第十五届应用竞赛初赛试题及参考解答.doc

第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答 一、（满分20分）在测量课上，老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度。小王灵机一动，想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下，在离旗杆较近的地方，用手机拍下小李和旗杆的照片，如图所示。然后把照片放在计算机的屏幕上，量出旗杆有6.3个小李的高度，小李的身高为1.65米，于是得到旗杆的高度约为6.31.65=10.4（米）(1) 你认为这种测量方法如何？如认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小?(2) 你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？参考解答：(1) 这个方法虽然操作简单易行，但却是有问题的，这样得到的结果，与实际真实的结果相比，偏小。照相者离旗杆越近，误差越大。事实上，从这张照片上可以看到，同样大小的窗户框，其高度在照片上看，四层的只有一层的70%，这符合“近大远小”的视觉规律。因此旗杆下面的“一人高”和旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，小王却把它当成一样的计算了。而顶端的“一人高”比下端的一人高所对应的实际尺寸要大，故小王的结果偏小了。(2) 减少误差的思路有两种，一是远离旗杆，用长焦镜头拍照。这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小，从而减少误差。但也要注意，距离远了，旗杆和人像也会变小，观察度量长度时的误差也会变大。二是考虑“近大远小”的变化率，比如可以根据图片量出，旗杆下端一米对应a毫米，旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应b毫米，可以认为整个旗杆平均一米等于图中的（a+b）/2毫米，于是用旗杆在照片上的总长度（毫米），除以（a+b）/2就是旗杆的真实高度（米）。 二、（满分20分）人们日常生产的产品大到飞机、汽车，小到锅碗瓢盆其表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的。在不同曲面的衔接处，我们往往也希望它是光滑的。如何能做到这一点呢？为简单起见，我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑（没有尖角）的。1给定平面上两条光滑的曲线，它们在某一点衔接。请你给出一个标准（即给出定义），用它来说明，在这个衔接点是光滑的。2给定平面直角坐标系，在x=2左侧的曲线是函数y=x2x+c（x2）的图像，其中c是参数，在x=2右侧的曲线是函数y=alnx（x2）的图像，其中是参数。请你选择适当的参数a，c（即，选择x=2左右两侧适当的曲线）使得在x=2时上述两条曲线衔接，且在衔接点满足你所给出的光滑标准。参考答案1两条光滑曲线在衔接点是光滑的，就是衔接后的整条曲线在该点的切线存在。等价于原来的两条曲线在衔接点的切线重合，即两个函数在该点的导数相等。2在直线x=2左侧的曲线y=x2x+c（x2）的导数是2x1，在x=2的值都是3，和参数值c无关。在x=2右侧的曲线y=alnx（x2）的导数是，在x=2的值是。根据刚刚给出的定义，为了保证两条曲线衔接后在衔接点处是光滑的，要求这两个值相等，即要求=3，解得a=6。选择在直线x=2右边的曲线为函数y=6lnx（x2）的图像。由于x=2时的函数值为6ln2，所以两条曲线的衔接点为(2,6ln2)。为使左边的曲线y=x2x+c（x2）也过点(2,6ln2)，则选取c，满足222+c=6ln2。解得c=6ln22。三、（满分20分）2011年8月7日，D22次列车（长春北京动车组，经停站：长春四平铁岭沈阳北盘锦北北戴河滦县北京）上的一位乘客记录下了列车运行全程的时刻与速度对应表如下（速度单位：千米/小时）：时刻15:1815:2515:2615:2715:2815:3015:3115:3215:3315:35速度0130158156154156162161152160时刻15:3615:3715:3815:4015:4115:4215:4315:4515:4615:47速度161157161161161161161152161161时刻15:4815:5015:5115:5215:5315:5515:5615:5715:5816:00速度155160157159160156156160161156时刻16:0116:0416:0516:0616:0816:0916:1016:1216:1316:15速度155136653612004377117时刻16:1616:1716:1816:2016:2116:2216:2316:2516:2616:27速度126156155144156156155156156156时刻16:2816:3016:3116:3216:3316:3516:3616:3716:3816:40速度160160161161158161155161161161时刻16:4116:4216:4316:4516:4616:4716:4816:5016:5616:57速度156156156156156157156146104108时刻16:5917:0017:0217:0317:0417:0617:0717:0817:0917:11速度35092109161152163163158163时刻17:1217:1317:1417:1617:1717:1817:1917:2117:2217:23速度15816216398124163136124157155时刻17:2417:2717:2817:3017:3117:3217:3317:3517:3617:37速度15510656414310003440时刻17:3817:3917:4117:4217:4317:4417:4617:4717:4817:49速度4654124155157158184220238239时刻17:5117:5217:5317:5417:5617:5717:5817:5918:0118:02速度240238238240240238239236238238时刻18:0318:0418:0618:0718:0918:1118:1218:1318:1418:16速度240239239224239238239239235239时刻18:1718:2118:2218:2318:2518:2618:2718:2918:3018:31速度239108662506291154199230时刻18:3218:3418:3518:3618:3718:3918:4018:4218:4418:45速度239239227216227238237216216218时刻18:4618:4718:4918:5018:5118:5218:5418:5518:5618:57速度218217218223214218236240216213时刻18:5919:0019:0119:0219:0419:0519:0619:0719:0919:10速度203238239237239239238239239239时刻19:1119:4719:4819:5019:5119:5219:5319:5419:5519:57速度2391635434400000时刻19:5819:5920:0120:0220:0320:0420:0620:0720:0820:09速度0386872155159158164164164时刻20:1120:1220:1320:1420:1620:1720:1820:1920:2120:22速度161158158164164159165164159158时刻20:2520:2720:2820:3020:3120:3320:3420:3520:3620:38速度1179738027100106107153164时刻20:3920:4020:4120:4320:4420:4520:4620:4820:4920:50速度147163148153159163163158151154时刻20:5120:5320:5420:5520:5620:5820:5921:0021:0121:03速度163164163159165203204204204204时刻21:0421:0521:0621:0821:0921:1021:1221:1321:1421:15速度201204204200203204204203186198时刻21:1621:1821:1921:2021:2121:2321:2421:2521:2621:28速度188204204204204204202204203204时刻21:2921:3021:3121:3321:3421:3521:3621:3821:3921:40速度204203200136118105119119104109时刻21:4121:4521:4621:4721:4921:5021:5121:52速度86114703938312714根据这张数据表，请你回答下列问题：(1) D22列车运行的总路程大概是多少？借助网络查阅一下具体的数值，如果有误差，请分析一下原因。(2) 19:1119:47时间段内列车没有显示数据，因此数据缺失。请推算一下，此间的平均速度。(3) 画出列车在不同时间运行的速度曲线，描述列车全程的运行动态。参考解答：(1) 设时间为t，t时刻的速度为v(t)，D22次列车经停站为长春、四平、铁岭、沈阳北、盘锦北、北戴河、滦县、北京，将这些站分别记作A，B，C，D，E，F，G，H，相邻经停站间的距离分别记为|AB|，|BC|，|CD|，|DE|，|EF|，|FG|，|GH|。方法1：将总路程分为七段，求出每一段内记录下的所有m个速度值的和，在用这个和除以m得到商，把这个值当做这一段的平均速度。这七段的平均速度分别为：142.9189，138.2286，120.4800，186.3421，196.0732，130.6087，153.0313。再根据记录中这七段前后的两个时刻得到每一段行车用时，进而得到这七段的距离分别为|AB|=128.6270，|BC|=115.1905，|CD|=66.2640，|DE|=155.2851，|EF|=284.3061，|FG|=69.6580，|GH|=209.1427。于是D22次列车运行的总路程为d1=1028.5千米。方法2：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间末端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间t(i), t(i+1)上的平均速度为v(i+1)，由此计算出D22次列车运行的总路程为d2=1053.9千米。方法3：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间前端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间t(i), t(i+1)上的平均速度为v(i)，由此计算出D22次列车运行的总路程为d3=1043.2千米。方法4：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用区间端点的平均速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间t(i), t(i+1)上的平均速度为，由此计算出D22次列车运行的总路程为d4=1048.6千米。网络数据：长春到北京的火车距离为d=1003千米。距离误差百分比定义为。 上述四种算法的距离误差百分比分别为0.0254 ，0.0508，0.0401，0.0454。误差原因分析：数据的误差可能来源于数据缺失，另一个重要原因是所估计的平均速度的误差使得结果出现较大误差，速度区间的划分是比较关键的因素。误差可能的原因为平均速度的假设过于粗糙，间隔大的数据对结果有影响。(2) 我们选用第一种距离估算方法，来研究19:1119:47时间段内的缺失数据，假设缺失数据是导致总体距离误差的主要因素。列车实际距离为精确的1003千米，按照第一种算法可估算出距离为1028.5千米，多走了25.5千米。该时间段经历时间为36分钟。用第一种算法估计的平均速度为196.0732千米/小时，于是知道这段缺失数据对应的更为准确的平均速度v满足(196.0732v)36/60=25.5，解得v=147.5732千米/小时。由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确。由第二种估计方法，得此段的平均速度v满足(163v)36/60=1053.91003解得v=78千米/小时。由第三种估计方法估计此段的平均速度v满足(239v)36/60=1043.21003解得v=172千米/小时。由第四种估计方法估计此段的平均速度v满足(163+239)/2v)36/60=1048.61003解得v=125千米/小时。(3) 时间-速度图像如下：0 50 100 150 200 250 300 350 40025020015010050vt列车运行过程中因为有停靠站，共有七段运行过程。在前三段基本为一个较慢的恒速：165千米/小时；第三、四段运行在较高的速度上：239千米/小时；第六段和第七段的大约前四分之一又回到了较慢的165千米/小时；第七段的中间时段（约占第七段的一半）的速度大约是204千米/小时；第七段的后四分之一是逐渐减速。BDAO四、（满分20分）AOBD是从密度均匀、薄厚一致、半径为r的圆形纸板上剪下来的开角为2的扇形纸板，OD为对称轴。已知这块扇形纸板的重心Csec位于距离圆心O为的位置。请你确定弓形纸板ABD的重心位置，即给出一个用r和表示的数学模型。参考解答：由图可知，扇形OADB是关于OD对称的。因此扇形的重心应位于OD上，则重心在距离点O为xsec=的点Csec处。扇形OADB可以分为三角形OAB和弓形ADBE两部分。又知三角形OAB的重心位于对称轴OD上，与点O的距离为xtei=的点Ctri处。显然弓形的重心Cseg也应该在半径OD上。设该点据圆心O点的距离为xseg根据假设，可知这三个重心的位置应与这个扇形以及组成它的三角形和弓形的面积有关。有关系Atri(CsecCtri)=Aseg(CsegCsec) 或者有Atri(xsecxtri)=Aseg(xsegxsec)。式中Atri、Aseg分别表示三角形和弓形的面积。显然如果用Asec表示扇形的面积，应该有Asec=Atri+Aseg。由此，前面的式子就可以改写成Asegxseg=Asecxsec Atrixtri由此解得不难算出Asec=r2/=r2，Atri=r2sincos。由此可得Aseg=r2(sincos)。代入上面的公式可以算出。 五、（满分20分）生物学家认为，正在休息时的温血动物体内消耗的能量就是为了保持其体温。体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，体重与体积成正比。已知一些动物的体重与脉搏率如表1所示： 表1 一些动物的体重和脉搏率动物名体重（克）脉搏率（心跳次数/分钟）鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔200