数量关系与资料分析讲义.doc

公公务务员员之之路路 从从华华图图起起步步 2011 年年 公公务务员员录录用用考考试试 行测考前辅导内部资料行测考前辅导内部资料 班次 班次 班别 班别 科目科目 主讲 主讲 时间 时间 第 1 页 共 74 页 数字推理数字推理 3 第一章第一章 非整数数列非整数数列 3 第二章第二章 幂次数列幂次数列 5 第三章第三章 多级数列多级数列 7 第四章第四章 递推数列递推数列 10 一 和递推 11 二 倍数递推 11 三 积递推与方递推 12 四 隔项递推 12 第五章第五章 特殊数列特殊数列 13 一 经典组合 13 二 因式分解 14 三 数位组合 14 四 数图推理 15 数学运算数学运算 1 第一章第一章 解题思想解题思想 1 第一节 代入排除思想 1 第二节 数字特性思想 2 第三节 方程法思想 4 第二章第二章 计算问题模块计算问题模块 6 第三章第三章 初等数学模块初等数学模块 8 第一节 多位数问题 8 第二节 余数相关问题 9 第三节 等差数列 9 第四章第四章 比例问题模块比例问题模块 10 第一节 工程问题 10 第二节 浓度问题 11 第 2 页 共 74 页 第五章第五章 行程问题模块行程问题模块 12 第六章第六章 计数问题模块计数问题模块 14 第一节 容斥问题 14 第二节 排列组合问题 16 第三节 最值问题 17 第七章第七章 经济 利润模块经济 利润模块 18 第八章第八章 几何问题几何问题 19 第九章第九章 杂题模块杂题模块 21 第一节 时间问题 21 第二节 牛吃草 23 第三节 趣味问题 24 资料分析资料分析 25 第一章 试题概述 25 第二章 统计术语 25 第三章 结构阅读法 29 第四章 核心要点 34 第五章 速算技巧 44 真题演练 50 第 3 页 共 74 页 数字推理数字推理 第一章第一章 非整数数列非整数数列 多数分数 少数分数 整 化 分 当数列中含有少量整数 需要以 整化分 的方式将其形式统一 观察特征 各分数的分子与分母之间存在一个直观的简单规律 约 分 当分数的分子与分母含有相同因子时 将其化成最简式 广义通分 当分数的分子 分母 很容易化成一致时 将其化为相同数 有 理 化 当分数中含有根式时 对其进行分母 或分子 有理化 反 约 分 同时扩大数列中分数的分子与分母 分母有理化 利用平方差公式将分母当中的根号转移到分子当中来 例 1 21 1 43 分子有理化 利用平方差公式将分子当中的根号转移到分母当中来 反约分的题目在分式数列当中占有非常重要的地位 也是分式数列当中最具技巧的一类 反约分同时扩大的目标是试图将分子 分母 先化成简单数列 那分母 分子 的规律就 呈现出来了 例 0 7 3 22 5 45 7 76 9 A 12 B 13 C D 103 11 115 11 例 2 3 1 4 2 15 1 12 2 35 A 1 32 B 3 32 C 1 24 D 5 86 例 5 3 7 3 2 9 5 5 3 A 13 8 B 11 7 C 7 5 D 1 第 4 页 共 74 页 例 0 3 8 8 27 15 64 24 125 A 31 236 B 33 236 C 35 216 D 37 216 例 2 3 2 10 9 7 8 18 25 A 5 14 B 11 18 C 13 27 D 26 49 例 0 6 1 8 3 2 1 2 1 A B 12 5 12 7 C D 13 5 13 7 例 1 3 2 8 5 21 13 A B 33 21 64 35 C D 70 41 55 34 例 1 8 1 6 9 22 27 40 A 27 16 B 27 14 C 81 40 D 81 44 例 2 3 3 4 5 5 8 A B 612611 C D 712812 例 1 2 13 1 3 1 A B 2 4 15 C D 15 1 3 第 5 页 共 74 页 第二章第二章 幂次数列幂次数列 幂次数列是将数列当中的数写成幂次形式 即乘方形式 的数列 关键是牢记幂次数 列十条核心法则 幂次数列十条核心法则 一 30 以内数的平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 二 10 以内数的立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 三 2 3 4 5 6 的多次方 2 的 1 10 次幂 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3 的 1 6 次幂 3 9 27 81 243 729 4 的 1 5 次幂 4 16 64 256 1024 5 的 1 5 次幂 5 25 125 625 3125 6 的 1 4 次幂 6 36 216 1296 四 关于常数 0 和 1 00N 0 是 0 的任意自然数次方 0 的 0 次方没有意义 即此处 0N 02 11 1 NN a 0 a 1 是任意非零数的 0 次方 是 1 的任意次方 是 1 的任意偶次方 五 16 64 81 的多种分解方式 16 64 81 六 256 512 729 1024 的多种分解方式 256 512 729 1024 七 关于单位分数 分母是整数 分子是 1 的分数 1 1 a a 例如 0 a 1 1 5 5 1 1 7 7 13 1 273 27 八 关于其它普通非幂次数 第 6 页 共 74 页 a 例如 5 7 九 注意底数是负数的情况 如 32 49 81 十 平方数列与立方数列的加 1 减 1 加减 1 以及相关类似变形要特别引起重视 例 121 36 196 225 A 72B 125 C 144D 360 例 343 216 125 64 27 A 8 B 9 C 10 D 12 例 6 7 18 23 38 A 47 B 53 C 62 D 76 例 0 6 6 20 42 A 20 B 21 C 26 D 28 例 3 8 24 48 120 A 148 B 156 C 168 D 178 例 3 2 11 14 34 A 18B 21 C 24D 27 例 0 9 26 65 124 A 186 B 215 C 216 D 217 例 3 10 29 66 127 A 218 B 227 第 7 页 共 74 页 C 189 D 321 例 3 6 29 62 127 A 214 B 315 C 331 D 335 例 0 10 24 68 A 96 B 120 C 194 D 254 例 1 32 81 64 25 1 A 5 B 6 C 10 D 12 例 1 7 36 9 1 A 74 B 86 C 98 D 125 例 11 81 343 625 243 A 1000 B 125 C 3 D 1 第三章第三章 多级数列多级数列 核心提示 核心提示 多级数列主要是相邻两项两两做差的 做差多级数列 以及相邻两项两两做商的 做 商多级数列 做商数列的特点是 当数字之间倍数关系相对比较明显的时候 优先两两做 商 除此以外还有做积数列与做和数列的考法 例 1 2 4 11 16 A 10 B 9 C 8 D 7 例 0 4 16 40 80 第 8 页 共 74 页 A 160 B 128 C 136 D 140 例 1 9 35 91 189 A 301 B 321 C 341 D 361 例 5 12 21 34 53 80 A 115 B 117 C 119 D 121 例 3 8 9 0 25 72 A 147 B 144 C 132 D 124 例 8 4 4 20 A 60 B 52 C 48 D 36 例 8 6 2 6 A 8 B 10 C 20 D 22 例 5 6 9 45 A 15 B 16 C 17 D 18 例 1 4 11 30 85 A 248 B 250 C 256 D 260 例 7 7 9 17 43 A 117 B 119 C 121 D 123 例 11 13 16 21 28 A 37 B 39 C 41 D 47 例 12 16 22 30 39 49 第 9 页 共 74 页 A 61 B 62 C 64 D 65 例 1 2 6 15 40 104 A 273B 329 C 185D 225 例 8 15 39 65 94 128 170 A 180 B 210 C 225 D 256 例 27 7 1 3 5 13 A 33B 31 C 27D 25 例 243 217 206 197 171 151 A 160 B 158 C 162 D 156 例 1 10 7 10 19 A 16 B 20 C 22 D 28 例 82 98 102 118 62 138 A 68 B 76 C 78 D 82 例 1 3 0 6 10 9 A 13 B 14 C 15 D 17 例 3 15 75 375 A 1865B 1875 C 1885D 1895 例 2 8 32 512 A 64 B 128 C 216D 256 例 8 12 18 27 第 10 页 共 74 页 A 39B 37 C 40 5D 42 5 例 2 6 30 210 2310 A 30160 B 30030 C 40300 D 32160 例 1 2 3 6 9 18 A 24B 30 C 27D 36 例 6 1 2 2 3 3 8 8 15 A B 15 53 15 52 C D 15 49 15 48 第四章第四章 递推数列递推数列 递推数列 是指数列中从某一项开始 后面的每项都是通过它前面的项经过一定的运 算得到的数列 包括 六种 大趋势大趋势 大数 选项大数 选项 减减差 商差 商倍倍 积积方方和和 较快较快减减缓缓增增 倒倒 着着 看看 修正项修正项 前项相关数列前项相关数列 非常简单的数列非常简单的数列 第 11 页 共 74 页 一 一 和递推和递推 例 34 35 69 104 A 138 B 139 C 173 D 179 例 3 6 8 13 20 51 A 31 B 28 C 42 D 32 例 2 4 6 9 13 19 A 28 B 29 C 30 D 31 例 2 3 5 10 20 A 30 B 35 C 40 D 45 二 二 倍数递推倍数递推 例 118 60 32 20 A 10 B 16 C 18 D 20 例 4 23 68 101 A 128 B 119 C 74 75 D 70 25 例 1 2 8 28 100 A 196 B 248 C 324 D 356 例 1 6 20 56 144 A 384B 352 C 312D 256 例 22 36 40 56 68 第 12 页 共 74 页 A 84 B 86 C 90 D 92 三 三 积递推与方递推积递推与方递推 例 2 3 6 18 108 A 2160 B 1944 C 1080 D 216 例 3 7 16 107 A 1707 B 1704 C 1086 D 1072 例 2 2 3 4 9 32 A 129 B 215 C 257 D 283 例 2 3 7 46 A 2112 B 2100 C 64 D 58 例 2 3 7 45 2017 A 4068271 B 4068273 C 4068275 D 4068277 例 2 3 7 16 65 321 A 4542B 4544 C 4546D 4548 例 5 15 10 215 A 205B 115 C 225D 230 四 四 隔项递推隔项递推 例 2 7 14 21 294 A 28 B 35 第 13 页 共 74 页 C 273 D 315 例 77 49 28 16 12 2 A 10 B 20 C 36 D 45 例 12 4 8 32 24 768 A 432 B 516 C 744 D 1268 第五章第五章 特殊数列特殊数列 一 一 经典组合经典组合 例 0 3 2 5 4 7 A 6 B 7 C 8 D 9 例 1 2 7 13 49 24 343 A 35 B 69 C 114 D 238 例 3 3 4 5 7 7 11 9 A 13 11B 16 12 C 18 11D 17 13 例 5 24 6 20 4 40 3 A 28B 30 第 14 页 共 74 页 C 36D 42 例 1 2 2 6 3 15 3 21 4 A 46 B 20 C 12 D 44 二 二 因式分解因式分解 例 0 8 54 192 500 A 840 B 960 C 1080 D 1280 例 3 18 60 147 A 297 B 300 C 303 D 307 三 三 数位组合数位组合 例 1 01 1 02 2 03 3 05 5 08 A 8 13 B 8 013 C 7 12 D 7 012 例 232 364 4128 52416 A 64832 B 624382 C 723654D 87544 例 448 516 639 347 178 A 163B 134 C 785D 896 例 187 259 448 583 754 A 847 B 862 C 915 D 944 例 568 488 408 246 186 A 105 B 140 C 156 D 169 第 15 页 共 74 页 例 44 52 59 73 83 94 A 107 B 101 C 105 D 113 四 四 数图推理数图推理 例 A 12 B 14 C 16 D 20 例 A 11 B 2 C 4 D 5 例 A 35 B 40 C 45 D 55 第 16 页 共 74 页 第 1 页 共 74 页 数学运算数学运算 数学运算 每道题给出一道算术式子 或者表达数量关系的一段文字 要求应试者熟 练运用加 减 乘 除等基本运算法则 利用基本的数学知识 准确 迅速地计算出结果 第一章第一章 解题思想解题思想 第一节第一节 代入排除思想代入排除思想 代入排除法 作为数学运算的第一大思想 根源于试题的 客观单选 特性 做题是要结合选项 答案选项是题的有机组成部分 不能孤立的看题干而忽略了 选项 例 有一个两位数 如果把数码 1 加写在它的前面 那么可得到一个三位数 如果把 1 加写在它的后面 那么也可以得到一个三位数 而且这两个三位数相差 414 则 原来的两位数为 A 35 B 43 C 52 D 57 例 有粗细不同的两支蜡烛 细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的 2 倍 点完细蜡烛需要 1 小 时 点完粗蜡烛需要 2 小时 有一次停电 将这样两支蜡 烛同时点燃 来电时 发现两支蜡烛所剩长度一样 则此 次停电共停了多少分钟 A 10 分钟 B 20 分钟 C 40 分钟 D 60 分钟 例 牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧 有一个过路人牵着一只肥羊从后 面跟了上来 他对牧羊人说 你赶来的这群羊有 100 只吧 牧羊人答道 如 果这一群羊加上一倍 再加上原来这群羊的一半 又加上原来这群羊的 1 4 连 你牵着的这只肥羊也算进去 才刚好凑满 100 只 牧羊人的这群羊一共有 A 72 只 B 70 只 L 2L y 第 2 页 共 74 页 C 36 只 D 35 只 例 现有一种预防禽流感药物配置成的甲 乙两种不同浓度的消毒溶液 若从甲中取 2100 克 乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的浓度为 3 若从甲中取 900 克 乙中取 2700 克 则混合而成的消毒溶液的浓度为 5 则甲 乙两种消毒溶液的 浓度分别为 A 3 6 B 3 4 C 2 6 D 4 6 第二节第二节 数字特性思想数字特性思想 核心提示核心提示 数字特性思想是指不直接求得最终结果 而只需要考虑最终计算结果的某种 数字特 性 从而达到排除错误选项的方法 掌握数字特性思想的关键 是掌握一些最基本的数字 特性规律 下列规律仅限自然数内讨论 奇偶运算基本法则奇偶运算基本法则 基础 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数 推论 一 任意两个数的和如果是奇数 那么差也是奇数 如果和是偶数 那么差也是偶数 二 任意两个数的和或差是奇数 则两数奇偶相反 和或差是偶数 则两数奇偶相同 整除判定基本法则整除判定基本法则 2 4 8 整除及其余数判定法则 一个数能被 2 或者 5 整除 当且仅当末一位数字能被 2 或者 5 整除 一个数能被 4 或者 25 整除 当且仅当末两位数字能被 4 或者 25 整除 一个数能被 8 或者 125 整除 当且仅当末三位数字能被 8 或者 125 整除 一个数被 2 或者 5 除得的余数 就是其末一位被 2 或者 5 除得的余数 一个数被 4 或者 25 除得的余数 就是其末两位被 4 或者 25 除得的余数 一个数被 8 或者 125 除得的余数 就是其末三位被 8 或者 125 除得的余数 第 3 页 共 74 页 3 9 整除判定基本法则 一个数字能被 3 整除 当且仅当其各位数字之和能被 3 整除 一个数字能被 9 整除 当且仅当其各位数字之和能被 9 整除 一个数被 3 除得的余数 就是其个数数字之和被 3 除得的余数 一个数被 9 除得的余数 就是其个数数字之和被 9 除得的余数 11 整除判定法则 一个数是 11 的倍数 当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差为 11 的倍数 倍数关系核心判定特征倍数关系核心判定特征 如果 则 a 是 m 的倍数 b 是 n 的倍数 a bm nm n 互质 如果 则 a 是 m 的倍数 b 是 n 的倍数 m abm n n 互质 如果 则应该是 m n 的倍数 a bm nm n 互质ab 例 两个数的差是 2345 两数相除的商是 8 求这两个数之和 A 2353B 2896 C 3015D 3456 例 有甲 乙两个项目组 乙组任务临时加重时 从甲组抽调了甲组四分之一的组员 此后甲组任务也有所加重 于是又从乙组调回了重组后乙 组人数的十分之一 此时甲组与乙组人数相等 由此可以得出结论 A 甲组原有 16 人 乙组原有 11 人 B 甲 乙两组原组员人数之比为 16 11 C 甲组原有 11 人 乙组原有 16 人 D 甲 乙两组原组员人数之比为 11 16 例 一单位组织员工乘车去泰山 要求每辆车上的员工数相等 起初 每辆车 22 人 结 果有一人无法上车 如果开走一辆车 那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各辆 车上 已知每辆最多乘坐 32 人 请问单位有多少人去了泰山 A 269 B 352 C 478 D 529 例 农民张三为专心养猪 将自己养的猪交于李四合养 已知张三 李四共养猪 260 头 第 4 页 共 74 页 其中张三养的猪有 13 是黑毛猪 李四养的猪有 12 5 是黑毛猪 问李四养了多 少头非黑毛猪 A 125 头 B 130 头 C 140 头 D 150 头 例 某公司去年有员工 830 人 今年男员工人数比去年减少 6 女员工人数比去年增 加 5 员工总数比去年增加 3 人 问今年男员工有多少人 A 329 B 350 C 371 D 504 例 某城市共有 A B C D E 五个区 A 区人口是全市人口的 B 区人口是 A 区 5 17 人口的 C 区人口是 D 区和 E 区人口总数的 A 区比 C 区多 3 万人 全市共有 2 5 5 8 多少万人 A 20 4B 30 6 C 34 5D 44 2 第三节第三节 方程法思想方程法思想 核心提示核心提示 方程和方程组是解答数学运算中相当一部分题的最直接 最简单的方法 它可以解决诸 如盈亏问题 鸡兔同笼问题 以及比例问题 年龄问题 行程问题 经济利润问题等等 总 之 在复习备考过程中 方程法不容忽视 基本方法原则基本方法原则 一 设未知数的原则 1 以 便于理解 为第一准则 设出来的未知数要便于列方程 有时可设中间量为未知 数 2 在同等情况下 优先设求的量 3 有时可以设有意义的汉字 二 消未知数的原则 消去不用求的 保留要求的未知量 第 5 页 共 74 页 未知数系数倍数关系比较明显时 优先考虑 加减消元法 未知数系数代入关系比较明显的 优先考虑 代入消元法 例 某地劳动部门租用甲 乙两个教室开展农村实用人才培训 两教室均有 5 排座位 甲 教室每排可坐 10 人 乙教室每排可坐 9 人 两教室当月共举办该培训 27 次 每次 培 训均座无虚席 当月培训 1290 人次 问甲教室当月共举办了多少次这项培训 A 8 B 10 C 12 D 15 例 甲 乙 丙共同投资 甲的投资是乙 丙总数的 乙的投资是甲 丙总数的 4 1 4 1 假如甲 乙再各投入 20000 元 丙的投资还比乙多 4000 元 三人共投资了 元 钱 A 80000 B 70000 C 60000 D 50000 例 六年级三个班种了一片树 其中 86 棵不是一班种的 65 棵不是二班种的 61 棵不 是 三班种的 二班种了 棵 A 41 B 30 C 26 D 24 例 共有 20 个玩具交给小王手工制作完成 规定 制作的玩具每合格一个得 5 元 不合 格一个扣 2 元 未完成的不得不扣 最后小王共收 56 元 那么他制作的玩具中不合 格的共有 个 A 2 B 3 C 5 D 7 第二章第二章 计算问题模块计算问题模块 基本运算核心提示基本运算核心提示 1 将小数 带分数 统一化为 分数形式以简化计算 a b 第 6 页 共 74 页 2 计算当中能够消去或者凑整的项 尽量消去或者凑整之后再进行综合计算 3 常用的公式 平方差公式 22 ababab 完全平方公式 2 22 2abaabb 完全立方公式 3 3223 33abaa babb 立方和差公式 3322 ababaabb 幂次运算率 mnm n aaa n mmn aa m mm a bab 等差 等比数列求和公式 2 1 naa n q qa n 1 1 1 尾数法尾数法 例 41 2 8 1 11 9 25 537 0 19 A 527 8 B 536 3 C 537 5 D 539 6 例 123456788 123456790 123456789 123456789 A 1 B 0 C 1 D 2 例 2006 20072007 2007 20062006 A 10 B 0 C 100 D 1000 例 12007 32007 52007 72007 92007的值的个位数是 A 5 B 6 C 8 D 9 计算类计算类 核心提示 核心提示 a b nmnan b amam b amam b amm b 11 3 2 2 第 7 页 共 74 页 即 和 11 分子 小大差 例 计算 1995 19961996 1996 19951995 A 0 B 3982482020 C 3982482020 D 1 例 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 A B 2 1 3 1 C D 4 1 5 1 例 10099 1 54 1 43 1 32 1 A B 2 1 100 99 C D 100 49 100 51 例 的值是 42 1 56 1 72 1 90 1 110 1 A B 6 1 66 5 C D 85 7 128 11 第三章第三章 初等数学模块初等数学模块 第一节第一节 多位数问题多位数问题 基本知识点基本知识点 多位数问题是针对 一个数及其个位 十位 百位等位置上的数字 以及小数点后一 位 两位 三位等位置上的数字 的问题 掌握多位数问题首先要掌握多位数的基本概念 1 位数 1 9 共 个 2 位数 10 99 共 个 第 8 页 共 74 页 3 位数 100 999 共 个 4 位数 1000 9999 共 个 例 大 小两个数的差是 49 23 较小数的小数点向右移动一位就等于较大的数 则较小 的数为 A 4 923 B 5 23 C 5 47 D 6 27 例 有一个四位数 能被 72 整除 其千位与个位之和为 10 个位数是为质数的偶数 去掉千位与个位得到一个新数为质数 这个四位数是多少 A 8676 B 8712 C 9612 D 8532 例 编一本书的书页 用了 270 个数字 重复的也算 如 115 用了两个 1 和一个 5 共三 个数字 问这本书一共有多少页 A 117 B 126 C 127 D 189 第二节第二节 余数相关问题余数相关问题 例 一个小于 200 的数 它除以 11 余 8 除以 13 余 10 那么这个数是多少 A 118 B 140 余数问题核心基础公式余数问题核心基础公式 余数基本关系式 被除数 除数 商 余数 0 余数 除数 余数基本恒等式 被除数 除数 商 余数 第 9 页 共 74 页 C 153 D 162 例 两个整数相除 商是 5 余数是 11 被除数 除数 商及余数的和是 99 求被除数 是多少 D A 12 B 41 C 67 D 71 例 有一个数 除以 3 余数是 2 除以 4 余数是 1 问这个数除以 12 余数是几 A 4 B 5 C 6 D 7 例 一批武警战士平均分成若干小组执勤 如果每 4 人一组 恰好余 1 人 如果每 5 人 一组 恰好也余 1 人 如果每 6 人一组 恰好还是余 1 人 这批武警战士至少有 人 A 121 B 101 C 81 D 61 例 一个三位数除以 9 余 7 除以 5 余 2 除以 4 余 3 这样的三位数有几个 A A 5 B 6 C 7 D 8 第三节第三节 等差数列等差数列 求和公式 和 首项 末项 项数 平均数 项数 中位数 项数 1 2 项数公式 项数 末项 首项 公差 1 级差公式 第 N 项 第 M 项 N M 公差 例 1992 是 24 个连续偶数的和 这 24 个连续偶数中最小的一个是 A 58 B 60 C 82 D 106 例 一张考试卷共有 10 道题 后面的每一道题的分值都比其前面一道题多 2 分 如果这 张考卷的满分为 100 分 那么第八道题的分值应为多少 A 9 B 14 第 10 页 共 74 页 C 15 D 16 例 小华在练习自然数数数求和 从 1 开始 数着数着他发现自己重复数了一个数 在 这种情况下他将所数的全部数求平均 结果为 7 4 请问他重复数的那个数是 A 2 B 6 C 8 D 10 第四章第四章 比例问题模块比例问题模块 第一节第一节 工程问题工程问题 设设 1 1 思想思想 1 当题目中没有涉及某个具体量的大小 并且这个具体量的大小并不影响最终结果的 时候 我们运用设 1 思想 将这个量设为某一个利于计算的数值 从而简化计算 2 一般我们在工程问题 混合配比问题 流水行船问题 往返行程问题 几何问题 经济利润问题 和差倍比等问题中使用设 1 思想 例 打印一份稿件 小张 5 小时可以打完这份稿件的 1 3 小李 3 小时可以打完这份稿 件的 1 4 如果两人合打多少小时可以完成 A 6 B 20 3 C 7 D 22 3 例 一条隧道 甲单独挖要 20 天完成 乙单独挖要 10 天完成 如果甲先挖 1 天 然 后乙接甲挖 1 天 再由甲接乙挖 1 天 两人如此交替 共用多少天挖完 A A 14 B 16 C 15 D 13 例 一件工作甲先做 6 小时 乙接着做 12 小时可以完成 甲先做 8 小时 乙接着做 6 小时也可以完成 如果甲先做 3 小时后 再由乙接着做 还需要多少小时完成 A 16 B 18 C 21 D 24 第 11 页 共 74 页 例 甲 乙 丙三个工程队的效率比为 6 5 4 现将 A B 两项工作量相同的工程 交 给这三个工程队 甲队负责 A 工程 乙队负责 B 工程 丙队参与 A 工程若干天后 转而参与 B 工程 两项工程同时开工 耗时 16 天同时结束 问丙队在 A 工程中参 与施工多少天 A 6 B 7 C 8 D 9 例 同时打开游泳池的 A B 两个进水管 加满水需 1 小时 30 分钟 且 A 管比 B 管多 进水 180 立方米 若单独打开 A 管 加满水需 2 小时 40 分钟 则 B 管每分钟进水 多少立方米 A 6B 7 C 8D 9 第二节第二节 浓度问题浓度问题 例 当含盐 30 的 60 千克盐水蒸发为含盐 40 的盐水时 盐水重量为多少千克 A 45 B 50 C 55 D 60 例 有浓度为 4 的盐水若干克 蒸发了一些水分后浓度变成 10 再加入 300 克 4 的盐水后 变为浓度 6 4 的盐水 则最初的盐水是 A 200 克 B 300 克 C 400 克 D 500 克 例 一杯糖水 第一次加入一定量的水后 糖水的含糖百分比为 15 第二次又加入 同样多的水 糖水的含糖量百分比为 12 第三次加入同样多的水 糖水的含 糖量百分比将变为多少 A 8 B 9 C 10 D 11 核心提示 核心提示 溶液 溶质 溶剂 溶质溶质 浓度 溶液溶质 溶剂 第 12 页 共 74 页 例 从装满 1000 克浓度为 50 的酒精瓶中倒出 200 克酒精 再倒入蒸馏水将瓶加满 这样反复三次后 瓶中的酒精浓度是多少 A 22 5 B 24 4 C 25 6 D 27 5 例 两个相同的瓶子装满某种化学溶液 一个瓶子中溶质与水的体积比是 3 1 另一 个瓶子中溶质与水的体积比是 4 1 若把两瓶化学溶液混合 则混合后的溶质 和水的体积之比是 A 31 9 B 7 2 C 31 40 D 20 11 第五章 行程问题模块 速度公式速度公式 S V tS V t 例 一架飞机所带燃料 最多可用 6 小时 出发时顺风 每小时飞 1500 千米 飞回时逆 风 每小时飞 1200 千米 此飞机最多飞出多少小时就需往回飞 A 8 3 B 11 3 C 3 D 5 3 例 某铁路桥长 1000 米 一列火车从桥上通过 测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒 整列火车完全在桥上的时间 80 秒 则火车速度是 A 10 米 秒 B 10 7 米 秒 C 12 5 米 秒 D 500 米 分 等距离平均速度公式 等距离平均速度公式 1 2 12 2v v v vv 例 一个人骑自行车过桥 上桥的速度为每小时 12 公里 下桥的速度为每小时 24 公里 上下桥所经过的路程相等 中间没有停顿 问此人过桥的平均速度是多少 A 14 公里 小时 B 16 公里 小时 C 18 公里 小时 D 20 公里 小时 例 A B 两山村之间的路不是上坡就是下坡 相距 60 千米 邮递员骑车从 A 村到 B 村 用了 3 5 小时 再沿原路返回 用了 4 5 小时 已知上坡时邮递员车速是 12 千米 第 13 页 共 74 页 小时 则下坡时邮递员的车速是 A 10 千米 小时 B 12 千米 小时 C 14 千米 小时 D 20 千米 小时 相遇 追及问题相遇 追及问题 1 相遇 背离 距离 大速度 小速度 相遇 背离 时间 2 追及距离 大速度 小速度 时间 例 甲乙两人在一条椭圆型田径跑道上练习快跑和慢跑 甲的速度为 3M S 乙的速度为 7M S 他们在同一点同向跑步 经过 100S 第一次相遇 若他们反向跑 多少秒 后第一次相遇 A 30 B 40 C 50 D 70 例 有甲 乙 丙三人 甲每小时走 80 公里 乙每小时走 70 公里 丙每小时走 60 公里 现在甲从 A 处出发 乙 丙两人从 B 处同时出发相向而行 在途中甲与乙相遇 15 分钟后 甲又与丙相遇 求 AB 两地的距离 A 315 公里 B 525 公里 C 465 公里 D 455 公里 例 甲 乙两人在长 30 米的泳池内游泳 甲每分钟游 37 5 米 乙每分钟游 52 5 米 两 人同时分别从泳池的两端出发 触壁后原路返回 如是往返 如果不计转向的时间 则从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次 A 2 B 3 C 4 D 5 流水行船问题 队伍行进问题 电梯运动问题 流水行船问题 队伍行进问题 电梯运动问题 顺流路程 顺流速度 顺流时间 船速 水速 顺流时间 逆流路程 逆流速度 逆流时间 船速 水速 逆流时间 例 一条船从甲地到乙地要航行 4 小时 从乙地到甲地要航行 5 小时 假定船自身的速 第 14 页 共 74 页 CB A 度保持不变 今有一木筏从甲地漂流到乙地所需小时为 A 12 B 40 C 32 D 30 例 甲 乙两港相距 720 千米 轮船往返两港需要 35 小时 逆流航行比顺流航行多花 5 小时 帆船在静水中每小时行驶 24 千米 问帆船往返两港要多少小时 A 58 小时 B 60 小时 C 64 小时 D 66 小时 第六章第六章 计数问题模块计数问题模块 第一节第一节 容斥问题容斥问题 1 1 两集合标准型核心公式 两集合标准型核心公式 的个数 的个数 的个数 2 2 三集合标准型核心公式 三集合标准型核心公式 ABCABCABBCACABC 3 3 三集合图示标数型 三集合图示标数型 a 特别注意 满足某条件 和 只满足某条件 的区别 b 特别注意有没有 三个条件都不满足的情形 c 标数时 注意从中间向外标记 4 4 三集合整体重复型核心公式 三集合整体重复型核心公式 在三集合题型中 假设满足三个条件的元素数量分别时 A B 和 C 而至少满足三 个条件之一的元素的总量为 W 其中 满足一个条件的元素数量为 x 满足两个条件 的元素数量为 y 满足三个条件的元素数量为 z 根据 右图可以得到下满两个等式 W x y z A B C x 1 y 2 z 3 例 某单位有 60 名运动员参加运动会开幕式 他们着装白色或黑色上衣 黑色或蓝色裤 第 15 页 共 74 页 子 其中有 12 人穿白上衣蓝裤子 有 34 人穿黑裤子 29 人穿黑上衣 那么穿黑 上衣黑裤子的有多少人 A 12 B 14 C 15 D 19 例 某单位对 60 名工作人员进行行政许可法测验 在第一次测验中有 27 人得满分 在 第二次测验中有 32 人得满分 如果两次测验中都没有得满分的有 17 人 那么两 次测验中都获得满分的人数是 A 12 人 B 13 人 C 16 人 D 20 人 例 某服装厂生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半 其中 25 是白色的 75 是 蓝色的 如果这批衬衫总共有 100 件 其中大号白衬衫有 10 件 问小号蓝衬衫有 多少件 D A 15B 25 C 35D 40 例 对 39 种食物中是否含有甲 乙 并三种维生素进行调查 结果如下 含甲的有 17 种 含乙的有 18 种 含丙的含有 15 种 含甲 乙的有 7 种 含甲 丙的有 6 种 含乙 丙的有 9 种 三种维生素都不含的有 7 种 则三种维生素都含的有多少种 A 4 B 6 C 7 D 9 例 三个图形共覆盖的面积为 290 其中 X Y Z 的面积分别为 64 180 160 X 与 Y Y 与 Z Z 与 X 的重叠面积分别为 24 70 36 求阴影部分面积为 B Y X Z A 12 B 16 C 18 D 20 第 16 页 共 74 页 例 某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检 其中有 8 种产品的低温柔度不合格 10 种产品的可溶物含量不达标 9 种产品的接缝剪切性能不合格 同时两项不合格 的 有 7 种 有 1 种产品这三项都不合格 则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少 种 A 37B 36 C 35D 34 第二节第二节 排列组合问题排列组合问题 基本概念基本概念 加法原理 分类用加法 乘法原理 分步用乘法 排列 与顺序有关 组合 与顺序无关 基本公式基本公式 排列公式 排列公式 1 2 1 mm nn n APn nnnm nm 组合公式 组合公式 1 2 1 1 2 2 1 mn m nn nn nnnm CC nm mm mm 逆向公式 逆向公式 满足条件的情况数 总情况数 不满足条件的情况数 捆绑插空法捆绑插空法 核心提示核心提示 1 相邻问题 捆绑法 先将相邻元素全排列 然后视为一个整体与剩余元素全排列 2 不相邻问题 插空法 先将剩余元素全排列 然后将不相邻元素有序插入所有间隙种 例 要求厨师从 12 种主料中挑选出 2 种 从 13 种配料中挑选出 3 种来烹饪某道菜肴 烹饪的方式共有 7 种 那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴 A 130468 B 131204 C 132132 D 133456 第 17 页 共 74 页 例 某铁路线上有 25 个大小车站 那么应该为这条路线准备 种不同的车票 A 625 B 600 C 300 D 450 例 要从三男两女中安排两人周日值班 至少有一名女职员参加 有 种不同的安 排方法 A 7 B 10 C 14 D 20 例 一张节目表上原有 3 个节目 如果保持这三个节目的相对顺序不变 再添加 2 个新 节目 有多少种安排方法 A A 20B 12 C 6D 4 例 有 3 个企业共订阅 300 份 经济周刊 杂志 每个企业最少订 99 份 最多订 101 份 问一共有多少种不同的订法 A 6 B 7 C 8 D 9 例 16 支球队分两组 每组打单循环赛 共需打 场比赛 A 16 B 56 C 64 D 100 第三节第三节 最值问题最值问题 例 在一个口袋里有 10 个黑球 6 个白球 4 个红球 至少取出几个球才能保证其中有 白球 B A 14 B 15 C 17D 1849 例 一副完整的扑克牌 要选多少张才能保证五张花色相同 A 17 B 18 C 19 D 20 例 将 104 张桌子分别放到 14 个办公室 每个人办公室至少放一张桌子 不管怎样分至 少有几个办公室的桌子数是一样多 第 18 页 共 74 页 A 2 B 3 C 7 D 无法确定 例 某社团共有 46 人 其中 35 人爱好戏剧 30 人爱好体育 38 人爱好写作 40 人爱 好收藏 这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢 A A 5B 6 C 7D 8 例 有关部门要连续审核 30 个科研课题方案 如果要求每天安排审核的课题个数互不相 等且不为零 则审核完这些课题最多需要 A 7 天B 8 天 C 9 天D 10 天 第七章第七章 经济 利润模块经济 利润模块 基本知识点基本知识点 一 总售价 单价 销售量 总利润 单件利润 销售量 二 总利润 总售价 总成本 单件利润 单价 单件成本 三 利润率 成本 利润 成本 成本售价 1 成本 售价 售价 成本 1 利润率 成本 利润率 售价 1 四 二折 即现价为原价的 20 九折 即现价为原价的 90 例 某商品进价 240 元 8 折销售后还可获利 40 元 则原销售价比进价提高了 A 17 B 45 83 C 60 D 145 83 例 一商品的进价比上月低了 5 但超市仍按上月售价销售 其利润率提高了 6 个百 分点 则超市上月销售该商品的利润率为 A 12 B 13 C 14 D 15 例 受原材料价格涨价影响 某产品的总成本比之前上涨了 而原材料成本在总成本 1 15 中的比重提高了 2 5 个百分点 问原材料的价格上涨了多少 第 19 页 共 74 页 A B 1 9 1 10 C D 1 11 1 12 例 某超市购进一批商品 按照能获得 50 的利润定价 结果只销售了 70 为尽快将 余下的商品销售出去 超市决定打折出售 这样所获得的全部利润是原来能获得 利润的 82 问余下的商品几折出售 A 6 5 折 B 7 折 C 7 5 折 D 8 折 例 某市为合理用电 鼓励各用户安装 峰谷 电表 市原电价每度 0 53 元 改新表后 每晚 10 点至次日早 8 点为 低谷 每度 0 28 元其余时间为高峰每度 0 56 元 为 改装新电表每个用户须收取 100 元改装费 假定某用户每月用 200 度电 两个不 同时段耗电量各为 100 度 那么改装电表 12 个月后 该用户可节约 元 A 161 B 162 C 163 D 164 第八章第八章 几何问题几何问题 n n 边形的内角和与外角和边形的内角和与外角和 内角和 n 2 180o 外角和恒等于 360 o 常用周长公式常用周长公式 正方形周长 长方形周长 圆形周长4Ca 正方形 2 Cab 长方形 2CR 圆 常用面积公式常用面积公式 正方形面积 长方形面积 圆形面积 2 Sa A Sab A 2 O SR 三角形面积 平行四边形面积 1 2 Sah Sah A 梯形面积 扇形面积 1 2 Sab h 梯形 2 360 n SR 扇形 常用表面积公式常用表面积公式 正方体的表面积 长方体的表面积 2 6a 222abbcac 第 20 页 共 74 页 球的表面积 圆柱的表面积 侧面积 22 4 RD 2 22RhR 2 Rh 常用体积公式常用体积公式 正方体的体积 长方体的体积 球的体积 3 a abc 33 41 36 RD 圆柱的体积 圆锥的体积 2 R h 2 1 3 R h 常用不规则图形周长 面积 表面积 体积求法 常用不规则图形周长 面积 表面积 体积求法 与与 几何特性几何特性 若将一个图形尺度扩大倍 则 对应角度不变 对应周长变为原来的倍 NN 面积变为原来的倍 体积变为原来的倍 2 N 3 N 几何最值理论 1 平面图形中 若周长一定 越接近于圆 面积越大 2 平面图形中 若面积一定 越接近于圆 周长越小 3 立体图形中 若表面积一定 越接近于球 体积越大 4 立体图形中 若体积一定 越接近于球 表面积越小 例 将半径分别为 4 厘米和 3 厘米的两个半圆如图放置 则阴影部分的周长是 A 21 98 厘米 B 27 98 厘米 C 25 98 厘米 D 31 98 厘米 例 有甲 乙两只圆柱形玻璃杯 内径依次为 10cm 和 20cm 杯中都装满了水 甲杯中 之前放有一铁块 当取出此铁块时 甲杯中的水位下降了 2cm 然后将此铁块放 入乙杯中 则此时乙杯的水位上升了 cm A 4 B 1 C 0 5 D 0 例 半径为 5 厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域 其中 AB 弧与 AD 弧为四分之一 圆弧 而 BCD 弧是一个半圆弧 则此区域的面积是多少平方厘米 C 第 21 页 共 74 页 A 25B 5 C 50D 50 5 例 矩形的一边增加了 10 与它相邻的一边减少了 10 那么矩形的面积 A 增加 10 B 减少 10 C 不变 D 减少 1 例 一个等腰三角形 两边长分别为 5cm 2cm 则周长为多少厘米 A 12 B 9 C 12 或者 9 D 无法确定 例 相同表面积的四面体 六面体 正十二面体及正二十面体 其中体积最大的是 D A 四面体 B 六面体 C 正十二面体 D 正二十面体 第九章第九章 杂题模块杂题模块 第一节第一节 时间问题时间问题 基本知识点基本知识点 年 月问题年 月问题 平年与闰年平年与闰