2017_18学年高中数学第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示学案含解析.docx

23.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示提出问题已知下列几组向量：(1)a(0,2)，b(0,4)；(2)a(2,3)，b(4,6)；(3)a(1,4)，b(2，8)；(4)a，b.问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？提示：(1)(2)中b2a；(3)中b2a；(4)中ba.问题2：以上几组向量中，a，b共线吗？提示：共线导入新知平面向量共线的坐标表示前提条件a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0结论当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线化解疑难向量共线的坐标表示的推导设a(x1，y1)，b(x2，y2)0，则abab(R)上式若用坐标表示，可写为ab(x1，y1)(x2，y2)，即abx1y2x2y10.向量共线的判定例1(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.B.C1 D2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)，判断与是否共线如果共线，它们的方向是相同还是相反？解(1)A(2)(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)，(2)(6)340，共线又2，方向相反综上，与共线且方向相反类题通法向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解活学活用1已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()AB.C或 D0答案：C2已知a(1,2)，b(3,2)，当实数k为何值时，(kab)(a3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？答案：当k时，(kab)(a3b)，并且它们的方向相反.三点共线问题例2(1)若点A(1，3)，B，C(x,1)共线，则x_.(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线解(1)9(2)若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数，使得.(4k，7)，(10k，k12)(4k，7)(10k，k12)，即解得k2或k11.当k2或11时，A，B，C三点共线类题通法三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点活学活用已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)(1)求实数x的值，使向量与共线；(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？答案：(1)x2(2)当x2时，A，B，C，D四点在一条直线上向量共线在几何中的应用例3如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标解由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)连接OC，则(2,6)由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)类题通法向量共线在几何中的应用及注意事项向量共线在几何中的应用，可分为两个方面：(1)已知两向量共线，求点或向量的坐标；(2)证明或判断三点共线、直线平行解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行活学活用已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明：由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，与共线(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，与不共线四边形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形典例已知P1(2，1)，P2(1,3)，P在直线P1P2上，且|.则P点的坐标为_解析(1)当与同向时，则有，设P点坐标为(x，y)，(x2，y1)，(1x,3y)(x2，y1)(1x,3y)，即故P点坐标为.(2)当与反向时，则有，设P点坐标为(x，y)，(x2，y1)(1x,3y)，即故P点坐标为(8，9)综上可得，P点坐标为或(8，9)答案或(8，9)易错防范1本题易由|只得出的结论，从而得出P点坐标为的错误答案2解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a与b共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏成功破障平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三点，点C在直线AB上，且，连接DC延长至E，使|，则点E的坐标为_答案：随堂即时演练1下列各组的两个向量，共线的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(1，2)，b2(7,14)Ca3(2,3)，b3(3,2)Da4(3,2)，b4(6，4)答案：D2已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1)B(6，3)C(1,2) D(4，8)答案：D3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则_.答案：4已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直线AB上，则x_.答案：235已知A(1,0)，B(3，1)，C(1,2)，并且，求证：.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)，故E.，(x23，y21)，故F.又4(1)0，.课时达标检测一、选择题1若a(6,6)，b(5,7)，c(2,4)，则下列命题成立的是()Aac与b共线Bbc与a共线Ca与bc共线 Dab与c共线答案：C2已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向答案：D3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则等于()A B.C2 D2答案：A4已知a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，且2ab3c0，则c等于()A. B.C. D.答案：C5已知a(2,1cos )，b，且ab，则锐角等于()A45 B30C60 D30或60答案：A二、填空题6已知(6,1)，(x，y)，(2，3)，若，则x2y的值为_答案：07已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案：18在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.答案：(6,21)三、解答题9平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，回答下列问题：(1)求3ab2c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)3ab2c3(3,2)(1,2)2(4,1)(9,6)(1,2)(8,2)(918,622)(0,6)(2)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)m4n3且2mn2，解得m，n.(3)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k.10已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4