正四面体与正方体的相关问题归纳.ppt

1 多面体题根解正方体 一 正方体高考十年二 正四面体与正方体三 正方体成为十年大难题四 解正方体五 解正四面体 2 一 正方体高考十年 十年来 立体几何的考题一般呈 一小一大 的形式 分数约占全卷总分的八分之一至七分之一 立几题的难度一般在0 55左右 属中档考题 是广大考生 上线竞争 时势在必夺的 成败线 或 生死线 十年的立几高考 考的都是多面体 其中 1 直接考正方体的题目占了三分之一 2 间接考正方体的题目也占了三分之一 因此有人说 十年高考 立体几何部分 一直在围绕着正方体出题 正四面体与正方体例话 3 解析 外接球的表面积 比起内接正方体的全面积来 自然要大一些 但绝不能是它的 C 约6倍或 D 约9倍 否定 C D 也不可能与其近似相等 否定 A 正确答案只能是 B 1995年 正方体的全面积为a2 则其外接球的表面积为 考题1 正方体与其外接球 4 考题2 正方体中的线面关系 小问题很多 但都不难 熟悉正方体各棱 各侧面间位置关系的考生 都能迅速作答 如解答 1 只要知道棱AD与后侧面垂直就够了 说明 1997年 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 1 证明AD D1F 2 求AE与D1F所成的角 3 证明面AED 面A1FD1 4 设AA1 2 求三棱锥F A1ED1的体积 5 考题3 正方体的侧面展开图 考查空间想象能力 如果能从展开图 右上 想到立体图 右 则能立即判定命题 为假 而命题 为真 答案是C 解析 2001年 右图是正方体的平面展开图 在这个正方体中 BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60 角 DM与BN垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 A B C D 6 2002年 在下列四个正方体中 能得出AB CD的是 考题4 正方体中主要线段的关系 射影法 作AB在CD所在平面上的射影 由三垂线定理知其正确答案为A 平移法 可迅速排除 B C D 故选 A 解析 7 2003年 棱长为a的正方体中 连结相邻面的中心 以这些线段为棱的八面体的体积为 考题5 正方体与正八面体 解析 将正八面体一分为二 得2个正四棱锥 正四棱锥的底面积为正方形面积的 再乘得 答案选C 8 考题6 正方体中的三角形 解析 在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形 要得直角非等腰三角形 则每个顶点上可得三个 即正方体的一边与过此点的一条面对角线 共有24个 得 所以选C 9 在三棱锥O ABC中 三条棱OA OB OC两两互相垂直 且OA OB OC M是AB边的中点 则OM与平面ABC所成角的正弦值是 考题72006年四川卷第13题 正方体的一 角 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 E P分别是BC A1D1的中点 M N分别是AE CD1的中点 AD AA1 a AB 2a 1 求证 MN 面ADD1A1 2 求二面角P AE D的大小 3 求三棱锥P DEN的体积 考题82006年四川卷第19题 两正方体的 并 P 10 如图 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 P是侧棱CC1上的一点 CP m 试确定m 使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3 在线段A1C1上是否存在一个定点Q 使得对任意的m D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP 并证明你的结论 分析 熟悉正方体对角面和对角线的考生 对第 问 可心算出结果为m 1 3 对第 问 可猜出这个Q点在O1点 可是由于对正方体熟悉不多 因此第 小题成了大题 第 小题成了大难题 考题9 2006年湖北卷第18题 11 考题10 2006年安徽卷第16题 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点A在平面 其余顶点在的同侧 正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1 2和4 P是正方体的其余四个顶点中的一个 则P到平面的距离可能是 3 4 5 6 7以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 12 二 正四面体与正方体 从 正方体高考十年 和 全国热炒正方体 中 我们看到正方体在立体几何中的特殊地位 在实践中 正方体是最常见的多面体 在理论上 所有的多面体都可看作是由正方体演变而来 我们认定了正方体是多面体的 根基 我们在思考 1 正方体如何演变出正四面体 2 正方体如何演变出正八面体 3 正方体如何演变出正三棱锥 4 正方体如何演变出斜三棱锥 正四面体与正方体例话 13 考题1 正四面体化作正方体解 说明 本题如果就正四面体解正四面体 则问题就不是一个小题目了 而是有相当计算量的大题 此时的解法也就沦为拙解 14 拙解 硬碰正四面体 15 联想 的关系 正四面体的棱长为 这个正四面体岂不是由棱长为1的正方体的6条 面对角线 围成 则三棱锥B A1C1D是棱长为的正四面体 于是正四面体问题可化归为对应的正方体解决 为此 在棱长为1的正方体B D1中 1 过同一顶点B作3条面对角线BA1 BC1 BD 2 将顶点A1 C1 D依次首尾连结 16 妙解 从正方体中变出正四面体 以长为面对角线 可得边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 这个正方体的体对角线长为 则其外接球的半径为 则其外接球的表面积为S 4 R2 4 2 3 以为棱长的正四方体B A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球 故其外接球的表面积也为S 3 答案为A 17 寻根 正方体割出三棱锥 在正方体中割出一个内接正四面体后 还 余下 4个正三棱锥 每个正三棱锥的体积均为1 6 故内接正四面体的体积为1 3 这5个四面体都与正方体 内接 而 共球 事实上 正方体的内接四面体 即三棱锥 共有 12 58个 至此可以想通 正方体为何成为多面体的题根 18 按理说 立体几何考题属中档考题 难度值追求在0 4到0 7之间 所以 十年来立几考题 哪怕是解答题也没有出现在压轴题中 从题序上看 立几大题在6个大题的中间部分 立几小题也安排在小题的中间部分 然而 不知是因为是考生疏忽 还是命题人粗心 竟然在立几考题中弄出了大难题 其难度超过了压轴题的难度 从而成为近十年高考难题的高难之最 三 正方体成为十年大难题 正四面体与正方体例话 19 命题 将正方体一分为二 2003年全国卷第18题 天津卷第18题 河南卷第19题等 是当年数学卷的大难题 其难度 超过了当年的压轴题 在命题人看来 其载体是将正方体沿着对角面一分为二 得到了一个再简单不过的直三棱柱 图中的点E正是正方体的中心 20 考题 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱AA1 D E分别是CC1与A1B的中点 点E在平面ABD上的射影是 ABD的重心G 求A1B与平面ABD所成角的大小 结果用反三角函数值表示 求点A1到平面AED的距离 21 解析 转下页 考场反馈 按出题人给出的图形 右上 答题时无法作辅助线 22 转下页 解析 续上 考场反馈 按出题人给出的这种解析 无法在原图上显示 23 解析 续上 阅卷人说 在见到的答卷中 几乎没有看到这种 标准答案 24 难点突破 斜二测改图法 把问题转到正方体中 本题难在哪里 从正方体内切出的直三棱柱的画法不标准 25 难题 0318 的题图探究 正方体立体图常见的画法有两种 1 斜二测法 图右 此法的缺点 A1 B C三点 共线 导致 三线 重合 2 正等测法 图右 此法的缺点 A C C1 A1 共线 导致 五线 重合 难题的图近乎第二种画法 图右 将正方体的对角面置于正前面 26 四 解正方体 正方体既然这么重要 我们就不能把这个 简单的正方体 看得太简单 像数学中其他板块的基础内容一样 越简单的东西 其基础性就越深刻 其内涵和外延的东西就越多 我们既然认定了正方体是多面体的根基 那我们就得趁着正方体很 简单 的时候 把它的上上下下 左左右右 里里外外的关系 都弄个清楚明白 正四面体与正方体例话 27 6 8 12 28 7 线 面 点 射影 垂足 6 对角 6 中心 根3 关于正方体你已经知道了多少 关于正方体还有许多许多 例如 8个顶点中 4顶共面的有 个 4顶异面的 个 正是4顶异面的个数 决定了正方体中三棱锥的个数 28 五 解正四面体 统计十年的高考立几题 除直接考 解正方体 的题目比重最大以外 接下来的就是 解正四面体 的题目了 其实 正四面体并不能与正方体平起平坐 正四面体本质上是正方体的 演生体 通俗地说 正四面体是正方体的儿子 如果把正方体弄清楚了 正四面体就随之清楚了 在十年的高考 正四面体 中 凡是就 儿子解儿子 的解法 都是拙法 凡是由 老子解儿子 的办法都是妙法 正四面体与正方体例话 29 正四面体棱长设作1 则对应的正方体棱长为 底面正三角形高为 底面正三角形的外半径为 正三角形的内半径为 正四面体的斜高为 斜高在底面上的射影为 斜面与底面成角余弦值 正四面体高为 外接球半径为 内切球半径为 一句话小结正四面体与正方体的对应量只相差一个系数 或 30 2006年湘卷理9 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是A B C D 2 2 妙解 找老子解儿子 答案为C 31 拙解 就儿子解儿子 如图所示 即求三角形PCD的面积 因为CD 2 四面体A BCD是正三棱锥 则PD PC 三角形PCD是等腰三角形 过P作CD的中线交CD于Q