斐波那契数列(1).doc

摘要本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。目录绪论3论文提出的背景和价值及国内外研究动态3一 斐波那契数列的提出31.1 问题的引出31.2 斐波那契额数列的定义 迭代表示4二 斐波那契数列通项公式的推导52.1 线性递归数列 线性递归方程及其特征方程的解法52.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导5三 斐波那契数列的部分相关性质63.1 有关斐波那契数列的等式关系性质63.2 有关斐波那契数列的结论13四 斐波那契数列的有关应用144.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例144.2 运用斐波那契数列解决实际问题15绪论论文提出的背景和价值及国内外研究动态斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬奇的蒙娜丽莎的微笑到生物学的“鲁德维格定律” 吸引了国内外许多学者去研究它。斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学、生物、金融美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了斐波那契数列季刊，专门刊载这方面的研究成果。我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。一 斐波那契数列的提出1.1 问题的引出斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多斐波那契提出的。在1202年他所撰写的珠算原理（由于翻译差别，有多种中文译名）以兔子繁殖问题为例而引人，故称“兔子数列”。下面引述该问题：一般的，兔子在出生一个月后就有繁殖能力。假设一对兔子（一雌一雄）每个月可繁殖出一对小兔子来，并且所有的兔子都不死，这样在笼中圈养一对有繁殖能力的兔子，那么一年后可以繁殖多少对兔子。分析：经过一个月，原来的大兔子繁殖了一对小兔子，小兔子没繁殖能力，大兔子一对，小兔子一对；经过二个月，原来的大兔子继续繁殖了一对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有两对，小兔子一对经过三个月，上个月大兔子繁殖了一共两对小兔子，上个月的小兔子长成了大兔子，现在大兔子有三对，小兔子两对；依次类推列下表： 其中系列数字：1,1,2,3,5,8,13构成了一个数列。这个数列有个明显的特点：前面两项之和等于第三项，即构成了后一项。这个特点也说明了：每月的大兔子对数为上月的兔子总对数；每月的小兔子对数为上月的大兔子对数，即上上月的兔子总对数。1.2 斐波那契额数列的定义 迭代表示如果用表示第个月后繁殖兔子的总对数，那么能够成一个一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,这个数列满足如下递推关系：满足上式的数列就叫做斐波那契数列。列昂纳多斐波那契当时只提出了这样一个特殊的数列，并没有给出它的通项公式。在这个数列诞生三百年之后，16世纪由法国数学家比内用第二数学归纳法推出的：。这一结果揭示了一个有趣的事实：一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。以下介绍推导斐波那契额数列通项公式的方法。二 斐波那契数列通项公式的推导2.1 线性递归数列 线性递归方程及其特征方程的解法递归数列的定义：对任何自然数，由递推关系确定的数列叫做递归数列。阶常系数线性递归方程定义：对数列，如果存在常数为定义在自然数集上的函数，使得 ，（1）式 则称为阶常系数线性递归数列，（1）式叫做的阶常系数线性递归方程。当时，则称（1）式为的阶常系数齐次线性递归方程。特别地，当=时，（1）式所对应的线性递归方程为 ，（2）式相应地，（2）式的特征方程为，其解为特征根。有通解定理：设是方程的两个根，那么方程的通解可以表示为：（1） 当时，；（2） 当时，。其中的是由初始值所唯一确定的常数。 2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导斐波那契数列，显然是一个2阶常系数齐次线性递归数列。利用特征方程：斐波那契数列的特征方程为。解得特征根为： 。则将初始条件代入上式，可以解得： 。则，.三 斐波那契数列的部分相关性质3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质等式1， ，证明：由于，那么考虑，即可。； ，两式错位相加得：，整理：， 即，又即证 有关等式1的推论有：1-1，；1-2，。证明推论1-1：由于上面两式相减故。证明推论1-2，由于故。等式2， , 证明：由于那么,运用等式1=由于故，等式3，,证明：由于那么，由等式1知 ，得证也可以用等式1和等式2推导等式3由于+而那么，等式4，证明：用数学归纳法当n=1时，等式左边为；等式右边为。命题成立假设当时命题成立。那么当时，等式左边为 等于等式右边 上所述，命题成立。即， 等式5， , 证明：用数学归纳法当n=1时，等式左边为等式右边为命题成立假设当时命题成立 ,那么当时， 等式左边为 等于等式右边， 综上所述，命题成立。即 , 等式6， 证明：由于，且 将等式左边变形为： 证毕。等式7，时，时，其中，由于：像这样地不断地迭代下去，最终得到上述等式。等式8，证明：由等式7当时，即命题等式左边整理为：又因为故满足命题等式当时，命题等式左边整理为：又因为则那么等式左边为综上所述，命题等式8成立。等式9，其中下面给其证明：由斐波那契数列的通项公式，则原命题转换证明：那么现在换算等式右边的式子：即原命题成立，有关等式9的推论有9-1， 其中，且9-2，9-3，证明推论9-1由于：证毕。证明推论9-2，不妨取：，代入右边为即，。证明推论9-3，不妨取：。代入，右边为即，。等式10，其中证明：因为满足斐波那契数列的条件：显然成立。由于故而故归纳：如果函数满足 ，那么斐波那契数列一定满足下列等式：，3.2 有关斐波那契数列的结论结论1，对任意的，若，那么。证明：由于，即，应用等式9，则，故结论2，对任意的，若，那么。证明：由于，不妨设，现在对作数学归纳。当时，显然假设当时成立，那么当时根据结论1，若，则，即综上所述，原命题成立。即对任意的，若，那么。结论3，对任意的，若，那么。证明：设，由结论2可知：即证毕。结论4，当且仅当证明：根据结论2对任意的，若，那么，在斐波那契数列的前几项里观察到最先出偶数项是，那么对任意的，只要满足，则。推广到整除10以内的数：当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当四 斐波那契数列的有关应用4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例黄金分割指按一定比例将事物一分为二，且较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，比例为。恰恰，斐波那契数列相邻的前项与后项的比例极限正好为黄金分割比例。由于黄金分割比例具有神奇的数学美感，被运用到许多领域：艺术创作（绘画制图、音乐创作、造型艺术、雕塑、建筑学），人体美学，生物，医学卫生，化学化工，金融经济等等。而大自然许多现象也与斐波那契数列有着千丝万缕的联系。下面我们通过斐波