《线性代数》电子教程之四.ppt

1 线性代数 电子教案之四 2 第四讲逆矩阵与矩阵的分块法 主要内容 可逆矩阵的概念 性质 矩阵可逆的充要条件 以及逆矩阵的求法 分块矩阵及其运算规律 基本要求 理解可逆矩阵的概念 性质 熟悉矩阵可逆的充要条件 会用伴随矩阵求矩阵的逆阵 知道分块矩阵及其运算规律 熟悉矩阵的行向量组和列向量组 3 一 概念的引入 第三节逆矩阵 给定一个从到线性变换 系数矩阵记为 且记 则可写成 问 如果线性变换可逆 那么它的逆变换 从到的线性变换是什么 4 假设从到的线性变换为 线性变换是线性变换的逆变换 则有 类似有 即 我们把这样的称为矩阵的逆矩阵 5 二 逆矩阵的定义和记号 定义 说明 此定义表明只有方阵才可能有逆阵 对于阶矩阵 如果有一个阶矩阵 使 则称矩阵是可逆的 并把矩阵称为的逆矩阵 简称逆阵 如果矩阵是可逆的 那么它的逆矩阵唯一 因此 我们把矩阵的逆矩阵记作 即 若则 证明 6 三 方阵可逆的条件 定理1 必要条件 若矩阵可逆 则 证 矩阵可逆 即 所以 所以有使 故 定理2 充分条件 若 则矩阵可逆 且 其中为矩阵的伴随阵 7 证 根据伴随阵的性质 有 当时 有 根据矩阵可逆的定义知 矩阵可逆 且 8 说明 这两个定理给出了矩阵可逆的一个充要条件 矩阵可逆 定理2给出了计算逆矩阵的一个方法 1 计算 2 计算 3 写出 根据这个充要条件 可以将定义中的条件改进为 证明 9 四 例题 例1求二阶矩阵的逆矩阵 解 说明 此例的结果应作为公式记住 10 例2求方阵 的逆阵 解 析 这是一个求三阶矩阵的逆矩阵的例子 要利用公式 所以存在 再计算的余子式 11 12 13 14 15 得 根据余子式和代数余子式的关系 16 所以 说明 利用这个公式求矩阵的逆矩阵 计算量较大 很容易出错 为了减少出错 先计算 而不是直接计算 验证 17 五 逆矩阵的运算规律 若可逆 则亦可逆 且 若可逆 数 则亦可逆 且 若为同阶矩阵且均可逆 则亦可逆 且 若可逆 则亦可逆 且 18 六 矩阵方程和矩阵多项式的求法 设为可逆矩阵 1 矩阵方程的求法 19 例3设矩阵满足 其中矩阵 解 20 故可逆 且 于是 用左乘 右乘的两边 得 21 矩阵多项式也是线性代数的重要而基本的内容 虽然计算矩阵多项式比较繁 但是如果矩阵比较特殊 则有一种特殊的计算法 2 矩阵多项式的求法 22 当时 则有 一般地 23 解 所以存在 因此由得 于是 24 又 所以 再由 得 的对角元 25 因此 26 3 方阵求幂问题 方法 基本方法 把通过可逆阵与对角阵联系起来 根据所给矩阵 找出所满足的关系式 从具体计算等等 找出的幂的规律 27 解 这个结果应当作公式记住 28 解 29 30 解 析 根据此题的特点 要找出满足的条件 所以 因此 31 七 小结 逆矩阵的计算公式 实数的倒数与矩阵的逆阵的比较 零是唯一一个没有倒数的实数 因而它显得怪异 相似地 当时 称矩阵为奇异矩阵 当时 称矩阵为非奇异矩阵 32 矩阵可逆的条件 可逆 没有矩阵的除法 其一 有许多矩阵没有逆阵 其二 不能确定是表示 还是表示 为可逆的方阵 33 伴随阵是一种很重要的矩阵 的伴随阵继承了的许多性质 伴随阵的性质有 34 一 分块矩阵的概念 第四节矩阵分块法 用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块 这种 操作 称为对矩阵进行分块 每一个小块称为子块 这样处理矩阵的方法称为分块法 矩阵分块后 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 说明 分块矩阵只是形式上的矩阵 分块法的优越之处是 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算 矩阵分块后 能突出该矩阵的结构 从而可利用它的特殊结构 使运算简化 可为某些命题的证明提供方法 35 例如 得到4个子块 以这些子块为元素 于是 得到的按照这种分法的分块矩阵 这是一个形式上为的分块矩阵 36 对还可以进行其它分法 如下面的两种分法 37 二 分块矩阵的运算规则 1 分块矩阵的加法 设矩阵与为同型矩阵 采用相同的分法 有 那么 说明 分块矩阵的加法 采用相同分法 对应子块相加 38 2 分块矩阵的数乘 设为数 对矩阵分块后 得分块矩阵为 那么 说明 分块矩阵的数乘 数乘每一个子块 39 3 分块矩阵的乘法 设为矩阵 为矩阵 对的列的分法与对的行的分法相同 分块成 则 的列数分别等于 的行数 那么 40 其中 说明 分块矩阵的乘法 对左矩阵的列的分法与对右矩阵的行的分法相同 再按普通矩阵的乘法 41 解 分块法 把分块成 42 则 43 因此 说明 在计算两个分块乘积时 可以把子块看作 数 把4阶矩阵的乘积化为2阶矩阵的乘积 即把大矩阵的运算化为小矩阵的运算 44 例设A为n阶矩阵 矩阵 1 求证为矩阵A的第j列 2 若 求证 45 证 1 将A按列分块 设为A的第j列 则 2 将A按列分块 则 于是 46 如此类推 可得 47 4 分块矩阵的转置 设对矩阵分块后 得分块矩阵为 那么 说明 分块矩阵的转置 把行写成同序号的列 并且每个子块转置 48 5 分块对角阵 设为阶矩阵 可分块成为 也就是只有在对角线上有非零子块 其余子块都是零矩阵 如果在对角线上的子块都是方阵 那么这样的分块矩阵称为分块对角阵 说明 对角阵是分块对角阵的特殊情形 因此分块对角阵有与对角阵相似的性质 49 分块对角阵的性质 分块对角阵的行列式 分块对角阵的逆 当 即时 有 分块对角阵的幂 50 特别注意 则 51 解 分块法 对做如下形式的分块后 得到分块对角阵 52 因此 说明 由此例可以看出 用分块法把求3阶矩阵的逆阵问题化为求2阶矩阵的逆阵问题 使计算简便多了 此例显示出 记住2阶矩阵的逆阵 是必要的 53 解 分块法 对做如下形式的分块后 得到分块对角阵 因此 54 由此归纳可得 所以 55 三 几种常见的分块方法 在分块矩阵的运算中 特别要注意分块矩阵的乘法 运算的可行性取决于两个方面 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数 左矩阵子块的列数等于右矩阵相应子块的行数 在计算矩阵与相乘时 常见的分块方法有 1 对按列分块 同时对作 最粗 的分块 56 把本身当作一个子块 说明 称为矩阵的列向量 称为的列向量组 矩阵与列向量组一一对应 应注意 若反过来 对按列分块 对作 最粗 的分块 则是无法进行分块矩阵的乘法 下标表示分块矩阵的行块数和列块数 以下相同 57 2 对按行分块 同时对作 最粗 的分块 把本身当作一个子块 58 说明 称为矩阵的行向量 称为的行向量组 矩阵与行向量组一一对应 列向量 列矩阵 常用小写黑体字母表示 或用希腊字母表示 行向量 行矩阵 则用列向量的转置表示 如 59 3 对按列分块 同时对作 最细 的分块 当是对角阵时 常用这样的分块 做 最细 的分块 即为把每个元素作为一个子块 说明 此结论表明 以对角阵右乘的结果是的每一列乘以对角阵中与该列对应的对角元 60 4 对按行分块 同时对作 最细 的分块 说明 此结论表明 以对角阵左乘的结果是的每一行乘以对角阵中与该行对应的对角元 当是对角阵时 常用这样的分块 61 5 对按行分块 同时对按列分块 是一个数 说明 此结果进一步表明了矩阵相乘的定义 62 证 把用列向量表示为 则 因为 所以 63 特别地 有 而 由 和为实数 得 因此 此题的结论对于复矩阵不成立 64 例12 线性方程组 记 则称为系数矩阵 称为未知数向量 称为常数项向量 称为增广矩阵 或者 65 利用矩阵乘法 有 对按列分块 对作 最细 的分块 有 对按行分块 对作 最粗 的分块 有 66 此式相当于把方程组中每个方程写成 67 说明 2 3 4 是线性方程组 1 的各种变形 2 是以向量为未知元的方程 2 的解称为 1 的解向量 今后 我们将把它们混同使用 并都称为线性方程组或线性方程 而且解与解向量亦不加区分 68 四 小结 矩阵分块法是矩阵运算的一种技巧 其好处有3点 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算 能突出该矩阵的结构 从而可利用它的特殊结构 使运算简化 可为某些命题的证明提供方法 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似 常见的分块法有 按列分块 按行分块 作 最粗 分块 作 最细 分块 分块法求矩阵的