总结数位DP算法.doc

数位dp是一种计数用的dp，一般就是要统计一个区间le,ri内满足一些条件数的个数。比如，1,10000 中统计不含有4的数 。所谓数位dp，字面意思就是在数位上进行dp咯。就是对数字每一位每一位递推此类题目最基本的暴力方法：1. for(inti=le;i=ri;i+)2. if(Check(i)ans+; 而数位DP就是从最低(高)位起，一位一位的放数字，然后记忆化一下，累加一下有两种方法，一是递推，二是记忆化搜索一，记忆化搜索：思路来自：数位dp总结 之 从入门到模板假设题目要求是不含有62的数状态定义：dpospre 表示当前枚举到pos位置，且pos+1位的数字是pre，此时满足题意的数字的个数(也即是pre=6时，pos该位置不能放2)还要个数组ai保存第i位的数字，如213，a0=3， 注意是从右往左数有个问题是枚举第pos位数时，此位置放数字的范围要判断一下，比如题目给出在1,894 枚举的时候要判断是否在894以内比如，213，第一位放了2，那么第二位就只能放01，所以模板中用了个limit判断pos前的几位数字是否与n一样，true的话只能枚举0apos，false就是09，不然比题目要求的213大了还有个问题是前导0的问题，假如枚举5位数，你放的时候前2位都是00，那数字不变成3位了嘛，所以需要个lead保存前几位是否都是0，当然这是看题意的，有时候题目不要求，可以直接省去好了，看模板：1. typedeflonglongll;2. inta20;3. lldp20state;/不同题目状态不同4. lldfs(intpos,/*state变量*/,boollead/*前导零*/,boollimit/*数位上界变量*/)/不是每个题都要判断前导零5. 6. /递归边界，既然是按位枚举，最低位是0，那么pos=-1说明这个数我枚举完了7. if(pos=-1)return1;/*这里一般返回1，表示你枚举的这个数是合法的，那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1*/8. /第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)9. if(!limit&!lead&dpposstate!=-1)returndpposstate;10. /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态是对应，具体为什么是有条件的记忆化后面会讲*/11. intup=limit?apos:9;/根据limit判断枚举的上界up;这个的例子前面用213讲过了12. llans=0;13. /开始计数14. for(inti=0;i=up;i+)/枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了15. 16. if().17. elseif().18. ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead&i=0,limit&i=apos)/最后两个变量传参都是这样写的19. /*这里还算比较灵活，不过做几个题就觉得这里也是套路了20. 大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论21. 去计算不同情况下的个数，还有要根据state变量来保证i的合法性，比如题目22. 要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类，23. 前一位如果是6那么这意味就不能是2，这里一定要保存枚举的这个数是合法*/24. 25. /计算完，记录状态26. if(!limit&!lead)dpposstate=ans;27. /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/28. returnans;29. 30. llsolve(llx)31. 32. intpos=0;33. while(x)/把数位都分解出来34. 35. apos+=x%10;/个人老是喜欢编号为0,pos),看不惯的就按自己习惯来，反正注意数位边界就行36. x/=10;37. 38. returndfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态*/,true,true);/刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛39. 40. intmain()41. 42. llle,ri;43. while(scanf(%lld%lld,&le,&ri)44. 45. /初始化dp数组为-1,这里还有更加优美的优化,后面讲46. printf(%lldn,solve(ri)-solve(le-1);47. 48. 注意：那个if(!limit & !lead & dpposstate!=-1) return dpposstate; limit 的数字必须要枚举，不能直接返回，每次都要算虽然这会导致重复，但这可以解决状态冲突，而且重复计算的数字也很少举例如下：题目：不能出现连续的11 (11、112、211都是不合法的)那么我们开始枚举：要枚举3位数，已经枚举了两位01_ ，要枚举最后一位，此时状态为d01 即：在枚举个位，且前一位为1，那么显然得出d01=9开始新的一轮枚举，枚举到11_ ，此时状态也是d01 因为已经有9这个值了，所以返回了，但很明显答案是0，是错的当然可以多开一维防止状态冲突可以看看数位DP模板题：HDU 2089 不要62 数位DP .二，递推方法思路来自：初探数位dp状态定义：dij 有i位数字，且第一位为j，在 0j-1 + 000.999的 符合题意的个数，如 d43 就是在 30003999 的符合题意的个数还要个数组ai保存第i位的数字，如213，a1=3， 注意是从右往左数 （下面是从1开始数起了）这样状态定义的能更加方便，可以预处理，因为当一个数字的第一位比题目要求的第一位小后，后面的几位能000.999. 如4269，如果第一位枚举 3 _ _ _ ，那么后三位可以任取模板如下： 1. for(inti=1;i=7;i+)/枚举位数2. 3. for(intj=0;j10;j+)/枚举第i位可能出现的数4. 5. for(intk=0;k10;k+)/枚举第i-1位可能出现的数6. 7. if(j!=4&!(j=6&k=2)/符合题意的条件8. dpij+=dpi-1k;9. 10. 11. 以HDU 2089 ，解释怎么算出答案 （不含4，62的数字） 1. #include2. #include3. #include4. #include5. usingnamespacestd;6. intd1010,digit10;7. /dij表示有i位数字，且第一位是j的数字的满足题意的数量8. voidinit()9. 10. d00=1;11. for(inti=1;i=7;i+)12. for(intj=0;j=9;j+)13. for(intk=0;k=1;i-)27. for(intj=0;jnm,n+m)41. coutsolve(m+1)-solve(n)endl;/由于要找n,m,而solve函数找的范围为n,所以传参的时候应该特别注意42. return0;43. 假设一个数3229得出00000999 的个数10001999的个数20002999的个数000099的个数100199的个数0099 的个数1019的个数08 的个数累加就是答案了所以该区间是0,n) 是取不到的n的，注意计算的时候要加一个1下面是一些题目：HDU 2089 不要62和4HDU 3555 含49的数HDU 3652 含13且可以被13整除codeforces 55d A 一个数字可以被它所有非零数整除的个数POJ 3252 Round NumbersHDU 4734 F(x)HDU 3709 Balanced NumberHYSBZ 1799 self 同类分布URAL 1057 Amount of Degrees *HDU 4507 吉哥系列故事恨7不成妻 *总结：可能要用到的数位DP的题目类型：11018，求某区间（很大），有特定要求的数字的个数如求mod，求和，可以整除各位数，不出现某些数.框架：int DFS(int pos,.) /DFS一位一位放数字，求出答案，函数的参数保存题