高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4(1)比较法综合法与分析法课件.pptx

4不等式的证明 一 比较法综合法与分析法 1 理解比较法 综合法 分析法证明不等式的原理和思维特点 2 掌握比较法 综合法 分析法证明简单不等式的方法和步骤 3 能综合运用综合法 分析法证明不等式 学习目标 1 比较法 综合法 分析法证明不等式 重点 2 常与函数 数列及三角函数相结合 考查综合论证不等式的思维能力 重点 难点 3 分析法证明的步骤 易混点 学法指要 预习学案 b 1 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种 1 要证明a b 只要证明 要证明ab 0 只要证明 要证明b a 0 只要证明 这种证明不等式的方法 叫做作商比较法 a b 0 a b 0 2 综合法从 出发 利用 等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 又叫 3 分析法从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明的方法 已知条件 定义 公理 定理 性质 顺推证法或由因导果法 要证的结论 充分条件 已知条件或一个明显成立的事实 执果索因 1 若x 0 则 A x 1 3 x 1 2B x 1 3 x 1 2C x 1 30 x x 1 2 0 x 1 3 x 1 2 答案 A 解析 a2 b2 1 a2b2 0 a2b2 a2 b2 1 0 a2 1 b2 1 0 答案 D 3 a b c R且ab bc ac 1 则 a b c 2与3的大小关系是 答案 a b c 2 3 课堂讲义 求证 1 a2 b2 2 a b 1 2 若a b c 则bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b 思路点拨 由于两边都是低次的整式 宜用作差法 解题过程 1 a2 b2 2 a b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 作差比较法证明不等式 2 bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b bc2 c2a ca2 b2c ab2 a2b c2 b a c a b a b ab b a b a c2 ac bc ab b a c a c b a b c b a 0 c a 0 c b 0 b a c a c b 0 bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b 1 已知a b c 求证 a2b b2c c2a a2c b2a c2b 思路点拨 不等式的两端是多项式形式 作差后易于判断差的符号 因而考虑用比差法证明 证明 因为a b c 所以a2b b2c c2a a2c b2a c2b a2b ab2 b2c ca2 c2a bc2 ab a b c a b b a c2 a b a b c2 b a c ab a b c a c b 0 所以a2b b2c c2a a2c b2a c2b 分析法证明不等式 思路点拨 分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件 证明的关键是推理的每一步都必须可逆 思路点拨 不等式中的a b c为对称的 所以从基本的不等式定理入手 先考虑两个正数的平均数定理 再据不等式性质推导出证明的结论 用综合法证明不等式 思路点拨 不等式左边为两两乘积的形式 而已知条件是a b c和的形式 因此将已知式两边平方 可得出a b c两两积及a2 b2 c2和的式子 然后再利用不等式定理将a2 b2 c2转化为a b c的两两积之和 证出所证不等式 1 作差法由于a b a b 0 因此 证明a b 可以转化为证明与之等价的a b 0 这种证明方法即为作差法 其一般的证明步骤为 比较法证明不等式 作差 考查不等式左 右两边构成的等式 将其看做一个整体 变形 把不等式两边的差进行变形 或变形为一个常数 或变形为一个常数 或变形为若干个因式的乘积 或变形为一个或几个平方的和等 判断符号 根据已知条件 结合上述变形结果 判断不等式两边差的符号 结论 肯定所求证的不等式成立 其中 比较法证明不等式的关键在变形 而变形的技巧在于将差式进行重新组合 合理搭配 目的是有利于判断差式的符号 该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明 1 证明不等式可以利用某些已经证明过的不等式 如定理以及它们的推论 从已知条件出发 再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式 这种证明方法叫做综合法 2 综合法的思维特点是 由因导果 即从 已知 逐步推向 结论 综合法 3 用综合法证明不等式的逻辑关系A B1 B2 Bn B 已知 逐步推演不等式成立的必要条件 结论 由此可见 综合法是 由因导果 即由已知条件出发 推导出所要证明的不等式成立 1 证明不等式时 从欲证的不等式入手 利用不等式的性质 定理及已知附加条件 寻找使欲证不等式成立的条件 直至追溯到不等式的已知条件 其中 推理的每一步必须是前一步的充分条