【恒心】高考数学-平面向量的基本定理及坐标表示突破复习.ppt

共69页 1 平面向量的基本定理及坐标表示 共69页 2 走进高考第一关基础关 共69页 3 教材回归 共69页 4 1 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量 叫做把向量正交分解 不共线 有且只有 1e1 2e2 不共线的向量e1 e2 互相垂直 共69页 5 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量e1 e2作为基底 对于平面内的一个向量a 有且只有一对实数a1 a2 使a a1e1 a2e2 把有序数对 叫做向量a的坐标 记作a 其中 叫a在x轴上的坐标 叫a在y轴上的坐标 设 a1e1 a2e2 则 就是终点A的坐标 即若 a1 a2 则A点坐标为 反之亦成立 O是坐标原点 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 共69页 6 2 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 2 向量坐标的求法已知A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标 3 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a与b共线 a 终点 始点 b x1y2 x2y1 0 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 共69页 7 考点陪练 1 下列各组向量中 可以作为基底的是 解析 根据基底的定义知 非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底 A中显然e1 e2 C中e2 2e1 所以e1 e2 D中e1 4e2 所以e1 e2 答案 B 共69页 8 2 已知a 2 3 b 1 5 则3a b等于 A 5 14 B 5 14 C 7 4 D 5 9 答案 A 解析 3a b 3 2 3 1 5 6 9 1 5 5 14 共69页 9 3 基础题 易 设a 1 2 b 3 4 c 3 2 则 a 2b c A 15 12 B 0C 3D 11 答案 C 解析 a 2b 1 2 2 3 4 5 6 a 2b c 3 共69页 10 4 基础题 易 已知向量a 1 3 b 2 0 则 a b 2 共69页 11 答案 C 共69页 12 解读高考第二关热点关 共69页 13 类型一 平面向量基本定理及应用 解题准备 已知e1 e2是平面的一组基底 如果向量a e1 e2共面 那么有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 反之 如果有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 那么a e1 e2共面 这是平面向量基本定理的一个主要考查点 也是高考本部分知识考查的重点内容 共69页 14 共69页 15 共69页 16 共69页 17 评析 1 量基本定理设出未知向量 然后利用共线向量的条件列出方程组 通过待定系数法从而确定参数的值 2 由平面向量基本定理知 平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示 根据向量的加法和减法法则及几何性质即可解题 共69页 18 共69页 19 共69页 20 共69页 21 类型二 平面向量的坐标运算 解题准备 1 对任意一向量a 有且只有一对实数x y 使a xi yj i j 为单位正交基底 则a x y x y 叫a的坐标 2 已知a x1 y1 b x2 y2 则a b x1 x2 y1 y2 a b x1 x2 y1 y2 a x1 y1 3 涉及向量的坐标运算问题 是近几年高考时常出现的一个内容 有时单独考查 更多的是与其他知识综合考查 题型以填空题和选择题为主 共69页 22 共69页 23 评析 由A B C三点坐标易求得 坐标 再根据向量坐标的定义就可以求出M N的坐标 向量的坐标是向量的另一种表示形式 它只与起点 终点 相对位置有关 三者中给出任意两个 可求第三个 在求解时 应将向量坐标看作一 整体 运用方程的思想求解 向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算 必须灵活应用 共69页 24 类型三 平面向量共线的坐标表示 解题准备 两平面向量共线的充要条件有两种形式 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是x1y2 x2y1 0 若a b a 0 则b a 共69页 25 典例3平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 回答下列问题 1 求3a b 2c 2 求满足a mb nc的实数m n 3 若 a kc 2b a 求k 4 若 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 直接用向量加减法的坐标运算公式 2 借助于向量相等的条件 建立关于m n的方程组 3 利用向量共线的充要条件 建立关于实数k的充要条件 4 利用 d c a b 及 d c 1建立关于x y的方程组 共69页 26 共69页 27 共69页 28 评析 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示 在引入向量的坐标表示后 可以使向量的运算完全化为代数运算 这样就可以将 形 和 数 紧密结合在一起 因此 很多几何问题 特别是像共线 共点等较难问题的证明 通过建立坐标系 设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决 如 要证平行 只需相关向量共线 要证垂直 只需相关向量数量积等于0 共69页 29 笑对高考第三关成熟关 共69页 30 名师纠错 误区一 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 典例1已知 a b c d e 设t R 如果3a c 2b d e t a b 那么t为何值时 C D E三点在一条直线上 剖析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决 但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时 容易忽视平面向量基本定理的使用条件 出现漏解 漏掉了当a b共线时 t可为任意实数这个解 共69页 31 共69页 32 评析 平面向量基本定理如果e1 e2是一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 特别地 当a 0时 1 2 0 本题在a b不共线时 就是根据这个定理得出的方程组 在平面向量的知识体系里 平面向量基本定理是基石 共线向量定理是重要工具 在复习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用 在使用平面向量基本定理时要注意其使用是两个基向量不共线 共69页 33 误区二 向量的坐标运算不准致误 典例2已知向量a 1 2 b 2 1 k t为正实数 x a t2 1 b y a b 1 若x y 求k的最大值 2 是否存在k t 使x y 若存在 求出k的取值范围 若不存在 请说明理由 共69页 34 剖析 本题最易出错的是向量的坐标运算 如计算向量x y时 对数与向量的乘积只乘向量的一个坐标 以坐标形式的向量加减运算时 漏掉其中的某个坐标 当向量x y垂直时数量积的运算错误 向量x y平行时 向量的坐标之间的关系用错等 如把x y的条件是两个向量坐标交叉相乘之差等于零写成交叉之积的和等于零 即 2t2 1 t2 3 0 其结果是k 这样只要给正数t一个大于的值 就得到一个正数k 其结果就是存在的 共69页 35 共69页 36 共69页 37 共69页 38 解题策略 数形结合与分类讨论向量是数形结合的产物 在进行向量坐标运算时 离不开数形结合的思想 在根据图形解决问题时 不要形成思维定势 要从多角度出发 以确定符合条件的元素的多样性 共69页 39 典例如图所示 已知点A 1 0 B 0 2 C 1 2 求以A B C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 共69页 40 共69页 41 共69页 42 共69页 43 典例已知向量a cos sin b 1 则向量2a b的模的最大值是 最小值是 快速解题 解题切入点 写出向量2a b 2 cos sin 1 2cos 1 2sin 求其模 分析思维过程 当写出向量2a b后可以看出 其模与 有关 可利用三角函数的有界性进行求解 共69页 44 共69页 45 快解 如图 2a的终点在圆心为原点 半径为2的圆上 b的终点B 1 也在其上 当2a与b方向相同时 其模值最大为4 当2a与b方向相反时 其模的值最小为0 共69页 46 方法与技巧 求向量的模 一般都要按详解进行 而向量是与坐标平面内的点或线对应的 用数形结合法更直观 便于求解 得分主要步骤 本题步骤简单 只要能写出向量2a b 求出模为是容易的 从而可得其最大 最小值 易丢分原因 由于此题属简单题 丢分的可能性不大 在由sin cos 得到sin 时 可能一不小心会写为sin 但此处的错误不影响本题的结果 对于填空题来说 仍不会丢分 共69页 47 教师备选 三点共线与三线共点问题定理已知三点A B C 如果它们对应的向量分别是a b c 那么这三点位于同一条直线上的充要条件是存在三个非零实数 使得 a b c 0 0 共69页 48 分析 要证明定理成立 需证明两个方面 一是证必要性 即由A B C三点共线 证明 式成立 二是证充分性 即由 式成立 证明A B C三点共线 共69页 49 共69页 50 典例已知 ABC中 D E分别是AC AB的中点 延长BD至F使DF BD 延长CE至G使EG CE 求证 F A G三点共线 共69页 51 课时作业二十四平面向量的基本定理及坐标表示 共69页 52 一 选择题1 基础题 易 已知向量a 3 4 b sin cos 且a b 则tan A B C D 答案 A 解析 a b a b 即 3 4 sin cos 即tan 故选A 共69页 53 2 基础题 易 若三点A 1 1 B 2 4 C x 9 共线 则x的值为 A 1B 3C D 51 答案 B 共69页 54 3 能力题 中 已知平面上直线l的方向向量e 点O 0 0 和点A 1 2 在l上的射影分别为O 和A 则 e 其中 等于 A B C 2D 2 答案 D 共69页 55 4 基础题 易 已知向量a 2 3 b 1 2 若ma b与a 2b平行 则实数m等于 A B C 2D 2 答案 B 共69页 56 5 基础题 易 三点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 共线的充要条件是 A x1y2 x2y1 0B x1y3 x3y1 0C x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 D x2 x1 x3 x1 y3 y1 y2 y1 答案 C 解析 三点A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 共线 x3 x1 y3 y1 x2 x1 y2 y1 x3 x1 y2 y1 x2 x1 y3 y1 0 故选C 共69页 57 A 6 1 B 4 8 C 6 1 D 1 6 答案 A 共69页 58 解析 由a 2 2 cos2 b m sin a 2b 可得 设 k 代入方程组可得消去m化简得 2 cos2 2sin 整理得 2 2 cos2 2sin 0 再令 t 代入上式得 sin 1 2 16t2 18t 2 0 可得 16t2 18t 2 解不等式得t 1 而 1 解得 6 k 1 故A 共69页 59 二 填空题7 基础题 易 若三点A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则 的值等于 解析 a 2 2 2 b 2 依题意 有 a 2 b 2 4 0 即ab 2a 2b 0 所以 共69页 60 8 基础题 易 已知a是以点A 3 1 为起点 且与向量b 3 4 平行的单位向量 则向量a的终点坐标是 解析 设向量a的终点坐标是 x y 则a x 3 y 1 由题意可知解得或 故填 或 共69页 61 9 基础题 易 已知A 2 1 B 1 1 O为坐标原点 动点M满足 m n 其中m n R且2m2 n2 2 则M的轨迹方程为 共69页 62 三 解答题10 能力题 中 已知O 0 0 A 1 2 B 4 5 及 t 试问 1 t为何值时 P在x轴上 在y轴上 P在第二象限 2 四边形OABP能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理由 共69页 63 解 利用向量相等建立向量的坐标间的关系 再由条件求出 共69页 64 共69页 65 11 2008 上海静安模拟 能力题 中 已知平面向量 1 求a b 2 设c a x 3 b d ya xb 其中x 0 若c d 试求函数关系式y f x 并解不等式f x 7 共69页 66 解 1 a b 0 2 由c d得 4y x x 3 0 所以变形得x2 3x 28 0 解得x 7或x 4 故不等式解集为 4 7 共69页 67 12 经典题 易 已知向量u x y 与向量v y 2y x 的对应关系用v f u 表示 1 证明 对任意的向量a b及常数m n 恒有f ma nb mf a nf b 成立 2 设a 1 1 b 1 0 求向量f a 与f b 的坐