古代希腊数学 黄金时代.doc

古代希腊数学 黄金时代希腊世界的雅典、巴斯达等国在经历了多次战争而逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。在征服希腊各城邦后两年，腓力二世遇刺去世，其子亚历山大（公元前336年公元前323年在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分），塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学园，他是希腊论证几何学的集大成者。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作，他是亚历山大学派的奠基人。欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重要意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的几何原本。它是在公元前300年左右完成的。他的几何原本：五条公设： 从任一点到任一点作直线（是可能的）。 将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。 以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。 所有直角是相等的。 若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。五个公理： 与同一东西相等的一些东西彼此相等。 等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。 彼此重合的东西是相等的。 整体大于部分。欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明。阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。他的父亲是天文学家。母亲出生于名门望族，且知书达理。青年时代 的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，当时亚历山大的学术空气较为自由，学生们可以自由地选择内容听讲并参加讨论和研究。在亚历山大期间，阿基米德系统地阅读了欧几里得的几何原本，研究了古希腊时期巧辩学派代表人物的著作及安提丰等人关于三大几何问题讨论的种种方法，特别是安提丰和欧多克索斯的穷竭法对阿基米德影响最为深刻，以至后来发展成为他处理无限问题的基本工具。阿基米德学成后返回故乡，并一直住在叙拉古。他是亚历山大学派最杰出的代表。 公元前212年，罗马人其统帅马塞露斯的率领下围攻叙拉古，由于叛徒出卖，罗马人趁叙拉古人庆祝女神节的狂欢之夜，攻占了城市，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题。据说曾下令勿杀阿基米德的马塞露斯事后特意为他建墓，并按照他的遗愿将死者最引以自豪的数学发现的象征图形球及外切圆柱刻在了墓碑上。 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：抛物线的求积，论球和圆柱、论劈锥曲面体和球体、圆之度量、沙粒计，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。” 在平面几何方面的主要贡献： 开创计算值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3(10/71)3(1/7)。 证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。 证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3。定义了螺线=a，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2a的圆面积的1/3。 椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。 在立体几何方面的主要贡献： 球表面积等于大圆面积的4倍。 圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的3/2。 任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。 任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。 球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。 椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。 此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等。这是阿基米德用杠杆原理求二次幂和公式。他说：“只要给我一个可靠的支点，我可以移动地球。”当然，这个是不可能的阿基米德用力学方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积，可将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，接