经典线性代数问题-无答案.doc

第一章 多项式1.(P16)证明：当时，多项式整除多项式；当时，多项式整除多项式.这里是使的整数，而是实数.2. (P16)求最低次数的多项式与，使得 （1）； （2）3. (P16)求次数最低的多项式，使得被多项式除时余式为，被多项式除时余式为.4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积： （1）； （2）； （3）.5. (P22)证明：复系数多项式对所有的实数恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式，没有实数根，使得.6. (P22)证明：实系数多项式对所有实数恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式和，使得.7.(P26)设是整系数多项式，且素数满足：，而，证明：具有次数的整系数不可约因式.8. (P26)设是整系数多项式，且素数满足：，但.证明：在上不可约.9. (P26)设是个不同的整数.证明：多项式 在上不可约.第二章 行列式10.(P54)计算下列行列式：（1） （2）11. (P54)设是上元函数.如果对任意整数，均有， 则称为对称的.数域上规范对称重线性函数称为阶积和式(Permanent)，记为.记，并记阶方阵为则阶积和式也记为.证明： .12. (P66)给定阶方阵.证明： ， 其中是行列式中元素的代数余子式，.13. (P84)计算下列阶行列式： （1） ； (2)； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）； （10）计算阶行列式 ，其余未写出的元素都是零.14.(P86)设是正整数.证明：行列式 能被整除.15.(P86)(Burnside)设阶方阵满足，则方阵称为斜对称方阵.把看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.16.(P86)(Minkowski)设阶方阵的元素都是实的，并且.证明： 17.(P86)(Levy-Desplanques)设阶方阵的元素都是复数，并且，则方阵称为主角占优矩阵.证明：主角占优矩阵的行列式不为零.18.(P87)把阶行列式展成的多项式，并用行列式的子式表示它的关于的各次幂的系数，其中.提示：第三章 矩阵19.(P104)计算下列行列式： （1），其中幂等和 （2）20.(P106)当时，矩阵的子式称为矩阵的一个阶主子式，.设.证明：矩阵的每一个主子式都是非负实数.21.(P106)设，其中是矩阵的前列构成的子矩阵.证明： .22.(P113)系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵.行列式等于的整系数矩阵称为幺模矩阵.证明：整系数矩阵的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是为幺模矩阵.23.(P113)设是阶方阵的行列式的元素的代数余子式.证明： 其中.24.(P114)设，且.证明：.25.(P123)设.证明：.26.(P124)设，从矩阵中任意取出个行构成矩阵.证明：.27.(P124)设，从矩阵中任意取出个行，个列上的交叉元素构成的矩阵记为.证明：.28.(P134)设和都是阶方阵，并且.证明： .29. (P134)设和都是阶方阵，.证明：存在正整数，使得 .30. (P134)设.证明：的充分必要条件是，存在，使得.由此证明：如果且方阵幂等，则方阵也幂等.31.(P134)证明：存在阶可逆的整系数矩阵，使得它的第一行为整数的充分必要条件是，整数互素.32.(P151)证明：存在矩阵和矩阵的广义逆和，使得 .第四章 线性空间33.(P164)设个行向量满足. 证明：向量线性无关.34.(P186)设都是阶方阵，并且. 证明： .第五章 线性变换35.(P205)设是线性映射，并且对任意.证明：，其中.36.(P219)设是数域上维线性空间到自身的线性映射，且. 证明：.37.(P219)设是数域上维线性空间到自身的所有线性映射构成的线性空间，且.定义线性映射如下：设，令.求与.38.(P219)设.证明：的充分必要条件是，存在数域上阶与阶可逆方阵与使得 。其中，且.39.(P223)设是线性变换，且是正整数.证明：的充分必要条件是.40.(P224)设满足.证明：方阵相似于.41.(P224)证明：秩为的幂等方阵(即)相似于.42.(P229)设是线性变换，中向量生成的子空间是的不变子空间，且，证明：是的基.43.(P239)设与为阶复方阵.则关于未知方程只有零解的充分必要条件是，方阵与没有公共特征值.44.(P239) 设与为阶方阵.定义映射如下：设，则令.显然是道自身的线性变换.证明线性变换可逆的充分必要条件是方阵与没有公共特征值.45.(P240)设阶方阵为 .当满足什么条件时方阵可逆，并当可逆时，求逆方阵.46.(P247)由于方阵的是方阵在相似下的不变量，因此定义线性变换在的某组基下的方阵的为线性变换的.证明：如果复线性空间的线性变换满足，则存在的一组基，使得线性变换在这组基下的方阵的主对角元都是零.47.(P248)设3阶实方阵在实数域上不相似于上三角方阵，即不存在3阶可逆实方阵，使得是上三角方阵.证明：方阵在复数域上相似于对角方阵.48.(P248)取定n阶复方阵，定义线性变换与如下： 如果方阵可以对角化，问线性变换和是否也可以对角化？49.(P248)设n维复线性空间与可交换.证明：线性变换与具有公共特征向量.进而证明：设是下标集合，的线性变换集合中任意两个线性变换与可交换，则线性变换具有公共特征向量.50.(P248)设n阶复方阵与可交换.证明：存在n阶可逆方阵，使得与都是上三角方阵，即方阵与可以同时相似于上三角.试推广到任意多个两两可交换的方阵的情形. 51.(P254)证明：酉方阵的任意一个子方阵的特征值的模不大于1.52.(P254)设与是n阶实正交方阵，且.证明：.53.(P254)设是n阶实方阵，且方阵的最大与最小特征值分别为.证明：方阵的特征值的实部满足.54.(P254)设是n阶复方阵，且.证明： .第六章 Jordan标准形55.(P259)设与是3阶复方阵，且它们具有相同的特征多项式和最小多项式，则与相似.56.(P259)(Fitting)设是数域上的n维线性空间的线性变换.证明：存在线性变换的不变子空间和，使得，并且线性变换在上的限制是可逆的，而在上的限制是幂零的.57.(P269)证明:如果数域F上n维线性空间的线性变换的二次幂为循环变换，则本身也是循环变换.反之是否成立？58.(P269)设数域F上n维线性空间的线性变换可对角化.证明： (1)如果是循环变换，则的n个特征值两两不同； (2)如果的n个特征值两两不同，且是的完全特征向量组，则是循环向量.59.(P269)设和是数域F上n维线性空间的可交换的线性变换，且为循环变换.证明：存在多项式，使得.60.(P269)设是数域F上n维线性空间的线性变换，而且的任意一个与可交换的线性变换都可以表示成的多项式.证明：是循环变换.61.(P276)求Jordan标准形的一种方法：设是n阶复方阵，是方阵的所有不同的特征值.证明：(1) 存在正整数m，使得；(2)设是使的最小正整数.则方阵的最小多项式为 ；(3)设是方阵的属于的初等因子，则；(4)设方阵的初等因子组为 其中属于特征值且次数为的初等因子的个数记为，并约定，当不是方阵的初等因子时，.则 ，其中.求Jordan标准形采用如下步骤：1) 求出放阵的特征多项式，并求出方阵的全部不同的特征值；2) 对每个特征值，由 求出；3)对每个，计算 ，由此确定是否是方阵的初等因子，以及初等因子在方阵的初等因子组中出现的次数；4)根据3)中所确定的方阵的初等因子组，写出方阵的Jordan标准形.62.(P287)证明：任意一个满秩方阵都可以表示为，其中是可逆方阵，是上三角方阵，而且它的对角元都是首一多项式，对角线以上的元素都是次数小于同一列的对角元的次数的多项式.并证明这种表法唯一.63.(P296)证明：一组两两可交换的可对角化方阵可以用同一个可逆方阵相似于对角形.64.(P304)设是自然数的一个排列.把n阶单位矩阵的第行分别调到行得到的方阵称为置换方阵.证明：置换方阵相似于对角形.65.(P305)证明：所有n阶轮回方阵 可以经过一个可逆方阵化为对角形.66.(P305)设方阵和每一个与方阵可交换的方阵都可交换.证明：方阵可以表为方阵的多项式.第七章 Euclid 空间67.(P328)设是n维Euclid空间V的一组基.对施行Gram-Schmidt正交化得到的正交向量组记为.证明： ，其中约定零个向量的Gram方阵的行列式为1.68.(P328) 设是n维Euclid空间V的一组向量.证明： ，等号当且仅当两两正交或其中含有零向量时成立.由此证明：如果是n阶实方阵，则 .69.(P328)设是n阶正交方阵.而方阵.证明：方阵的特征值满足，其中.70.(P328)证明：正交方阵的任意一个子方阵的特征值的绝对值小于或等于1.71.(P328)证明：如果n阶方阵的行列式为1，则方阵可以表示为有限多个形如的方阵的乘积，其中是位置上的元素为1,而其他元素都为零的n阶方阵，并且.如果n阶正交方阵的行列式为，则还应添加上方阵.72.(P336)设是n维Euclid空间V的线性变换.证明：的伴随变换的像空间是的核的正交补.73.(P336)设是所有次数小于4的实系数多项式集合连同内积构成的Euclid空间，其中.设是的微商变换.求的伴随变换.74.(P342)证明：一组两两可交换的规范方阵可以同时正交相似于准对角形.即设是下标集合，规范方阵集合满足：对任意，则存在正交方正，使得为准对角形，其中是的全部特征值，其中是实数，.75.(P342)证明：n阶实方阵为规范的充分必要条件是，存在实系数多项式，使得.76.(P353)设与是n维Euclid空间V的线性变换，与都是自伴的，且.证明：存在V的自伴变换，使得.77.(P354)(Fischer)设是n维Euclid空间V的自伴变换的特征值，.设是的不变子空间.证明：对， .78.(P354)设是n阶实对称方阵的所有特征值.证明： .79.(P365)设.证明：的所有特征值都是正的.80.(P365)设.证明：存在可逆三角方阵，使得.81.(P365)设与是n阶对称方阵，且，其中.证明：存在非零实的行向量，使得.82.(P366)设n阶实方阵的极分解唯一.证明：方阵可逆.83.(P366)设是n阶实对称方阵的所有奇异值.证明： .84.(P369)设 n阶实对称方阵的特征值.证明：Schur不等式： ； .85.(P375)设n阶实方阵的顺序主子式都不为零.证明：存在对角元全为1的n阶下三角方阵和，使得，其中，并约定.86.(P376)设n阶对称方阵.证明：在n维实的行向量集合连同标准内积构成Euclid空间，有不等式所定义的区域是有界的，并且它的体积V为 ，其中.87.(P376)设.证明：.88.(P376)设是对称矩阵，记.证明：（1）是满足且与可交换的最小方阵，这里所谓“最小”是指，如果对称方阵满足且与可交换，则；（2）是满足且与可交换的最小的半正定对称方阵；（3）是满足且与可交换的最小的半正定对称方阵；（4）设与是可交换的对称方阵，则存在满足,且与和都可交换的最小对称方阵.89.(P376)证明：两个n阶半正定对称方阵与可以同时相合于对角形，即存在n阶可逆矩阵，使得与都是对角方阵.(提示：方阵是半正定的.)90.(P376)正定对称方阵的概念可以推广(见Johnson C R. Positive definite matrices. Amer.Math.Monthly,1970,77:259-264)：设是n阶实方阵(不必是对称的).如果对任意非零行向量，则方阵称为正定的.记，其中，它们分别是的对称部分和斜对称部分.证明：(1) 方阵正定的充分必要条件是，它的对称部分是正定的；(2) 设.则当正定时，的非零根是纯虚数；(3) 设正定，并且的所有非零的根为，则相合于如下的准对角方阵： ，并且的根是正定方阵在相合下的全系不变量.91.(P377)设是实数，是n阶实方阵，且是n阶复正交方阵，即，其中.证明方阵是斜对称的，并且 （1）当时，； （2）当时，存在n阶实正交方阵，使得 .92.(P377)设是n阶复正交方阵，其中与是n阶实方阵.证明：存在n阶实正交方阵与，使得，其中是方阵的所有大于1的奇异值，且1是方阵的重奇异值.93.(P377)设复方阵与适合，其中与是实正交方阵，则称复方阵与正交相抵.证明：复正交方阵的实部的奇异值是复正交方阵正交相抵下的全系不变量.94.(P377)设是n阶半正定对称方阵的所有特征值.并且设方阵的每个列和都是零.证明： .(提示：对称方阵，其中是每个元素都是为1的n阶方阵.)95.(P377) 设是n阶正定对称方阵，.证明： ，其中.96.(P377)设与是n阶实对称方阵，且方阵是正定的.证明： ，其中，且.97.(P377)设是n阶对称方阵的特征值，.证明：（1）设与是n阶对称方阵，实数满足，则 ， ； （2）当半正定时，.第八章 酉空间98.(P395)证明：n维酉空间V的线性变换为规范的充分必要条件是，的每个不变子空间也是它的伴随变换的不变自空间.99.(P395)证明：n维酉空间V的线性变换为规范的充分必要条件是，的每个不变子空间的正交补是的不变子空间.100.(P395)设n阶规范方阵，方阵的任意两个特征值的实部与虚部分别不相等，且是方阵与中某个方阵的特征向量.证明：存在复数，实数与，使得，并且.101.(P396)设n阶复方阵满足.则方阵称为正交Hermi