数学与思维发展的关系.ppt

数学与思维发展的关系 人类的思维是后天形成的 思维受到各种因素的影响 并表现出多面性 但符合逻辑的 精密的 深刻的 聪慧的思维是每个人希望达到的最高境界之一 数学与数学教育如此受重视 不完全是因为其广泛的用途 也不能完全从应用的角度来看待数学 在上一讲中我们说明了数学能提供观察世界的一般观念和方法外 实际上数学对人的其他发展 尤其是对人的思维发展有不可或缺的作用和价值 数学是为人的更完美发展提供了良好训练 数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为思维的体操 培根说过 哲理使人深刻 诗歌使人聪慧 演算使人精密 其实数学不单单使人精密 数学同样也使人深刻 使人聪慧 哲学 诗歌 不要求每人都会数学 每人必须会 1 归纳与完全归纳 思维的一种形式是归纳 那么归纳性质的表征是什么呢 所谓归纳 是指通过对有限多个同类对象的观察分析 猜测一种共性或规律 并证明这种共性的确是正确的一种思维方法 当 同类对象 为有限多个时 我们将对象一一验证就可获得结论 对或错 但当 同类对象 无法穷举或实际上就是无限多时 我们原有的思维方法就无法具有说服力了 因此必须寻找一种处理无限的思维方法 即在数学上所要求的完全归纳 确保其正确性 1 归纳与完全归纳 我们熟悉的完全归纳法 数学归纳法 我们来看一些 非完全归纳 例子 1 归纳与完全归纳 1 归纳与完全归纳 1 归纳与完全归纳 这说明 考察一组对象的性质或规律时 可能出错 究其原因在于对于 无穷多 的思维方式不能按照 有限多 方式来处理 否则容易出现问题 这种方法通常成为不完全归纳 1 归纳与完全归纳 数学对归纳的完全性是要求十分严格 其意义不仅对所有的自然科学是重要的 而且对人文社会科学也是重要的 借鉴数学思维的严格性 可以大大提高社会科学学科的科学性 以例带证的方法属于不完全归纳 显然不能令人信服 目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题 科学性显然要遭到质疑 社会科学 实验学科 2 逻辑思维的代表 演绎 当归纳具有完全性时 其方法可以说属于逻辑的范畴了 逻辑思维的代表之一是演绎思维 演义思维最早来自几何学 其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位 实际上 一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系 公理体系 为标志的 数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的 2 逻辑思维的代表 演绎 抽象 强抽象弱抽象 任意四边形 凸四边形 梯形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 强抽象 弱抽象 2 逻辑思维的代表 演绎 例子 函数概念的演变过程 17世纪 幂函数 多项式 的代名词 18世纪 表达式 初等函数 欧拉给出了y f x 的表示 初等函数 非初等函数 级数 积分表示 解析表达式 一个式子 分段函数 伪函数 柯西引入了 对应 术语 但还是解析式子 Dirichlet函数 Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制 而且还对 凡函数至少在一点连续 提出了挑战 2 逻辑思维的代表 演绎 虽然这个表达式是认为构造的 带有主观性质 但它却推动了人们对函数本质的客观认识 这也反映了认识论中的基本内涵 主观判断主观事物一定要小心 不要把主观臆相混同于主观构想 科学需要主观构想的 2 逻辑思维的代表 演绎 Dirichlet函数 对应规则 何为对应 有序对 x y 新概念 集合函数 泛函 广义函数 函数 上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子 2 逻辑思维的代表 演绎 再以函数为例给出强抽象的例子 连续性问题解决后 出现了可微性问题 f x x 是连续但在0点不可微的例子 问题 连续函数至少有一个可微点 Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的例子 这个例子让数学家惊叹 直观似乎告诉我们不可能有这种函数 直观欺骗了我们 2 逻辑思维的代表 演绎 函数 连续函数 不可微函数 处处连续处处不可微函数 强抽象过程 但抽象性依然很强 数学的抽象方法很多 需要学习和实践逐步加深了解 在你领