2017_18学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式章末小结与测评创新应用教学案.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式(1)柯西不等式取等号的条件实质上是：.这里某一个bi为零时，规定相应的ai为零(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组(3)可以利用向量中的|的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义若n是不小于2的正整数，求证：1.证明12，所以求证式等价于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有 .设a，b，c，d为不全相等的正数求证：.证明记sabcd，则原不等式等价于.构造两组数，；，由柯西不等式得()2()2()2()2(1111)2.即4s(abcd)()16，于是，等号成立sdsasbscabcd.因题设a，b，c，d不全相等，故取不到等号，即.利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足已知正实数u，v，w满足u2v2w28，求的最小值解u2v2w28.82(u2v2w2)2(91625)，.当且仅当345，即u，v，w2时取到“”号，当u，v，w2时的最小值为.设aiR(i1，2，n)且i1，求：S的最小值解S关于a1，an对称，不妨设1a1a2an0，则02a12a22an，且0，S(a1a2an).又由柯西不等式，得(2a1)(2a2)(2an)n2，而(2a1)(2a2)(2an)2n1，所以，S，当且仅当a1a2an时，上面几个不等式的等号成立，于是S的最小值为.已知实数x、y、z满足x24y29z2a(a0)，且xyz的最大值是7，求a的值解由柯西不等式：x2(2y)2(3z)212.因为x24y29z2a(a0)，所以a(xyz)2，即xyz.因为xyz的最大值是7，所以7，得a36，当x，y，z时，xyz取最大值，所以a36.(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在(2)注意等号成立的条件在ABC中，试证：.证明不妨设abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)得，又由0bca，0abc，0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.由、得原不等式成立一、选择题1函数y2的最大值是()A. B. C3 D5解析：选B根据柯西不等式，知y12.2n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A1 Bn Cn2 D.解析：选C设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)()(111)2n2.3设x、y、z，满足x22y23z23，则x2y3z的最大值是()A3 B4 C. D6解析：选A构造两组数：x，y，z和1，由柯西不等式得x2(y)2(z)212()2()2(x2y3z)2，(x2y3z)218，3S3.二、填空题4设a，b是给定的正数，则的最小值为_解析：(sin2cos2)(ab)2.答案：(ab)25xR，则的最大值为_解析：()2(1212)(1sin x1sin x)4，2.当且仅当，即sin x0时取等号答案：26函数y的最小值为_解析：y2x(12x)25.答案：257已知a，b，x，y0，且 ab4，xy1，则(axby)(bxay)的最小值为_解析：()2()2()2()2()2(xy)2ab(xy)2ab4.答案：4三、解答题8已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的取值范围解：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0，故0e.9设a、b、c为正数，且a2b3c13，求的最大值解：(a2b3c)()2.()2.当且仅当时取等号又a2b3c13，a9，b，c.有最大值.10求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值解：由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故所求x，y. (时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1设Ma2b2c2d2，Nabbccdda，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMNDMN解析：选A取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，则由柯西不等式有(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)(abbccdda)2，即(a2b2c2d2)2(abbccdda)2，a2b2c2d20，a2b2c2d2abbccdda.MN.2若a，b，c均为正数且abc6，则的最小值为()A3 B5C6 D12解析：选C不妨设abc，则abacbc，0.于是abacbc，a2b2c2.故.由排序原理知：，将上面两个同向不等式相加，得2.17(本小题满分12分)已知a1，a2，an为实数且a1a2a3an10，求aaaa的最小值解：由n(aaa)(111)(aaa)(a1a2an)2，aaa.aaa的最小值为.18(