(中学生数学)向量中的“隐藏圆”.doc

_寻找向量中的“隐藏圆”浙江省东阳市顺风高级中学（322100） 刘光红向量具有代数的运算性质和图形的直观感知功能，体现了数与形的结合，向量问题中有很多都具有它特有的几何意义，若能挖掘出问题本质，问题就会迎刃而解。其中寻找问题中的 “隐藏圆”就是一种常用的方法，这样既可以避免大量繁杂的运算，又可以直观的知道向量的变化趋势，进而轻松快速有效地解决问题。若问题中给出两个运动着向量的夹角为定值，或者间接给出夹角为定值，或某两个向量差(或和)向量的模为定值等有关条件，求有关向量模或夹角的范围等问题，可以试着通过寻找向量终点所在的“隐藏圆”来解决问题。下面几例就是通过寻找“隐藏圆”来解决问题的。例1若非零向量、，满足，则向量、夹角的最大值为 。BA图1O解析：由可知，向量可以看作是与向量相同起点O，终点在以向量的终点A为圆心的单位圆上，如图1所示，显然向量所在的直线与圆相切时，即终点在点B处时，向量、夹角最大，由，易知，所以向量、夹角最大值为。AOB图2评注：要想找到“隐藏圆”，首先要观察到这个定值，即向量终点固定后，同起点的向量的终点在以的终点为圆心的单位圆上运动。从而容易发现两个向量夹角的变化情况，找到最大角。例2若非零向量、，满足，则当向量、夹角最小时的值为 。解析：由可知，向量可以看作是与向量2的终点O为起点，终点在以向量的起点A为圆心，半径为的单位圆上，如图2所示，显然向量所在的直线与圆相切时，即终点在点B处时，向量、夹角最小，由，易知，向量、夹角最小值为。此时。评注：观察到这个定值，由三角形法则向量可以看作是以向量的终点O为起点，终点在以向量的起点A为圆心，半径为的单位圆上的向量，找到了这个“隐藏圆”，就容易发现向量、夹角的变化情况以及夹角最小时向量终点所在的位置.例3已知，与的夹角为，则的范围是 。OBA图3C解析：因为向量与的夹角为，向量的终点C可以看作以的长AB为弦，且所对的圆周角为的圆O上，（如图3所示），由顶角为，底边，可求圆的半径为，显然，当向量过圆心O时，它的模最长，此时=，当的起点和终点接近重合时，接近于0，所以的范围为评注：由和两个条件，利用同弧所对的圆周角相等可以找到“隐藏圆”，显然，向量的起点为A不动，终点D在圆上运动，的取值范围一目了然。OCDAB图4例4已知、为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值为 。解析：由和可知，向量可以看作是与、共起点A，终点在以为直径的圆上的向量，（如图4所示），因为、为平面内两个互相垂直单位向量，显然最大值为该圆的直径。评注：由找到“隐藏圆”，使向量为起点A固定，而终点C在圆上游动的向量，显然最大的模长为，解法简单直观。例5已知向量、满足，且，则的最小值为 。OBCAMFED图5解析：根据可知，向量、的模长相等，夹角为，由可知，向量与向量垂直，即与垂直，如图5所示，向量、起点相同，向量的终点在以AD为直径的圆M上。则的大小即为长度的大小，显然当点C在BM连线与圆M的交点E、F处时，分别取得最小值和最大值。又，所以，所以的最小值为评注：将向量与向量垂直，转化为与垂直，从而找到“隐藏圆”，向量的终点在该圆上运动，再转化为动点与定点的距离的最值问题，OBCDA图6例6已知，与的夹角为，则的最大值为 。解析：由已知可知，向量、夹角为，而与的夹角为，联想到四边形ABCD四点共圆，找到向量终点所在的圆（如图6所示），当过圆心时最大。由正弦定理可知该园的半径为1，所以的最大值为2.评注：通过观察各个向量之间的关系，由与的夹角为，向量动而夹角定，并且还有四点共圆的条件，容易找到“隐藏圆”，进而轻松求解。例7.已知，向量在方向上的投影为，向量满足，则的取值范围 。DBCAO图7解析：由可知，找到向量的终点D所在的圆（如图7所示），显然是以BC为直径的圆O，向量的终点D在该圆周上运动，因为，向量在方向上的投影为，所以为等腰三角形，。又，由模长公式可以求得，又因为，所以。评注：根据可以知道恒成立，向量的终点在以、的终点为直径的圆上运动，将问题转化为圆上的动点D与圆外一点的距离的最大值与最小值问题，进而求解。从上面的几例可以看出，若向量问题中给出了动向量中夹角保持不变，或者模长保持不变，就可以试着找出运动向量终点所在的隐藏圆，从而使问题