2013届数学（理）第一轮第4章+第31讲+正、余弦定理及其应用.ppt

第四章 三角函数 三角恒等变换及解三角形 正 余弦定理及其应用 第31讲 1 在 ABC中 已知b 4 c 2 A 120 则a等于 2 在 ABC中 a 8 B 60 C 75 则b等于 等腰直角三角形 60 或120 5 在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD 如图 今在距离B点60m的地面上取一点A 若测得CD所张的角为45 则该电视塔的高度是 m 150 三角形解的个数的判定 例1 在 ABC中 若a 18 b 24 A 44 则此三角形解的情况为 已知两边a b和其中一边a的对角A A为锐角 解三角形的解的情况 a bsinAa bsinAbsinA a ba b无解一解两解一解 点评 变式练习1 在 ABC中 a x b 2 B 45 若 ABC有两解 则x的取值范围是 判断三角形的形状 例2 已知a b c分别是 ABC的三个内角A B C所对的边 若a ccosB 且b csinA 试判断 ABC的形状 点评 判断三角形的形状 应围绕三角形的边角关系进行思考 主要看其是否是正三角形 等腰三角形 直角三角形 钝角三角形或锐角三角形 要特别注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 依据已知条件中的边角关系判断时 主要有如下两条途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角恒等变换 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在这两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 变式练习2 在 ABC中 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 请判断 ABC的形状 正弦定理 余弦定理 面积公式的灵活应用 点评 本题将三角恒等变换 求值与解三角形综合一起考查 这是近几年高考的一种命题趋势 注意综合运用 应用正弦定理进行边角互化 利用三角公式进行角的统一 达到化简的目的 在解三角形中 利用正 余弦定理进行边角转化是解题的基本方法 在三角函数的化简 求值中 常要重视角的统一 函数的统一 降次思想的应用 测量距离问题 例1 如图 某住宅小区的平面图呈扇形AOC 小区的两个出入口设置在点A及点C处 小区里有两条笔直的小路AD DC 且拐弯处的转角为120 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟 从D沿DA走到A用了6分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 求该扇形的半径OA的长 精确到1米 点评 三角学源于测量实践 解三角形是三角实际应用的一个重要方面 求距离问题一般要注意 1 选定或创建的三角形要确定 2 利用正弦定理还是余弦定理要确定 1 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 b c cosA acosC 则cosA 3 甲船在岛B的正南方A处 AB 10千米 甲船以每小时4千米的速度向正北航行 同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60 的方向驶去 当甲 乙两船相距最近时 它们所航行的时间是 分钟 4 在 ABC中 内角A B C的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinAcosC 3cosAsinC 求b的值 5 2012 兴化期中卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知向量m a btanA n b atanB 1 若m n 试判断 ABC的形状 2 若m n 且a 2 b 求 ABC的面积 2 基本题型 已知一边和两角 解三角形 先由内角和定理求第三角 再用正弦定理 有解时只有一解 已知两边和其中一边的对角 解三角形 先由正弦定理求另一边的对角 再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角 在已知三角形两边一对角 求解三角形时 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 3 余弦定理 1 基本题型 已知三边 解三角形 由余弦定理和内角和定理求角 在有解时只有一解 已知两边及夹角 解三角形 先由余弦定理求第三边 再由正弦定理与内角和定理求角 有一解 2 余弦定理是勾股定理的推广 判断C为锐角 a2 b2 c2 C为直角 a2 b2 c2 C为钝角 a2 b2 c2 5 解三角形常见类型及解法在三角形ABC的六个元素 三个角A B C 三条边a b c 中要知三个 除三个角外 才能求解 常见类型及其解法见下表 6 应用正 余弦定理解三角形应用题的一般步骤 1 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 依据已知条件和求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的数学模型 3 根据三角形已知的边角条件合理选择正 余弦定理解三角形 从而得到数学模型的解 4 检验上述所求的解是否具有实际意义 从而最终得出实际问题的解 7 解三角形应用题常见的几种情况 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦