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第六章二维小波变换与图像处理 二维信号也称图像信号 为了避免引进第二维之后问题的复杂性 我们可以把图像信号分解成沿行和列的一维问题来处理 本章内容结构 二维小波变换二维多分辨率分析及小波子空间分析图像的多分辨率分解和合成 6 1二维小波变换 图像的 自身的特点决定了我们在将小波变换应用到图像处理中时 必须把小波变换从一维推广到二维 二维连续小波定义 令表示一个二维信号 x1 x2分别是其横坐标和纵坐标 表示二维基本小波 二维连续小波定义 二维连续小波定义 则二维连续小波变换为 式中因子是为了保证小波伸缩前后其能量不变而引入的归一因子 二维连续小波的反演小波变换 二维连续小波的一般表示形式 二维连续小波可以更一般的表示为 二维小波变换的特点 特点 1 二维小波变换具有旋转能力 不但有放大的能力 而且有 极化 性质 2 变换后有了4个变量 因此信息必定有冗余 二维连续小波变换的离散化 首先先把旋转尺度因子A改为 式中aij都取整数 所以有 二维连续小波变换的离散化 把A和都离散化 6 2二维多分辨率分析及小波子空间分析 首先 回顾一位多分辨率分析的概念和相关知识 然后推广到二维中去 假设二维空间是可分离的 即它可以分解成两个一维空间的张量乘积 可得 在一维多分辨率中各子空间的基函数表现形式可知的正交归一基为 同样可以得到 所以 在用这种张量表示的情况下 也可以相应地分解为中的分量和中的三个部分分量 具体表示为 二维空间的子空间分解关系 同样 在二维多分辨率分析中 子空间的分解关系同于一维情形 即 只有给定是正交尺度函数时 中的基函数 中三个部分表示的基函数才是关于平移和尺度正交的 在这种正交基的情况下 我们把系数表示为 6 3图像的多分辨率分解和合成 上节分析结果说明 在可分离的情况下 二维多分辨率可分两步进行 首先沿x1方向分别用和做分析 把分解成平滑逼近和细节这两部分 然后对这两部分再沿x2方向分别用和做类似分析 四路中 经处理所得得一路是的第一级平滑逼近 其余三路为细节函数 可分离情况下的多分辨率分解 当做一级分析时 j 1 有 可分离分解滤波器组结构 当做j级分析时有 可分离分解滤波器组结构 一级分解各分量示意图 图像可分离二维多分辨率的三级分解 可分离
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