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第4章土体中的应力计算 上海锦江饭店 4 1概述4 1 1土中应力计算的基本假定和方法 土中应力 自重建筑物荷载温度土中水渗流地震等 土中应力可分为 自重应力附加应力 本章只讨论 自重应力 静荷载 基本假定分析 1 土的分散性影响及连续介质假定基础底面的尺寸远大于土颗粒 工程实践中一般所关心只是平均应力 2 土的非均质性和非线性影响实际工程中土中应力水平相对较低 一定应力范围内 应力应变关系可看作是线性关系 应力符号以压为正 一般不考虑拉应力的影响 有现成的简单的解析解 3 弹性理论假定假定地基土为均匀的 各向同性的弹性体 采用弹性力学的有关理论进行计算 上述假定是本章的基础 4 2土体中自重应力计算4 2 1基本计算公式假定土体为均质的半无限弹性体取高度z 截面积A 1的土柱由平衡条件得 szA FW zA于是 sz z 图4 2土体中自重应力 可见 自重应力随深度呈线性增加 4 2 2土体成层及有地下水存在 1 土体成层 图4 3成层土的自重应力分布 各土层厚度及重度分别为hi和 i 则第n层土底面上 cz 1h1 2h2 nhn 2 有地下水存在 首先确定是否考虑浮力考虑浮力影响时 用浮重度 代替重度 原则 砂性土应考虑浮力 粘性土则视其物理状态而定 当IL 1时 受水的浮力作用 当IL 0时 不受浮力作用 当0 IL 1时 根据具体情况而定 4 2 3水平向自重应力的计算 根据广义虎克定律 对于侧限应力状态 有 sx sy 0 得 式中 E为弹性摸量 一般用变形摸量E0代替 再利用 sx sy 得 式中 K0为土的静止侧压力系数 为泊松比 注意 K0和 依土的种类和密度而异 可通过试验确定 例题4 1第一层土为细砂 1 19kN m3 s 25 9kN m3 w 18 第二层土为粘土 2 16 8kN m3 s 26 8kN m3 w 50 wL 48 wP 50 并有地下水位存在 计算土中自重应力 图4 5例题4 1图 第二层为粘土层 其液性指数 解 第一层土为细砂 地下水位以下考虑浮力作用 故受水的浮力作用 浮重度为 a点 z 0 sz z 0 b点 z 2m sz 19 2 38kPa c点 z 5m sz 19 2 10 3 68kPa d点 z 9m sz 19 2 10 3 7 1 4 96 4kPa分布如图 4 3基础底面的压力分布及计算 建筑物荷载由基础传给地基 所以 必须首先计算基础底面的应力分布 4 3 1基底压力的分布规律 a 理想柔性基础 b 堤坝下基底压力图4 6柔性基础 1 情况1 基础抗弯刚度EI 0 相当于绝对柔性基础基底压力分布与作用荷载分布相同 2 情况2刚度很大 即EI 可视为刚性基础 大块混凝土实体结构 a 马鞍形分布 b 抛物线分布 c 钟形分布图4 8刚性基础 上述演化只是一典型的情形 实际情况十分复杂大多数情况处于上述两种极端情况之间 4 3 2基底压力的简化计算 基底压力分布十分复杂 但是 分布形状的影响只局限在一定深度范围内 圣维南原理 实用上 假定基底压力分布为线性分布 1 中心荷载作用 中心荷载作用 荷载作用在基础形心处时 式中 F 竖直荷载 A 基础底面积 2 偏心荷载作用按偏心受压公式计算 式中 F M 中心竖直荷载及弯矩 M Fee 荷载偏心距W 基础底面抵抗矩b l 宽度与长度 基底压力分布可能情况 a b c 图4 9偏心荷载时几种情况 假定重新分布后基底最大压应力为p max 则 方法 由力的平衡和力矩平衡 pmin 0情形在工程上一般不允许出现 此时需进行设计调整 4 3 3基底附加应力的计算 概念 作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差 计算公式 p0 p sz p 0d 0 基底以上土的重度 d 基底埋深 基坑开挖 4 4集中荷载作用下土中应力计算4 4 1竖向集中荷载作用 Boussinesq课题 半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P 计算任一点M的应力 图4 12直角坐标表示 讨论6个应力分量和3个位移分量 法向应力 剪应力 式中 x y z M点的坐标 E 弹性模量及泊松比 X Y Z轴方向的位移 当采用极坐标表示M点的应力时 一些讨论 回答 从力的平衡角度分析 位移表达式与E有关 但一般不用它计算沉降 计算公式在集中力作用点处不适用 对工程应用意义最大的是竖向法向应力 可改写成 式中 称为应力分布系数 是r z的函数 可由表4 1查得 表4 2z 3m处水平面上竖应力计算 例题4 2土体表面作用一集中力F 200kN 计算地面深度z 3m处水平面上的竖向法向应力 z分布 以及距F作用点r 1m处竖直面上的竖向法向应力 z分布 解 列表计算见表4 2和4 3 图4 14土中应力分布 规律分析 1 集中力作用线上最大 2 随着r的增加而逐渐减小 3 集中力作用点处为奇异点 4 作用有多个集中力时 可叠加 4 5分布荷载作用下土中应力计算 1 空间问题 应力与计算点处的坐标 x y z 有关 如l b 10的基础 2 平面问题 应力与计算点处的坐标 x z 有关 如l b 10的基础 路堤 土坝 4 5 1空间问题的附加应力 1 矩形面积均布荷载 在基底范围内取单元面积dA dxdy单元面积上分布荷载看作是集中力dF pdxdy集中力在M点处的竖向附加应力为 进行积分 可由表4 4查得这里n l b m z b注意 l为长边 b为短边 b 土中任意点的计算 角点法 情况1 投影A点在矩形面积范围之内 z z aeAh z ebfA z hAgd z Afcg 为什么可以叠加 情况2 投影A点在矩形面积范围之外 z z aeAh z beAg z dfAh z cfAg 例题4 3解 1 M点竖向应力 图4 20例题4 3图 将面积abcd通过中心O划成4个相等小矩形按角点法进行计算 考虑矩形面积afOe 已知l1 b1 3 2 1 5 z b1 8 4 2由表4 4查得应力系数 a 0 038得 z 4 z afOe 4 0 038 100 15 2kPa 2 N点的竖向应力 叠加公式 z z ajki z iksd z bjkr z rksc 各面积附加应力计算结果列于表4 5 z 100 0 131 0 051 0 084 0 035 100 0 063 6 3kPa 2 矩形面积上作用三角形分布荷载 求角点下M的竖向应力 这里注意 求角点下M的竖向应力 将坐标原点取在荷载为零的角点上取单元面积dA dxdy 其上作用集中力dF x b pdxdy 称为应力系数 为n l b和m z b的函数 可由表4 6查得 计算公式 荷载的组合 例题4 4矩形面积基础长l 5m 宽b 3m 三角形分布荷载作用在地表面 荷载最大值p 100kPa 试计算在矩形面积内O点下深度z 3m处M点的竖向应力值 竖向应力多大 解 1 荷载作用面积叠加通过O点将矩形面积划为4块 假定其上作用均布荷载p1p1 100 3 33 3kPa用角点法 即 z1 z1 aeOh z1 ebfO z1 Ofcg z1 hOgd 应力系数可由表4 4查得 结果列于表4 7 z1 33 3 0 045 0 093 0 156 0 073 12 2kPa2 荷载分布图形的叠加ABC DABE AFD CFE 三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上 z2 z2 aeOh z2 ebfO p1 t1 t2 z2 33 3 0 021 0 045 2 2kPa 三角形分布荷载CFE作用在Ofcg和hOgd上 z3 z3 Ofcg z3 hOgd p p1 t3 t4 6 7kPa于是 z 12 2 2 2 6 7 16 7kPa 3 圆形面积上作用均布荷载 分析步骤 采用极坐标表示 具体见教材 竖向附加应力 z值为 取a 0 则 式中 c 应力系数 它是a R和z R的函数 见表4 9 4 5 2平面问题的附加应力 1 线荷载作用下 取微分长度dy荷载pdy看成是集中力 则 Flamant课题 则 当采用极坐标时 得 2 条形荷载作用下土中应力a 任一点竖向应力 分析步骤 荷载宽度方向取微分宽度 荷载dp pd 视为线荷载 在M点处附加应力为d z 在荷载宽度范围内积分 得 u为应力系数 是n x b和m z b的函数 从表4 12查得 采用极坐标表示时 得 b 计算主应力 式中 最大主应力作用方向与竖直线间夹角 由 记M点到边缘连线夹角为 0 则 0 1 2 于是得 视角相等的各点 其主应力相等 由 2 1 2 2 2 1 2 2 0 2可见 最大主应力方向在视角的等分线上 3 三角形分布条形荷载 分析步骤 思路与上类似 见教材 计算公式为 s为应力系数 是n x b和m z b的函数 4 5 3关于土中附加应力的讨论 回答 基础面积不同 影响深度不同 思考 影响深度是否相同 4 6有效应力原理4 6 1有效应力原理的基本思想 考虑隔离体平衡 得 A sAs uwAw uaAa 太沙基 Terzaghi 1923 使土力学从一般固体力学中分离出来 成为一门独立的分支学科 各符号的含义 对于饱和土体 ua和Aa均为零 则 A sAs uw A As 分析 As很小 第2项中As A可略去不计 但第1项不能略去 为什么 几点结论 孔隙水压力在各个方向上的大小相等 有效应力作用使孔隙体积发生改变 土体发生压缩