小学奥数解题方法大全 4.doc

41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。解 去分母，两边同乘以6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得3x-27-22+2x=12移项，得3x+2x=12+27+22合并同类项，得5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。解 方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式方程，得x=-5，检验：当x=-5时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=350，所以，-5是原方程的根。解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x2）2-16（x+2）2解这个整式方程，得x=-2。检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。42、加法运算定律【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。例如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 5892843、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到的几何体是“圆柱”。如图1.37，将矩形ABCD绕AB旋转一周，得圆柱AB。其中AB为圆柱的轴，也是圆柱的高。BC或AC是圆柱底面圆的半径，CD叫做圆柱的母线。【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。例如图1.38，将直角三角形ABC，绕直角边AC旋转一周，便形成了圆锥AC。其中AC是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB是圆锥底面的半径；AB叫做圆锥的母线。【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。例如图1.39，将直角梯形ABCD绕着它的直角腰AB旋转一周。便形成了圆台AB。其中，AB是圆台的轴，也是圆台的高，上下底AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰DC，是圆台的母线。【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。例如图1.40，半圆绕着它的直径AB旋转一周，便形成了球O。原来的半圆圆心O是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。44、几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线n上有5个点，这5点共可以组成43+21=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成410=40（个）三角形。同理，m上4个点可以组成6条线段。以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成65=30（个）三角形。所以，一共可以组成70个三角形。【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。底边长为2，高为3的三角形有244=32（个）；高为2，底边长为3的三角形有82=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。例2 图5.48中共有_个三角形。（现代小学数学）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。所以，一共有15个三角形。例3 图5.49中共有_个正方形。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。图5.50（1）中，正方形个数是635241=32（个）；图5.50（2）中，正方形个数是44+33+2211=30（个）如果把图5.49中的图形，分成56和411两个长方形，则：56的长方形中共有正方形56+45342312=70（个）；411的长方形中共有正方形411+310+2918=100（个）。两个长方形相交部分45的长方形中含有正方形45+342312=40（个）。所以，原图中共有正方形70100-40=130（个）。例4 平面上有16个点，排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的距离都相等如图5.51（1），每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成_个正方形。（小学生科普报奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图5.51（2）的正方形共14（个）；能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。所以，一共可围成正方形20个。【立体图形的计数】例1 用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_。（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共56=30（个）。所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。例2 把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成_个小正方体。（北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题）讲析：若分成的小正方体，则共可分成27个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个222的正方体（如图5.53），余下的都只能分成111的正方体了。所以，最少可分成20个小正方体。45、几何体侧面展开【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图1.41，将正六棱柱ABCDEFA払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。例如图1.42，将正三棱锥SABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。例如图1.44，将正三棱台ABCA払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了46、几何公式【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。【立体图形计算公式】(1)柱体公式。（2）锥体公式。正n棱锥（如图113）的公式：圆锥的公式（圆锥如图114所示）：（3）棱台、圆台公式。正n棱台（如图115）的公式：圆台（如图116）的公式：（4）球的计算公式。球的图形如图117所示。S表=4r2；附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。例如，求4500的约数个数。解 4500=2232534500的约数个数是（2+1）（2+1）（3+1）=36（个）。【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：例如 求1992的所有约数的和。解 S（1992）=S（2331831）=5040【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，（4）一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有【堆垛计算公式】（1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图118）。桔子总数是多少个？”解 依据三角形堆垛公式，得=20（个）。（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加05的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图119），底层每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”解 依据公式，得（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图120。）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图120所示，这盘馒头共有多少个？”解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得=45+55=100（个）或者是（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。（梯形堆垛如图121所示。）用式子表示就是例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图121），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”解 依计算公式，得【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是：S=（n+1）+n+（n-1）+3+2+1例如，求下图（图122）中所有线段的条数。解 在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得S=（5+1）+5+4+3+2+1注意：这一公式，还可以用来数形如图123的三角形个数。在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为S=（m+m-1+m-2+3+2+1）（n+n-1+n-2+3+2+1）例如，请数出下图124中共有多少个不同的长方形。解 长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得=2110=210（个）。（答略）注意：这一公式，还可以用来数形如图125中的梯形的个数。显然，这个图形中除了ADE以外，其余均为大大小小的梯形。最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为=1510=150（个）。（答略）【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（nm）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为：S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+（m-n+1）1特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：例1 求下图中正方形的总个数（如图126）。解 图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：S73+62+51=21+12+5=38（个）。（答略）例2 求下图（图127）中的正方形有多少个。解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得（答略）【平面内n条直线最多分平面部分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为 例 平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？解 根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得S=2+2+3+4+5+6+7+8【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为S=2+12+22+（n-1）2=n2-n+2例 在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得S=2+12+22+192=202-20+2=400-20+2=382（块）（答略）【格点面积公式】每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数2-1。例 如图128，求格点平面内A、B两个图形的面积。解 A图内部无格点，B图内部有9个格点；A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。根据格点面积公式，得：A图面积=92-1=3.5（面积单位）B图面积=（9+7）2-1=115（面积单位）（答略）如果格点是由形如“”或“”构成（如图129），且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为多边形面积=2图形内部格点数+图形周界上格点数-2。47、几何公理、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于180。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图1.1，4=1+2。三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图1.1，41，42。【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是a2+b2=c2。（a、b表直角边长，c表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3）平行四边形邻角的和是180。如图1.2，A+B=B+C=C+D=D+A=180。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边都相等。（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图1.3，ACBD，AO=CO，BO=DO，AC平分A和C，BD平分B和D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）180。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）180=180；四边形的内角和是（4-2）180=360。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外角和等于360。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180，所以，n边形n个外角的和等于n180-（n-2）180=360。（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图1.4，1的两边分别垂直于A的两边，则1+A=180，即1与A互补。又2、3、4的两边也分别垂直于A的两边，则3和A也互补，而2=A，4=A。【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图1.5，图中的AA对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即LAA，AP=PA。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图1.5中，BA与BA的延长线相交，交点M在对称轴L上。（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图1.5中ABC与ABC全等。 【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。中心对称图形具有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图1.6中对称点A与A，B与B，C与C，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA，OB=OB，OC=OC。（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。48、和差积商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（ad+b）（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（ab+d），a-（b-d）=c+d。（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）b=cn，（an）b=cn。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）（bn）=c，或（an）（bn）=c。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）b=qn，（an）b=qn。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么a（bn）=qn，a（bn）=qn。（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）（bn）=q，（an）（bn）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果ab=q（余r），那么（an）（bn）=q（余rn），（an）（bn）=q（余rn）。例如，849=93，而（842）（92）=96（32），（843）（93）=91（33）。49、估值计算【精确度计算】例1 计算123456789101112133l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是_。（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：被除数和除数都有17位数，直接去除是极麻烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答：原式的值12343121=0.3953原式的值12353122=0.3955所以，答案是3、9、5。例2 以下四个数中有一个是30418.73的近似值，请你估算一下，找出这个数。（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。（1989年日本小学数学总体评价测验题）讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。18.73接近20，304接近300，30020=6000，可知，乘积在6000左右。所以，答案是5697。【整数部分的估算】（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析： 所以，整数部分是517。（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得 X，那么，与X最接近的整数是_。（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得答案是25。例4 已知问a的整数部分是多少？（全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。所以，a的整数部分是101。果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_。（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是2。本身），整数部分都是1。在此以后的数，整数部分都是2。故答案是49。大于3，至少要选_个数。（1989年全国小学数学奥林匹克复赛试题）讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得50、根据和、差、积、商变化规律速算【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如645+203=645+200+3=8453=848397468=400468-3=868-3（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如657309=（657+9）（309-9）=666+300=966154286=（1544）+（2864）=150290=（150-10）（29010）=140300=440【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。（1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。运用这一规律的速算，如804355=8003554=4454449593264=6002647=3367=329（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。运用这一规律的速算，如675298=6753002=3752=377458209=4582009=2589=249（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。运用这一规律的速算，如3520984=（352016）-（98416）=35361000=2526803345=（8033）-（3453）=800342=458【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。（1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同样的倍数。运用这一规律的速算，如1754=（257）4=（257）25425=7425=7（425）=7006825681004=68004=1700（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。运用这一规律速算，如24025=（2404）（2504）=601000=600004514=（452）（142）=902=180【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条：（1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。运用这一规律速算，如54009=（5400100）9100=549100=6100=600（2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。运用这一规律速算，如3600253600（254）4=36001004=364=144（3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。运用这一规律速算，如69000023000=（6900001000）（230001000）=69023=301200025=（120004）（254）=48000100=480注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。51、割补、拼接、截割【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.562=6.28（平方厘米）【拼接，截割】（1）平面图形的拼接、截割。拼接和截割，是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a，那么拼接后减少的周长就是2a。把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a，那么截割后增加的长度就是2a。依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。所以，正方形的周长是4832=1442=72（厘米）（2）立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S。把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S，那么，增加的表而积就是2S。依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。例如，如图4.41，把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？因为正方体木块的截割面积为55=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加252=50（平方厘米）又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。如图4.42左图的截法，表面积会增加。562=302=60（平方厘米）如图4.42中图的截法，表面积会增加。1062=602=12（平方厘米）如图4.42右图的截法，表面积会增加1052=502=100（平方厘米）52、改变运算种类在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除，往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基准数”，采用“以乘代加”的方法速算。例如（1）1718161714+1913+14解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。1718+161714+19+1314=1781-1-32-4-3=178-8=128（2） 325324318327323320解题时，可以选取323作为基准数，然后解答。325+324318+327323320=3236+21-5+4-3= 3236+（214）-（53）=32367-8=3236-1=1937运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、快速的，它的算法可以是：选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的累计数。当要加的数报完后，结果也就计算出来了。例如，某组10个同学某次数学考试分数如下：72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。计算时，可选择70分作基准数。计算过程可如下表所示（实际计算时只需要算出累计数就行了）：所以，这组同学这次考试成绩的总分数是70107=707（分）【以加代减】为说明问题，先看一个实际问题：“某人去商店购物，需要付款4.65元。他交给售货员10元，应找回多少钱？”很明显，这是个减法算题，应该用104.65=5.35（元）去求答案。可是在找钱的时候，售货员一般不做减法，而是采用“前位凑九，末位凑十”的加法运算，得 5.35与4.65能凑成10，从而得出要找的钱数是5.35元。这是为什么呢？因为做减法会产生连续退位的问题，而用加法凑整，可以通过“前位九，末位十”的办法口算。达到正确、快速、简便地求差的目的。凡是整百、整千、整万减去一个数，都可以用“以加代减”的方法“前位凑九，末位凑十”，去迅速地求差。请看下面的两个例子，特别是看一看列出的竖式：（1） 1000675=325(2)50000-3672=46328【添0折半】一个数乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。一个数乘以10非常简便，只要在这个数的末尾添个0；再除以2，也很容易口算。这种添0后再除以2的方法，叫做“添0折半法”。它也改变了原题的运算种类。例如（1）486548602=2430（2）4.375=43.72=21.85【添0退减原数】一个数乘以9，就是乘以101。根据一个数乘以两数之差的分配性质，一个数乘以9，可以在这个数的末尾添一个0，再退一位减去原数，所得的就是所要求的积。这种方法，可称为“添0退减原数法”。例如3969=3960-396=3564（退减原数可看式口算。看式口算不熟练时，可从低位减起，熟练之后可从高位减起，一下子就可直接写出得数。）【添0折半加原数】一个数乘以6，可以看成是乘以（51）。运用乘法分配律，可以用这个数分别乘以5和1，再求两个积之和。一个数乘以5，可以用“添0折半法”，加上这个数与1的积，就是加上原数。所以这种速算方法可称之为“添0折半加原数法”。例如64896=648902+6489=324456489=38934这种方法还可以推广到一个数乘以7中去。不过，乘以7就必须是“添0折半加原数的2倍”了。例如24367=2436024872=12180+4872=17052234.27=23422+468.4=1171468.4=1639.4【以加代乘】“以加代乘”又可以称之为“添0加原数”。例如72011=7200720=7920672031167203067203=739233这种方法还可以推广到一个数乘以12的计算中去。不过，一个数乘以12，需要添0加原数的2倍。例如：62312=6230+1246=7476【原数加半，加半定积】如果一个数乘以1.5，也就是乘以（10.5），那么根据乘法分配律，只要把这个数加上它的一半就可以了。这时，原来的乘法也可以改用加法来代替。例如481.5=48（10.5）=48+24（48的一半）=72显然，“原数加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一种方法。这种“原数加半”方法还可推广到一个数乘以15、150、1500以及0.15、0.015、0.0015中去。因为15=1.510 0.15=1.50.1150=1.5100 0.015=