求异面直线距离的几种方法.doc

_求异面直线距离的几种方法 求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助. 一、平移法 解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c处，使c与a、b均相交，则c夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长. 例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离. 解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1A1D、BD1AC. 设BD与AC的交点为M，DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点. 设AN与A1D交点为Q.在AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线. 由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a. 故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成） 二、线面垂直法 解题思路a、b为异面直线，平面过直线b，且a于O，过O在内作OPb于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离. 例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离. 解析B1D1A1C1， B1D1CC1，B1D1平面A1CC1于O1. 过O1做O1EA1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离. A1CC1A1O1E，A1O1O1E=A1CCC1， O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a. 三、面面平行法 解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面、，使，那么、的距离就是a、b的距离. 例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离. 解析如图3，G为AA1的中点. GFA1D， GEA1B1，平面A1B1D平面EFG. A1DAD1， A1B1AD1，AD1平面A1B1D. 同理，AD1平面EFG，AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离. 故异面直线EF与DB1的距离为： MN=14AD1=24a. 四、转化法 解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法. 例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离. 解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离. 设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?SA1DC1=13a?SA1AD，所以d=aSA1ADSA1DC1.容易求得SA1DC1=32a2，SAA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a. 五、公式法 解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求. 公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD所成的角为，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsin. 图5图6公式2已知平面=a，二面角-a-的平面角为，如图6.直线b与平面、分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinm2+n2-2mncos. 以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下. 例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离. 解法1运用公式1来求. 设AC和BP所成的角为，取A1D1的中点为N，连结AN，则CAN=.不难求出sinCAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3. d=6VP-ABCAC?BPsin=6a36 2a?5a2?31010=23a. 即AC与PB之间的距离为23a. 解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4. 设二面角P-AC-B的平面角为，用面积的射影公式容易求得cos=13，从而sin=223.d=mnsinm2+n2-2mncos，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a. 练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：