2016年考研数学三真题及答案.pdf

2016 全国研究生入学考试考研数学 数学三 解析2016 全国研究生入学考试考研数学 数学三 解析 本试卷满分 150 考试时间 180 分钟 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 1 设 函 数 yf x 在 内 连 续 其 导 数 的 图 像 如 图 所 示 则 A 函数 f x有 2 个极值点 曲线 yf x 有 2 个拐点 B 函数 f x有 2 个极值点 曲线 yf x 有 3 个拐点 C 函数 f x有 3 个极值点 曲线 yf x 有 1 个拐点 D 函数 f x有 3 个极值点 曲线 yf x 有 2 个拐点 答案答案 B 解析 B 解析 由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样 有三个点左右两边导函数单调性 不一样 故有 2 个极值点 3 个拐点 2 2 已知函数 x e f x y xy 则 A 0 xy ff B 0 xy ff C xy fff D xy fff 答案 答案 D 解析 解析 22 xxx xyxy eee fffff xy xyxy 3 3 设 3 1 2 3 i i D Jxydxdy i 其中 2 123 01 01 01 0 01 1Dx yxyDx yxyxDx yxxy 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 A 123 JJJ B 312 JJJ C 231 JJJ D 213 JJJ 答案 答案 B 解析 解析 123 DDD 如图 易知在 12 DD 中 3 0 xy 在 13 DD 中 3 0 xy 可知 1213 JJJJ 故选 B 4 4 级数 1 11 sin 1 n nk nn k为常数 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与k有关 答案 答案 A 解析 解析 3 2 1111111 sin 11111 2 nn nk nnnnn nn nnn n 由于级数 3 1 2 1 2 n n 是收敛的 故原级数绝对收敛 5 5 设 A B是可逆矩阵 且A与B相似 则下列结论错误的是 A T A与 T B相似 B 1 A 与 1 B 相似 C T AA 与 T BB 相似 D 1 AA 与 1 BB 相似 答案答案 C 解析 解析 因为A与B相似 所以存在可逆矩阵P 使得 1 P APB 两端取转置与逆可得 1 TTTT P APB 111 P A PB 111 PAAPBB 可知 A B D均 正确 故选择 C 6 6 设二次型 222 123123122313 222fx xxa xxxx xx xx x 的正负惯性指数分别 为1 2 则 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 A 1a B 2a C 21a D 12aa 或 答案 答案 C 解析 解析 二次型矩阵为 11 11 11 a a a 其特征值为1 1 2aaa 可知10 20aa 即21a 故选择 C 7 7 设 A B为两个随机事件 且0 1 0 1P AP B 如果 1P A B 则 A 1P B A B 0P A B C 0P AB D 1P B A 答案 答案 A 解析 解析 1 P AB P A B P B 可知 0P ABP BP ABP BP AB 可知 1 P BAP AP AB P B A P AP A 8 8 设随机变量X与Y相互独立 且 12 1XNYN 4 则 D XY A 6 B 8 C 14 D 15 答案答案 C 解析 解析 2 22 D XYEX YEXY 2222 1 3 515 14EXYEXEYEX YEX EYD XY 则 故选 C 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 已知函数 f x满足 3 0 1 sin21 lim2 1 x x f xx e 则 0 lim x f x 答案答案 6 解析 解析 3 0 1 sin21 lim2 1 x x f xx e 由等价无穷小替换得 0 1 sin2 2 lim2 3 x f xx x 0 1 2 2 lim2 3 x f xx x 因此 0 lim 6 x f x 10 极限 2 112 limsin2sinsin n n n nnnn 答案 答案 cos1 sin1 解析 解析 22 11 11211 limsin2sinsinlimsinlimsin nn nnn ii niii ni nnnnnnnnn 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 111 000 1 sincoscoscoscos1 sin1 0 xxdxxdxxxxdx 11 设函数 f u v可微 zz x y由方程 22 1 xzyx f xz y确定 则 0 1 dz 答案答案 0 1 2dzdxdy 解析解析 由一阶微分形式不变性 2 2 12 1 22 zdxxdzydyxf xz y dxx fxz ydxdzx fxz y dy 将 0 1 1xyz 代入 20dxdzdy 所以 0 1 2dzdxdy 12 设 1 11Dx yxyx 则 2 2 y D x edxdy 答案答案 e3 2 3 1 解析解析 2222 1 11 2223 000 212 22 333 y yyyy DD x edxdyx edxdydyx edxy edy e 其中 1 D为D在第一象限部分 13 行列式 100 010 001 4321 答案答案 432 234 解析解析 令 100 0 10 00 1 432 1 4 D 由展开定理地递推公式 2 43322 4 3 2DDDDD 故 14 设袋中有红 白 黑球个 1 个 从中有效回地取球 每次取 1 个 直到三种颜色的 求都取到时停止 则取球次数恰好为 4 的概率为 答案 答案 2 9 解析解析 要求前三次必须恰好取到两种不同颜色的球 第四次取到剩下一种颜 色的球 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 前三次恰好取到两种不同颜色球的概率为 23 3 3 22 2 33 C 在前三次恰好取到两 种不同颜色的球的前提下 最后一次取到剩下一种颜色的球的概率为 1 3 故所求 概率为 2 9 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 4 1 0 lim cos22 sin x x xxx 解析解析 由重要极限得 原式为 24 34 44 444 000 111 1 12221 cos22 sin12246 1 3 limlimlim 3 xxx xxx xxo x xo x xxx xxx eeee 16 本题满分 10 分 设某商品的最大需求量为1200件 该商品的需求函数 QQ p 需求弹性 0 120 p p p为单价 万元 求需求函数的表达式 求100p 万元时的边际收益 并说明其经济意义 解析解析 1 由弹性的计算公式 P dQ Q dP 可得 120 P dQP Q dPP 分 离 变 量 得 120 dQdP QP 两 边 同 时 积 分 可 得lnln 120 QPC 即 120 QCP C为任意常数 由于最大需求量为1200 可知 01200Q 故10C 因此10 120 QP 10 120 RQPP P 边际收益为 1 120020 2120 10 dRdR dP PP dQdP dQ 从而 100 80 P dR dQ 它的经济意义是需求量每提高 1 件 收益增加 80 万元 17 本题满分 10 分 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 设函数 1 22 0 0f xtx dtx 求 fx 并求 f x的最小值 解析解析 01x 时 1 222232 0 41 33 x x f xxtdttx dtxx 当1x 时 1 222 0 1 3 f xxtdtx 所以 32 2 41 01 33 1 1 3 xxx f x xx 从而 2 42 01 2 1 xxx fx x x 由导数的定义可知 1 2 f 可知 2 42 01 2 1 xxx fx x x 易知 当 1 0 2 x 时 0fx 当 1 1 2 x 时 0fx 当 1 x 时 0fx 可知 f x的最小值为 11 24 f 18 18 本题满分 10 分 设函数 f x连续 且满足 00 1 xx x f xt dtxt f t dte 求 f x 解析 解析 0 x f xt dt 做变量替换uxt 则 0 00 xx x f xt dtf uduf u du 则代入方程可得 000 1 xxx x f u duxf t dttf t dte 两边同时求导数可得 0 1 x x f xf t dte 由于 f x连续 可知 0 x f t dt 可导 从而 f x也可导 故对上式两边在求导可得 x fxf xe 由 1式两边令0 x 可得到 01f 解微分方程可得 11 22 xx fxee 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 19 19 本题满分 10 分 求幂级数 22 0 121 n n x nn 的收敛域及和函数 解析解析 易知 0 22 12 1 n n nn x 的收敛半径为1 且当1 x与1 x时 级数收敛 可知幂级数的收敛域为 1 1 令 0 22 12 1 n n nn x xf 两边同时求导可得 0 12 12 2 n n n x xf 两边再求导可得 2 0 2 1 2 2 x xxf n n 积分可得C x x xf 1 1 ln 由于0 0 f 可知 1ln 1ln xxxf 再积分可得Cxxxxxf 1ln 1 1ln 1 由于0 0 f 可知 1ln 1 1ln 1 xxxxxf 因此 1ln 1 1ln 1 xxxxxf 1 1 x 20 本题满分 11 分 设矩阵 111 01 111 aa a a A 22 1 0 a 且方程组 Ax 无解 1 求a的值 2 求方程组 TT AAxA 的通解 解析 解析 1 2 1110 01210 0022 a Aa aa a 方程组Ax 无解 可知0a 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 2 322 222 222 T A A 1 2 2 T A 3221100 1 22220112 2222000 0 TT A A A 则通解为 01 12 10 kkR 21 本题满分 11 分 已知矩阵 000 032 110 A 1 求 99 A 2 设三阶矩阵 321 B满足BAB 2 记 321 100 B 将 321 分别 表示为 321 的线性组合 解析 解析 1 2 11 23032 00 EA 可知A的特征值为 0 1 2 3 10 011 2 230011 000000 A 则0的特征向量为 3 2 2 111110 220001 001000 AE 则1 的特征向量为 1 1 0 1 10 211 2 2210001 002000 AE 则2 的特征向量为 1 2 0 令 311 212 200 P 则 1 0 1 2 P AP 1 AP P 则有 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 999998 9999110010099 99 1 00 3110221 222 2 2121212221 222 20021000 11 2 APP 2 2 BBA 可知 10099 BBA 即 999998 10010099 123123 221222 221222 000 则 99100 112 2222 99100 212 1212 9899 312 2222 22 本题满分11分 设二维随机变量 YX在区域 2 01 Dx yxxyx 服从均匀分布 令 YX YX U 0 1 1 写出 YX的概率密度 2 问U与X是否相互独立 说明理由 3 求XUZ 的分布函数 ZF 解 析 解 析 1 D的 面 积 3 1 1 0 2 dxxxS 则 YX的 概 率 密 度 其他0 3 Dyx yxf 2 其他 0 10 33 2 2 xxxdy dyyxfxf x x X x XX x xxx x dttfxF 11 102 00 3 2 3 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 海量考研真题 考研资料免费下载 请访问研视界 当0U 时 23 00 3201 11 x P Xxxxx x 可知X与U有关 故不独立 3 zUXPzZPzF 0 2 1 1 1 2 1 0 0 1 1 UzXPUzXP UzYX