等差数列的前n项和(二).docx

精品文档等差数列的前n项和（二）学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一等差数列前n项和及其最值1前n项和公式：Snna1dn2(a1)n.2等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为an思考若Snn2n，则an_.答案2n解析n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a1S1121221，an2n.知识点三裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和常见的拆项方法：(1)()；(2)()；(3)()题型一已知Sn求an例1已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列解Sn2n23n，当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1.当n1时，a1S15411.n1时，适合an4n1.数列的通项公式是an4n1.故数列an是等差数列跟踪训练1本例中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列解Sn2n23n1.n2时，anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1.当n1时，a1S16411.an故数列an不是等差数列题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n(2)n226n(n13)2169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同法一，求出公差d2.an25(n1)(2)2n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a10，d0，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四设SnAn2Bn.S9S17，二次函数对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.跟踪训练2已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知a19，d20，n6时，an0；当n35时，anS7S5，有下列四个命题：d0；S120，a7a10S7，a7S5，a6a70，a60，d0，正确S12(a1a12)6(a6a7)0，不正确Sn中最大项为S6，不正确故正确的是.3答案6或7解析由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小4答案99解析an，Sn(1)()()19，n99.5解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2)又当n1时，a121115，an课时精练答案一、选择题1答案A解析a4S4S3(421)(321)7.2答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn，1.3答案C 解析amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以公差dam1am1，由Sm0，得a12，所以am2(m1)12，解得m5，故选C.4答案A解析A、B、C三点共线a1a2001，S200(a1a200)100.5答案C解析易得an|a1|1，|a2|1，|a3|1，令an0则2n50，n3.|a1|a2|a10|11a3a102(S10S2)2(1024102)(22422)66.6答案C解析a1a3a51053a3，a335，a2a4a6993a4，a433，d2，ana3(n3)d412n，令an0，412n0，n0，a80.a7a10a8a90，a90，此时bn|an|an，bn的前n项和Sn100nn2.当n51时，an0，此时bn|an|an，由b51b52bn(a51a52an)(SnS50)S50Sn，得数列bn的前n项和SnS50(S50Sn)2S50Sn22 500(100nn2)5 000100nn2.由得数列bn的前n项和为Sn12解anSnSn1，SnSn1，即(SnSn1)(2Sn1)2S，即Sn1Sn2SnSn1，即2，为等差数列，且1，12(n1)，即Sn.anSnSn1(n2)，又a11，an13(1)证明当n1时，a1S1(a12)2，解得a12.当n2时，anSnSn1(an2)2(an12)2，即8an(an2)2(an12)2，整理得(an2)2(an12)20，即(anan1)(anan14)0.anN*，anan10，anan140，即anan14(n2)故an是以2为首项，4为公差的等差数列(2)解设bn的前n项和为Tn，bnan30，且由(1)知an2(n1)44n2，bn(4n2)302n31，故数列bn是递增的等差数列令2n310，得n15，nN*，当n15时，b