2016年北京大学博雅计划试题.pdf

2016 北大博雅计划试题北大博雅计划试题 一 选择题共 20 小题 在每小题的四个选项中 只有一项符合要求 请把正确的选项的代 号填在表格中 选对得 5 分 选错扣 1 分 不选得 0 分 1 直线2yx 与曲线 x a ye 相切 则 a 的值为 A 3 B 2 C 1 D 前三个答案都不对 解答 由于 x ax a ee 于是切点横坐标为xa 进而有 2 a a ae 解得3a 2 已知三角形 ABC 的三边长分别为 a b c 有以下 4 个命题 1 以a b c为边长的三角形一定存在 2 以 2 a 2 b 2 c为边长的三角形一定存在 3 以 2 ab 2 bc 2 ac 为边长的三角形一定存在 4 以1ab 1bc 1ca 为边长的三角形一定存在 其中正确的命 题个数为 A 2 B 3 C 4 D 以上三个答案都不对 解答 不妨假设 0 a b c a b c 1 正确 因为有0abcabc 2 错误 2a 3b 4c 即为反例 3 正确 因为有0 222 abcabc a 4 正确 因为有 1110abbccaabbcca 3 设 AB CD 是圆 O 的两条垂直直径 弦 DF 交 AB 于点 E DE 24 EF 18 则 OE 等于 A 4 6 B 5 3 C 6 2 D 前三个答案都不对 解答 如图 连接 CF 由于 DOE 与 DFC 相似 因此 DO DC DE DF 从而 2 24 21DO 因此 222 2424 216 2OEDEDO 4 函数 1 1 0 q xp qp qN ppf x xQ 则满足 0 1x 且 1 7 f x 的 x 的个数为 A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对 解答 满足 0 1x 且 1 7 f x 的 x 的个数为 11 分别为 1 2 1 3 2 3 1 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 1 6 5 6 5 若方程 2 310 xx 的根也是方程 42 0 xaxbxc 的根 则2abc 的值为 A 13 B 9 C 5 D 前三个答案都不对 解答 根据题意 有 2242 313xxxxcxaxbxc 于是10ac 33bc 从而213abc 6 已知1k 则等比数列 2 logak 4 logak 8 logak 的公比为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 前三个答案都不对 令 2 log kx 则ax 1 2 ax 1 3 ax 成等比数列 从而可得4xa 进而可 得公比为 1 3 7 210 coscoscos 111111 L 的值为 A 1 16 B 1 32 C 1 64 D 前三个答案都不对 解答 根据题意 有 2 10 coscoscos 111111 L A B C D E F O 2 4 5 8 3 6 7 9 10 coscoscoscoscoscoscoscoscoscos 11111111111111111111 2 2 4 8 16 1 coscoscoscoscos 11111111111024 8 设 a b c 为实数 a c0 方程 2 0axbxc 的两个虚根 1 x 2 x满足 1 2 x x 为实 数 则 2015 1 0 2 k k x x 等于 A 1 B 0 C 3i D 前三个答案都不对 解答 由于一元二次方程的虚数根必然共轭 因此可设 1 cossinxri 2 cossinxri 从而 2 1 2 cos3sin3 x ri x 为实数 进而可得 3 k kZ 于是 1 2 2 2 cos sin 33 xkk i x 进而 2016 1 2015 2 1 10 2 2 1 0 1 k k x xx x x x 9 将 12 个不同物体分成 3 堆 每堆 4 个 则不同的分法种类为 A 34650 B 59040 C 495 D 前三个答案都不对 解答 不同的分法数有 444 1284 3 3 5775 CCC A 10 设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点 D E 是线段 BC 上的点 F 是 CB 延长线的 点 已知 BF 4 BD 2 BE 5 BADACD BAFCAE 则 BC 的长为 A 11 B 12 C 13 D 前三个答案都不对 解答 如图 因为BAFCAE 于是 AE AF 因为BADACD 于是 AD BC 故 2 ADDE DFDB DC 解得 DC 9 从而 BC 11 11 两个圆内切于 K 大圆的弦 AB 与小圆切于 L 已知 AK BK 2 5 AL 10 则 BL 的长为 A 24 B 25 C 26 D 前三个答案都不对 解答 如图 设 BK 与小圆交于 M 链接 ML CD 为两圆在 K 处的公切线 由弦切角定理 得DKMBAKKLM 又KLAKML 于是可得 AKLBKL 因此由角平分线定理可得 AL BLAK BK 从而可得25BL 12 f x是定义在 R 上的函数 且对任意实数 x 均有 2 2 11f xf x 则 2f 等于 A 0 B 1 2 C 1 3 D 前三个答案都不对 解答 分别令0 1 1x 可得 2011 2101 2101 ff ff ff 解得 1 011 3 fff 再令2x 可得 2211ff 从而 1 2 3 f 13 从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法 数是 A 30 B 36 C 42 D 前三个答案都不对 A B C D K L M A B C D E F 解答 以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个 其中有一个是正三角形 因此所有的方法数为 1 9 3 930 3 14 已知正整数 a b c d 满足 ab cd 则abcd 有可能等于 A 101 B 301 C 401 D 前三个答案都不对 解答 考虑ama bpq cmp dnq 则 abcdmnpqmpnqmqnp 于是abcd 不是质数即可 如 30174316 142 于是取1 252 42 6abcd 即可得正确答案是 B 15 三个不同的实数 x y z 满足 323232 333xxyyzz 则xyz 等于 A 1 B 0 C 1 D 前三个答案都不对 解答 设 323232 333 xxyyzzm 则 x y z 是关于 t 的方程 32 3ttm 的三个实数根 其中 m 为常数 由韦达定理可知 3xyz 16 已知1abc 则414141abc 的最大值与最小值的乘积属于区间 A 10 11 B 11 12 C 12 13 D 前三个答案都不对 解答 设函数 41f xx 的图像 则其导函数 2 41 fx x 作出函数 f x的图像 函数 f x的图像在 1 3 x 处的切线 2 21121 733 yx 以及函数 f x的图像过 1 0 4 和 3 7 2 的割线 41 77 yx 如图 于是可得 412 21121 41 73377 xxx 左侧等号当 1 4 x 或 3 2 x 时取得 右侧等号当 1 3 x 时取得 因此原式的最大值 为21 当 1 3 abc 时取得 最小值为7 当 1 4 ab 3 2 c 时取得 从 而原式最大值与最小值的乘积为 7 3147144 169 17 在圆内接四边形 ABCD 中 BD 6 30ABDCBD 四边形 ABCD 的面积 等于 A 83 B 9 3 C 12 3 D 前三个答案都不对 解答 如图 连接 AC 根据题意 有 CD AD 且 AC 3AD 则由托勒密定理可得 AB CDAD BCAC BD 即 6 3ADABBCAD A B C D x y 7 1 4 3 2 41f xx O 于是6 3ABBC 进而 3 9 3 2 ABCDABDCBD SSSABBC VV 18 1 2 2016 L除以 100 所得余数为 A 3 B 13 C 27 D 前三个答案都不对 解答 由于当10n 且nN 时 100 n于是 1 2 2016 1 2 9 mod100 26242020402080 mod100 13 mod100 L L 19 方程组 23 234 345 xyz xyz xyz 的实数解组数为 A 5 B 6 C 7 D 前三个答案都不对 解答 顺次记方程组中的方程为 1 2 3 则 1 3 2 2可得 2 2 0 xyxy 从而0 x 或0y 或xy 情形一0 x 或0y 有此可得 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 x y z 情形二xy 或0 xy 由此可得 1 1 0 x y z 15 15 15 222 15 15 15 222 综上所述 原来方程有 7 组实数解 20 方程 3 3