【高分秘笈】2013中考数学-解题方法及提分突破训练：换元法专题.doc

。解题方法及提分突破训练：换元法专题一真题链接1.（2011恩施州）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（）Ax1=1，x2=3 Bx1=-2，x2=3Cx1=-3，x2=-1 Dx1=-1，x2=-22（2005温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（）Ay2+y-6=0 By2-y-6=0 Cy2-y+6=0 Dy2+y+6=03.（2005兰州）已知实数x满足 的值是（）A1或-2 B-1或2 C1 D-24已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（）二名词释义概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。经验：换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。三典题事例1.整体换元例1 分解因式： 解：设，则原式评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.2双换元 例2 分解因式：解：设，两式相加，则原式例3 解方程组解：设，.原方程组可化为解得即解得原方程组的解为而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式，3.均值换元例4 解方程组解：由可设，即，代入，得.原方程组的解为说明：本题若按常规设法，可设，此时，由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，此时，没有出现分类，使运算变得简捷.换元的作用：降次、化分式方程为整式方程、化繁为简。 4. 系数对称方程换元 例5 解方程： 分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元： 变形：， ， 设， 得，可解出方程。5. 倒数换元 例6 分解因式 解：原式 四巩固强化：1.分解因式：2.分解因式:.3.解方程： ；4. 解方程：.5.解方程:.6.解方程组: 7.计算:8.解方程组9.解方程组10.解方程组11.解方程组12. 解方程。 13解方程。代入，求方程的解，并检验。五参考答案真题链接答案：1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，设y=2x+5，方程可以变为 y2-4y+3=0，y1=1，y2=3，当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1故选D2.解：把x2+x整体代换为y，y2+y=6，即y2+y-6=0故选A3.4.解：设x2+y2=t则由原方程，得t2-t-12=0，（t+3）（t-4）=0，t+3=0或t-4=0，解得，t=-3或t=4；又t0，t=4故选B巩固强化答案：1.解：原式 取“均值”，设 原式 2.解:设,则原式= = = = =.3.解: 原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时， . 解得,. 当时, . 解得,或. 经检验,知,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,.4.解：原方程可化为: . 设,则方程化为: . 解方程,得 . 当时, . 解得,. 当时, . 此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为.5.解:原方程可化为: . 即. 设,则方程化为: . 解得,. 当时, . 解方程,得 . 当时, . , 方程无实数根. 因此,原方程的根为.6.解:设,则原方程组可化为: 由(2)得,. (3) 将(3)代入(1),得 . 解得,(不能为负,舍去). . 得 解得, 经检验,知是原方程组的解. 所以,原方程组的解为.7.解:设,则 原式= = =.8.解：由，得.设，则，代入，得.，.原方程组的解是9.解：设，.原方程组可化为解得即解得原方程组的解为10.解：设原方程组可化为 解得 ，解得11.解：由可设，即，代入，得.原方程组的解为12.解：方程的分母都含有 故可设， 然后整理可得， 解得中， 求出方程的解，并检验。