和，右边为乱序和，由排序不等式：同序和=乱序和原不等式得证2. ABC中，求证：sinA+sinB+sinC.3A、B、C为锐角三角形三内角，求证：tan3A+tan3B+tan3C9.4ABC中，求证：a2+b2+c24（为ABC的面积）（提示：利用，再用求差法）5a、b、c为ABC三边，xR，求证：a2x2+(a2+b2c2)x+b20.（提示：=（a+b+c）(a+bc)(ab+c(abc)0)6ABC中，利用代数换元a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,zR+)求证：sin.7.问题 设a,b,c;ma,mb,mc;ha,hb,hc分别表示ABC的三边长,三中线和三条高。表示ABC的面积。求证 a2+b2+c243(ma/ha+mb/hb+mc/hc)/3 证明 下面证明 a2+b2+c243(ma/ha) (1) 据三角形中线及高公式:4(ma)2=2b2+2c2-a2,ha=2/a， (1) a2+b2+c223(a*ma) 上式平方 ( a2+b2+c2)23a2(2b2+2c2-a2) (2a2-b2-c2)20 所以 (1)成立.用同样方法可得: a2+b2+c243(mb/hb) (2) a2+b2+c243(mc/hc) (3) (1)+(2)+(3) 即得所证不等式。8.设a,b,c,S是max(A,B,C)=180-arccos(5/6)三角形ABC的三边长和面积.求证 64S2*(bc)2-a2*bc+16S2-a4-abca2=0证：本题的、分别表示循环和、循环积。设ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为1、r、s,则有恒等式 a=2s,bc=s2+4r+r2,a2=2s2-8r-2r2,abc=4rs,S=rs.不妨设A= max(A,B,C)=180-arccos(5/6)，则cosA=-5/6,sinA=(11)/6,cot(A/2)=1/11,sinB+sinC=2sin(B+C)/2cos(B-C)=2cos(A/2)+cot(A/2)sin(A/2)=s/2+r/(211).s=sinA=(11)/6+s/2+r/(211),s=(11+3r)/(311),s2=(121+66r+9r2)/99.(bc)2=(bc)2-2abca=s4+s2(-8r+2r2)+(4r+r2)2=(1/9801)(121+66r+9r2)2+99(121+66r+9r2)(-8r+2r2)+9801(4r+r2)2=(1/9801)(14641+15972r+6534r2+1188r3+81r4-95832r-28314r2+5940r3+1782r4+156816r2+78408r3+9801r4)=(1/9801)(14641-79860r+135036r2+85536r3+11664r4).a4=(a)4-4(a)2bc+2(bc)2+4abca=16s4-16s2(s2+4r+r2)+2(s2+4r+r2)2+32rs2=2s4+s2(-16r-12r2)+2(4r+r2)2,a2*bc+16S2-a4-abca=(2s2-8r-2r2)(s2+4r+r2)+16r2s2-2s4+s2(-16r-12r2)+2(4r+r2)2-8rs2=2s4 -2(4r+r2)2-2s4+s2(16r+12r2)-2(4r+r2)2-8rs2+16r2s2=s2(8r+28r2)-4(4r+r2)2=(1/99)(121+66r+9r2)(8r+28r2)-396(4r+r2)2=(1/99)968r+528r2+72r3+3388r2+1848r3+252r4-6336r2-3168r3-396r4=(1/99)(968r-2420r2-1248r3-144r4),左*993=64r2(121+66r+9r2)(14641-79860r+135036r2+85536r3+11664r4)-99r2(968-2420r-1248r2-144r3)2=r264(1771561-9663060r+16339356r2+10349856r3+1411344r4+966306r -5270760r2 +8912376r3 +5645376r4+769824r5+131769r2 -718740r3 +1215324r4+769824r5+104976r6)-99r2*16(58564-292820r+215017r2+360096r3+140904r4+22464r5+1296r6)=16r24(1771561-8696754r+11200365r2+18543492r3+8272044r4+1539648r5+104976r6)-99r2*16(58564-292820r+215017r2+360096r3+140904r4+22464r5+1296r6)=16r27086244-34787016r+44801460r2+74173968r3+33088176r4+6158592r5+419904r6-5797836+28989180r-21286683r2-35649504r3-13949496r4-2223936r5-128304r6=16r2(1288408-5797836r+23514777r2+38524464r3+19138680r4+3934656r5+291600r6)0(因0=(a2+b2+c2)*(b2*c2+c2*a2+a2*b2) 设a,b,c是三角形三边长，求证: 3(abc)2*(a2/b2+b2/c2+c2/a2)=(a2+b2+c2)*(b2*c2+c2*a2+a2*b2) (1)证明 为书写方便,记a2=x,b2=y,c2=z,则(1)3xyz*(x/y+y/z+z/x)=(x+y+z)*(yz+zx+xy)2(xy2+yz2+zx2)=x2y+y2z+z2x+3xyzxy(y-x)+yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-z)+yz(z-x)+zx(x-y)=0x(x-y)(z-y)+y(y-z)(x-z)+z(z-x)(y-x)=0x(x-y)(z-y)+y(y-z)(x-y)+(y-z)+z(z-y)+(y-x)(y-x)=0 z(x-y)2+(y+z-x)(x-y)(y-z)+y(y-z)2=0 (2)(i)当x,y,z中至少有两个相等时,不等式(2)显然成立；(ii)当x,y,z中两两不等时,不等式(2)可化为z(x-y)/(y-z)2+(y+z-x)(x-y)/(y-z)+y=0 (3)将不等式(3)看作关于(x-y)/(y-z)的一元二次不等式,其判别式=(y+z-x)2-4yz=(b2+c2-a2)-4b2c2=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=(b+c)2-a2 (b-c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)=-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)= (a2+b2+c2)*(b2*c2+c2*a2+a2*b2) (1) 运用三角形惯性极矩不等式: (x+y+z)*(xPA2+yPB2+zPC2)=yza2+zxb2+xyc2, 取x=c2*a2,y=a2*b2,z=b2*c2,P取重心即得所不等式。下面给出一种纯初级证法(1)式去分母得:2(a2*b4+b2*c4+c2*a4)a4*b2+b4*c2+c4*a2+3a2*b2*c2上式化简整理为a2*(b4+c4)+b2*(c4+a4)+c2*(a4+b4) -6a2*b2*c23(a2-b2)*(b2-c2)*(a2-c2) (2) a2*(b2-c2)2+b2*(c2-a2)2+c2*(a2-b2)23(a2-b2)*(b2-c2)*(a2-c2) (3)(3)式左边显然为非负，如右边为负则成立，如右边为非负，不妨设abc当然cab, 或bca也行。下面来证明当abc时, (3)式成立。根椐已知恒等式:(b2-c2)3+(c2-a2)3+ (a2-b2)3=3(a2-b2)*(b2-c2)*(c2-a2) (4)(3)式等价于a2*(b2-c2)2+b2*(c2-a2)2+c2*(a2-b2)2+(b2-c2)3+(c2-a2)3+(a2-b2)30(b2-c2)2*(a2+b2-c2)+(c2-a2)2*(b2+c2-a2)+(a2-b2)2*(c2+a2-b2)0备注: