11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析.ppt

11 4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用 讨论的主要问题有 基本方法 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析矩阵Lyapunov方程的求解线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理及稳定性分析 由上节知 Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数来分析系统的稳定性 由于各类系统的复杂性 在应用Lyapunov第二法时 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法 目前的处理方法是 针对系统的不同分类和特性 分别寻找建立Lyapunov函数的方法 本小节将讨论对线性系统 包括线性定常连续系统线性定常离散系统线性时变连续系统如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来分析该线性系统的稳定性 11 4 1线性定常连续系统的稳定性分析设线性定常连续系统的状态方程为x Ax这样的线性系统具有如下特点 1 当系统矩阵A为非奇异时 系统有且仅有一个平衡态xe 0 即为状态空间原点 2 若该系统在平衡态xe 0的某个邻域上是渐近稳定的 则一定是大范围渐近稳定的 3 对于该线性系统 其Lyapunov函数一定可以选取为二次型函数的形式 上述第3 点可由如下定理中得到说明 定理11 7线性定常连续系统x Ax的平衡态xe 0为渐近稳定的充要条件为 对任意给定的一个正定矩阵Q 都存在一个正定矩阵P为下述Lyapunov方程 Lyapunovequation 的解PA ATP Q并且正定函数V x xTPx即为系统的一个Lyapunov函数 证明 1 先证充分性 Sufficiency 即证明 若对任意的正定矩阵Q 存在正定矩阵P满足方程PA ATP Q 则平衡态xe 0是渐近稳定的 证明思路 由于P正定 选择正定函数V x xTPx为Lyapunov函数 计算Lyapunov函数V x 对时间t的全导数V x 通过判定V x 的定号性来判定平衡态xe的稳定性 证明过程为 已知满足矩阵方程PA ATP Q的正定矩阵P存在 故令V x xTPx 由于V x 为正定函数 且V x 沿轨线对时间t的全导数为V x xTPx xT Px xTPx Ax TPx xTPax xT ATP PA x xTQx而Q为正定矩阵 因此V x 为负定函数 根据渐近稳定性定理 定理11 4 即证明了系统的平衡态xe 0是渐近稳定的 于是充分性得证 2 再证必要性 Necessity 即证明 若系统在xe 0处是渐近稳定的 则对任意给定的正定矩阵Q 必存在正定矩阵P满足矩阵方程PA ATP Q证明思路 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程PA ATP Q的正定矩阵P 证明过程为 对任意给定的正定矩阵Q 构造矩阵P如下 由矩阵指数函数eAt的定义和性质知 上述被积矩阵函数的各元素一定是具有tke t形式的诸项之和 其中 是A的特征值 因为系统是渐近稳定的 则矩阵A的所有特征值 的实部一定小于零 因此上述积分一定存在 即P为有限对称矩阵 又由于Q正定 矩阵指数函数eAt可逆 则由方程 4 a 可知 P为有限的正定矩阵 因此 P为正定矩阵 将矩阵P的表达式 4 a 代入矩阵方程PA ATP Q可得 因此 必要性得证 上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法 该方法不需寻找Lyapunov函数 不需求解系统矩阵A的特征值 只需解一个矩阵代数方程即可 计算简便 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程 由上述定理 可得如下关于正定矩阵P是Lyapunov矩阵方程的唯一解的推论 推论11 1如果线性定常系统x Ax在平衡态xe 0是渐近稳定的 那么Lyapunov代数方程PA ATP Q对给定的任意正定矩阵Q 存在唯一的正定矩阵解P 证明用反证法证明 即需证明 Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 但该系统是渐近稳定的 设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解P1和P2 则将P1和P2代入该方程后有P1A ATP1 QP2A ATP2 Q 两式相减 可得 P1 P2 A AT P1 P2 0因此 有 所以 对任意的t 下式均成立 令t 0和t T 0 则有 由定理11 7可知 当P1和P2为满足Lyapunov方程的正定矩阵时 则系统为渐近稳定的 故系统矩阵A为渐近稳定的矩阵 矩阵指数函数eAT将随着T 而趋于零矩阵 即P1 P2 0或P1 P2 在应用上述基本定理和推论时 还应注意下面几点 若V x t xTQx沿任一条状态轨线不恒为零 则Q可取为非负定矩阵 而系统在原点渐近稳定的充要条件为 存在正定矩阵P满足Lyapunov代数方程 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的 那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关 由定理11 7及其推论11 1可知 运用此方法判定系统的渐近稳定性时 最方便的是选取Q为单位矩阵 即Q I 于是 矩阵P的元素可按如下Lyapunov代数方程 PA ATP I求解 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性 下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程来判定线性定常系统的稳定性 例11 8试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性 解设选取的Lyapunov函数为V x xTPx由定理11 7 上式中的正定矩阵P满足Lyapunov方程PA ATP I 于是 令对称矩阵P为 将P代入Lyapunov方程 可得 展开后得 因此 得如下联立方程组 解出p11 p12和p22 得 为了验证对称矩阵P的正定性 用合同变换法检验如下 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零 故矩阵P为正定的 因此 系统为大范围渐近稳定的 此时 系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为 例11 9控制系统方块图如下所示 要求系统渐近稳定 试确定增益的取值范围 解由图可写出系统的状态方程为 不难看出 原点为系统的平衡状态 选取Q为非负定实对称矩阵 则 由于为非负定 且只在原点处才恒为零 其他非零状态轨迹不恒为零 因此 对上述非负定的Q Lyapunov代数方程和相应结论依然成立 设P为实对称矩阵并代入Lyapunov方程 可得 求得 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的 矩阵P须为正定 采用合同变换法 有 从而得到P为正定矩阵的条件 即0 k 6由上例可知 选择Q为某些非负定矩阵 也可以判断系统稳定性 益处是可使数学运算得到简化 10 4 2线性离散系统的稳定性分析前两节讨论的为连续系统的Lyapunov稳定性的定义和稳定性判据定理 其稳定性定义可延伸至离散系统 但其稳定性判据则有较大差别 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据 定理11 8设系统的状态方程为x k 1 f x k k 其中xe 0为其平衡态 如果存在一个连续的标量函数V x k k 且正定 则有 1 若V x k k 的差分 V x k k V x k 1 k 1 V x k k 为负定的 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的 2 若 V x k k 为非正定的 则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的 更进一步 若 V x k k 对任意初始状态的解序列x k V x k k 不恒为零 那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的 3 更进一步 若 x k 有V x k k 那么该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的 类似于连续系统 可得关于离散系统不稳定性的定理 离散系统Lyapunov稳定性的判据也可总结如下 V x k k V x k k 结论 正定 0 负定 0 该平衡态渐近稳定 正定 0 半负定 0 且不恒为0 对任意非零的初始状态的解 该平衡态渐近稳定 正定 0 半负定 0 且恒为0 对某一非零的初始状态的解 该平衡态稳定但非渐近稳定 正定 0 正定 0 该平衡态不稳定 正定 0 半正定 0 且不恒为0 对任意非零的初始状态的解 该平衡态不稳定 上述定理讨论的是一般离散系统的渐近稳定性的充分判据类似于线性定常连续系统 对于线性定常离散系统 有如下简单实用的渐近稳定判据 定理11 9设系统的状态方程为x k 1 Gx k 其中xe 0为其平衡态 则其平衡态为渐近稳定的充要条件为 对任意给定的一个正定矩阵Q 都存在一个正定矩阵P为Lyapunov矩阵代数方程GTPG P Q 4 b 的解 并且正定函数V x k xT k Px k 即为系统的一个Lyapunov函数 证明 1 先证充分性 即证 若对任意的正定矩阵Q 存在正定矩阵P满足方程GTPG P Q则平衡态xe 0是渐近稳定的 已知满足该矩阵方程的正定矩阵P存在 因而令V x k xT k Px k 则V x k 的差分为 V x k k V x k 1 k 1 V x k k xT k 1 Px k 1 xT k Px k Gx k TPGx k xT k Px k xT k GTPG P x k xT k Qx k 由于Q为正定矩阵 则 V x k 为负定函数 由于V x k 本身为正定函数 故根据定理11 8 即证明了系统的平衡态xe 0是渐近稳定的 2 再证必要性 即需证 若系统在xe 0处是渐近稳定的 则对正定矩阵Q 必存在正定矩阵P满足矩阵方程GTPG P Q 构造矩阵P如下 当系统x k 1 Gx k 渐近稳定 即系统矩阵G的特征值的模小于1时 上式定义的P为有限常数阵 而且当Q为正定矩阵时 P Q GTQG G2 TQG2 Q 0亦为正定矩阵 因此 必要性得证 将矩阵P的上述构造式代入矩阵方程 4 b 可得 GTPG P Q 4 b 与连续系统类似 有如下讨论 1 如果对于某个非负定矩阵Q V x k k xT k Qx k 沿任意一条状态轨线不恒为零 那么系统在原点渐近稳定的条件为 存在正定矩阵P满足Lyapunov代数方程 2 可令正定矩阵Q I 则判定线性定常离散系统的渐近稳定性只需解如下Lyapunov矩阵代数方程即可 GTPG P I 例11 10设离散时间系统的状态方程为试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件 解由式 4 c 得如下Lyapunov代数方程展开后得如下联立方程组 GTPG P I 4 c 根据Sylvester 西尔维斯特 准则 要使P为正定 须满足因此 有即只有当传递函数的极点位于单位圆内时 系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的 例11 11试确定用如下状态方程描述的离散系统的平衡态稳定性 解由式 4 c 得如下Lyapunov代数方程 展开后得如下联立方程组 GTPG P I 4 c 为了验证对称矩阵P的正定性 用合同变换法检验如下 解出p11 p12和p22 得 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零 故矩阵P为正定的 因此 系统为大范围渐近稳定的 由此解出 例11 12试确定用如下离散系统在原点的稳定性 解 在Lyapunov方程中 取Q I 得 从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的 10 4 3线性时变连续系统的稳定性分析 设线性时变连续系统的状态方程为x A t x t xe 0则有判定线性时变连续系统Lyapunov意义下渐近稳定性的定理如下 定理11 10线性时变连续系统的平衡态xe为大范围渐近稳定的充分必要条件为 对有限的t和任意给定的正定矩阵Q t 都存在一个正定矩阵P t 为下述Lyapunov矩阵微分方程的解 并且正定函数即为系统的一个Lyapunov函数 证明1 先证充分性 即证 如果对任意的正定矩阵Q t 存在正定矩阵P t 满足Lyapunov微分方程 则平衡态xe 0是渐近稳定的 已知满足Lyapunov矩阵微分方程的正定矩阵P t 和Q t 存在 故令V x t xT t P t x t 由于V x t 为正定函数 且其沿轨线对时间t的全导数为而Q t 为正定矩阵 则V x t 为负定函数 故根据定理11 4 即证明了系统的平衡态xe 0是大范围渐近稳定的 2 必要性证明 即证明 若系统在xe 0处是渐近稳定的 对给定的正定矩阵Q t