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第二章矩阵 2 2矩阵的运算 回主页面 第二节矩阵的运算 一 矩阵的线性运算二 矩阵的乘法运算三 矩阵的转置四 对乘矩阵和反对矩阵五 小结思考题 回章目录 一 线性运算 两个矩阵的行数和列数均相等时 称它们为同型 矩阵 定义3 如果两个矩阵是同型矩 阵 且各对应元素也相同 即 则称矩阵相等 记作 例如 为同型矩阵 定义4 两个矩阵的和 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行 注 加法运算 例如 矩阵的减法为 显然 矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算 矩阵的线性运算的运算规律 二 矩阵与矩阵相乘 与 一般地 有 是一个一阶方阵 即一个数 注意 2 A与B满足什么条件时能够相乘 例5 的乘积 解 例6 解 但是 这正是矩阵与数的不同 计算乘积 显然 这又是矩阵与数的不同 请记住 2 不满足消去律 1 矩阵乘法不满足交换律 3 有非零的零因子 n元线性方程组 例7 矩阵表示 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 定义为A的次幂 为正整数 易证 其中 为数 例8 求 解 三 矩阵的转置 定义 或 例如 转置矩阵的运算性质 一般地 应有 此二元素相等 故 元素的对应乘积之和 它也是 例9 已知 解法1 解法2 四 对称与反对称矩阵 定义 设为阶方阵 如果满足 即 则称为对称阵 例如 对称轴 为对称阵 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 例9 设列矩阵满足 证明 注意 是一阶方阵 也就是一个数 五 小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与反对称矩阵 前提条件 前提条件 与行列式的数乘运算区别 思考题 证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对 称阵之和 思考题解答 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 证毕 思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别 行列式行列数必相 同
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