高等数学教案--常微分方程.doc

高等数学教案常微分方程课 时 授 课 计 划第一课时教学过程及授课内容教学过程一、 微分方程的基本概念微分方程:凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数.线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程微分方程的解:如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.初始条件与特解:用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解线性相关与线性无关:设是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数，使得对于区间内的任一，恒有成立，则称函数在区间内线性相关，否则称为线性无关显然，函数线性相关的充分必要条件是在区间内恒为常数.如果不恒为常数，则在区间内线性无关.独立的任意常数: 在表达式 (,为任意常数) 中, ,为独立的任意常数的充分要必要条件为,线性无关.二、微分方程的基本概念定义 形如 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是的函数，另一个仅是的函数，即分别是变量的已知连续函数.求解方法 可分离变量的微分方程的求解方法,一般有如下两步:第一步:分离变量 ，第二步:两边积分 第三步:计算上述不定积分，得通解.例2 求的通解解 方程变形为 分离变量得 ,两边积分得 求积分得 所以 ,即 ,方程通解为（ 为任意常数）.例3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶时的速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为时伞所受空气阻力为 （负号表示阻力与运动方向相反，为常数）另外，伞在下降过程中还受重力作用，故由牛顿第二定律得且有初始条件：于是，所给问题归结为求解初值问题 对上述方程分离变量得 ,两边积分得 可得 整理得 由初始条件得，即，故所求特解为 由此可见，随着 的增大，速度 变大且趋于常数 ，但不会超过，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动第二课时教学过程一、 一阶线性微分方程定义：形如的方程,称为一阶线性方程,其中为已知函数.当时,有 称其为齐次线性方程；当时,称为非齐次线性方程.一阶线性微分方程的解法（1）先求齐次线性方程的解，分离变量得 两边积分得即（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解 令为非齐次线性方程的解,代入得，即.将代入得通解为 上式称为一阶线性非齐次程的通解公式。上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数)即可.（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出,并写出非齐次线性方程的通解.例1求方程的通解.解 原方程变形为 (1)此方程为一阶线性非齐次方程.首先对(1)式所对应的齐次方程求解 (2)方程(2)分离变量得 两边积分得 ,即 所以,齐次方程（2）的通解为 (3)将通解中的任意常数 换成待定函数,即令为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得.于是,所以 将所求的的代入式(3),得原方程的通解为 .二、可降阶的高阶微分方程 1.型的微分方程方程解法：通过n次积分就可得到方程的通解例3 求方程的通解解: 因为,所以 ,2.型的微分方程 .方程的特点：方程右端不显含未知函数 .方程的解法：令,则代入方程得.这是一个关于自变量x和未知函数的一阶微分方程,若可以求出其通解,则再积分一次就能得原方程的通解.例4 求方程的通解.解 因为方程不显含未知函数y,所以令,则，将其代入所给方程,得 分离变量得 两边积分，得.即 ,也即 .所以 为所求方程的通解.3.型的微分方程方程的特点：右端不显含自变量.方程的解法：求解这类方程可令则,于是,方程可化为 .这是关于和的一阶微分方程,如能求出其解,则可由求出原方程的解第三课时教学过程一、 二阶常系数线性微分方程解的性质定义1 形如 的方程（其中为常数）,称为二阶常系数齐次线性微分方程.定理1（齐次线性方程解的叠加原理） 若是齐次线性方程的两个解,则也是的解,且当与线性无关时,就是方程的通解.证 将直接代入方程的左端,得 所以是方程的解由于与线性无关,所以,任意常数 和是两个独立的任意常数,即解 中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,则它是方程的通解,证毕.定义2 形如 的方程 （其中,为常数）, 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 称 为方程所对应的齐次方程.定理2 （非齐次线性方程解的结构）若为非齐次线性方程的某个特解,为齐次线性方程的通解,则 为非齐次线性方程之通解. 证 将代入方程的左端有 这就是说,确为方程的解又因为中含有两个独立的任意常数,所以中也含有两个独立的任意常数,故为方程的通解.二、 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即可.令=为方程的解,并代入方程得因为,所以有 该方程称为微分方程的特征方程,称方程的根为特征根.(1)当特征方程有两个不同的实根 和时,则方程有两个线性无关的解 , 此时,方程有通解 .(2)当特征方程有两个相同的实根时,即 ,方程只有一个解 ,这时直接验证可知 是方程的另一个解,且 与 线性无关,所以,此时有通解 . （3）当特征方程有一对共轭复根时,即（其中均为实常数且）,此时方有两个线性无关的解和,故方程的通解为 利用欧拉公式 ,还可得到实数形式的通解 .其中通常情况下,要求写出实数形式的解. 根据如上讨论,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：第一步,写出微分方程的特征方程；第二步,求出特征根；第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解.特征方程的解 通解形式 两个不等实根 两个相等实根 一对共轭复根 例1 求方程的通解解 方程的特征方程为 ,其特征根为 ,所以 为任意常数）为所给微分方程的通解.例2 求方程的通解 .解 方程的的特征方程为 ,其特征根（二重特征根）,故所求通解为 .例3 求方程满足初始条件的特解 .解 的特征方程为,所以,特征根.所以,所给微分方程的通解为,由初始条件,得，又因为,由得,从而得.于是为所求.第四课时教学过程三、 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法由非齐次线性方程解的结构定理可知,求非齐次方程的通解,可先求出其对应的齐次方程的通解,再设法求出非齐次线性方程的某个特解,二者之和就是方程之通解.阶二常系数非齐次线性微分方程特解确定1.若，其中 为常数, 为x的m次多项式,即,则方程为 设方程有形如的解,其中是一个待定多项式.为使 满足方程,将代入方程,整理得上式右端是一个次多项式,所以,左端也应该是次多项式,由于多项式每求一次导数,就要降低一次次数,故有三种情形：(1)当时,即 不是特征方程的根时,式左边与 次多项式的次数相同,所以, 为一个 次待定多项式,可设 其中为个待定系数,将式代入式,比较等式两边同次幂的系数,就可得到为未知数的个线性方程的联立方程组,从而求出,即确定 于是可得方程的一个特解为(2)当,但时,即 为特征方程的单根,那么式成为,由此可见, 与同次幂,故应设 ,其中为次待定多项式,同样将它代入式即 可求得的个系数,从而得到方程的一个特解.(3)当且时,即 是特征方程 的特征重根时,式变为,此时应设 (3)当且时,即 是特征方程 的特征重根时,式变为,此时应设 将它代入方程,便可确定的系数,即可得方程的一个特解为 综上所述,我们有如下结论二阶常系数非齐次线性微分方程 具有特解形如 其中为次多项式,它的个系数可由式中的代入式而得,式中的确定如下： 2. 或,其中为实数, 为 次多项式此时方程变为 或 此时,我们可先令仍用1中所述方法确定方程 的解,则式的解可写成的形式,且可证: 的实部 即为方程的解; 的虚部 即为方程的解.例1 求方程的一个特解.解：由于方程的非齐次项（也叫自由项）中的不是特征方程的根,故可令将代入式(6)（不是将 直接代入原方程）,即有 ,比较系数得 ，解之得 ,因此,为所求特解.例2 求方程的一个特解.解 因为方程的自由项中的恰是特征方程的一个根,故可设一个特解为 ,直接将代入所给方程,得 ,即 ,比较系数得 解之得 因此,为所求方程的特解.例3 求方程的通解.解 方程 (1)所对应的齐次方程为 (2)特征方程为 ，特征根为 故齐次方程（2）的通解为 又因为非齐次方程（1）的自由项中的恰是二重特征根,故可令为方程（1）的一个特解,将代入式,得 , 即 .于是为方程（1）的一个特解. 因此,为所给方程之通解.例4 求方程的一个特解.解 由于方程 (1)的自由项为的实部,所以先解如下辅助方程的 (2)因为不是特征方程的根,所以可设为式（2）的一个解,将代入式得 ，即 ,也即 所以方程（2）的特解 因此,它的实部就是所给方程的一个特解.第五课时教学过程一、 本章提要1 基本概念 微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根2 基本公式一阶线性微分方程 的通解公式:3 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法4 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构 二、要点解析 问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法每一种方法一般只适用于某类方程在本章我们只学习了常微分方程的几种常用方法因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解例1 求微分方程 的通解解一 因为 所对应的特征方程为，特征根，所以（C为任意常数）为所求通解解二因为 ，所以 ，分离变量 ，两边积分 ， ， ， ， 所以 （C为任意常数）请思考为什么所求通解 中的任意常数C可以为零，如何解释 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型微分方程这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量如在几何中曲线切线的斜率 （纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 ，加速度 ，角速度 ，电流 等例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t的函数关系解 设t时刻镭的现存量，由题意知： ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程 ， 其中为比例系数式中出现负号是因为在衰变过程中M逐渐减小， 将方程分离变量得，再由初始条件得， 所以 ， 至于参数k，可用另一附加条件 求出，即，解之得，所以镭的衰变中，现存量M与时间t的关系为三、例题精解例3 求满足初始条件 的特解解一 令，则将其代入原方程得 ，分离变量 ，两边积分 ， ， ， 因为，所以，可得C2=0故，即 这里 应舍去，因为此时 与y 异号，不能够满足初始条件将 分离变量便得其解y=再由，得，于是所求解为 上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到解二 因为，所以，特征方程 ，特征根 ，于是其通解为 ，由初始条件可得C1=0 ，C2=1 ，所求特解为 例4 求方程的通解解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ，特征方程为 ，特征根，齐次方程的通解为 ，由于方程，(其中) 恰是特征单根，故设特解为 ，代入原方程，可得 所以 ，于是所求通解为 上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 中的非齐次项，