数列的概念与简单表示法教学案例.doc

。一、教学目标1、技能目标：通过学习数列的概念和简单表示法，使学生掌握数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，能利用函数的观点来研究数列，以及利用数列来研究现实问题。2、德育目标：通过让学生观察日常生活中的实例，感受并得出数列的概念，从而培养了学生从实际问题中抽象出数列的一般性概念的能力，了解数列是一种特殊函数，能够借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步培养学生利用数学知识间的关联，用已知去研究或预测未知的能力。3、审美目标：通过让学生感受数列在大自然中的体现，以及生活中很多事情的发生（比如斐波那数列与日常生活中出现的事例有关）都与数列有着密切的关联，从而培养学生发现生活中的数学美，感受数学的魅力无处不在。并水到渠成地培养和提高了学生学习数学的兴趣。二、教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；探索并掌握数列的几种简单表示法。三、教学难点：1、数列是一种特殊的函数。2、发现数列的规律，找出数列可能的通项公式和递推公式。四、教学过程：1、创设问题情境；师：问题中国银行人民币活期存款每年利率为0.72%，假设某人存入10万元人民币后，既不加进存款也不取钱，如果不考虑利息税，用an表示第n年到期时的存款余额，求a1、a2、a3、以及an，并把它们按从第1年到第n年进行排列，从而得到一列数，那这一列数有什么规律吗？这一列数与它表示的存款余额序号有什么关系？问题观察下图： 问：图中的三角形分别代表哪些数，这些数有什么规律？与它表示的三角形序号有什么关系？问题章前图中的树苗在第一年长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，老枝每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律成长，则每年的分枝数正好可以排成一列这样的数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89问：这些数有什么规律？与它表示的分枝数序号有什么关系？生：对问题的看法：a1=10（1+0.72%）=10.0072a2=10(1+0.72%)210.144518a3=10（1+0.72%）210.217559an=10（1+0.72%）n把第1年到第n年的到期存款余额排成一列数：10.0072 10.144518 10.217559 , 10(1+0.72%)n这一列数是按照从第1年到第n年的顺序排列着的，与它表示的存款余额序号有对应关系。对问题的看法：图中的三角形分别代表1、3、6、10这些数，这些数是按到从小到大的顺序排列着的，并都表示三角形，与它表示的三角形序号有对应关系。对问题的看法：这些数是按照从第1年开始的顺序排列着的，与它表示的分枝数序号有对应关系，师：上述3个问题中三个一列数的共同特征是什么？生：它们都是按照一定的顺序排列着的一列数。师：归纳出数列的概念：一般地，按照一定的顺序排列着的一列数称为数列。师：数列1，2，3，4，n，与数列n，n-1,1是相同的数列吗？生：不同，因为数列中的数是按照一定的顺序排列着的，因此如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同，那么它们就是不相同的数列。师：很好！数列中的数我们可以给它一个名字称为项，即数列中的每一个数都叫做该数列中的项，根据数列的概念，我们知道数列1，2，n,与n，n-1，1是不同的，理由是刚才那位同学所说的，那么数列中排在第一位的数称为这个数列的第一项排在第n位的数称为第n项，因此数列的一般形式可以表示为a1,a2，an，简记为an。因此数列中的项与它表示的序号的对应关系是可以表示成：a1， a2， a3， a4， an，1， 2， 3 ， 4， n ,，所以两数列要相同首先项要相同，其次排列的次序也要相同。师：上述项与它表示的序号关系是什么关系呢？生：函数关系师：即可以把数列看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，n ）为定义域的函数an= f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值（如图）。n f(n)1 a12 a23 a3: :n an: :所以说，数列是一类特殊的函数，特殊性表现在它的定义域限制在N*或1，2，n这两种集合中，反过来对于函数y= f(X),如果f(i) (i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列。f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(n)师：因为数列是一种特殊的函数，我们可以用函数的观点来研究数列，请大家观察以下几个数列：1，1，1，1，1，2，3，4，n，n，n-1，1，-1，1，-1，1，问：四个数列有什么特点呢？生：数列、是项数有无穷多个的数列；数列、是项数有有限多个的数列；数列中的项an随着n的增大而增大；数列中的项an随着n的增大而减小；数列中的项an随着n的增大却不变；数列中的项an随着n的增大没有以上有规律。师：很好！这位同学能从函数的观点来研究数列的某些性质即：项数有限的数列叫做有穷数列，其定义域为1，2，3，n;项数无限的数列叫做无穷数列，其定义域为1，2，3，n，。i)若从第2项起，每项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列，即对于定义域内的n1,n2只要n1)若从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列叫做递减数列，即对于定义域内的n1,n2，只要n1)每一项都相等的数列叫做常数数列，即对于定义域内的n，都有an=a（a为常数）)若从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，叫做摆动数列，即该类数列没有以上数列的性质。师：请同学们观察函数y=7x+9与y=3x,当x依次取1，2，3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？生：当y=71+9中的x依次取1，2，3，时，构成的数列为：71+9=a1，72+9=a2，7n+9=an。由此可知，该数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示即an=7n+9。当y=3x中的x依次取1，2，3，时构成的数列为a1=3,a2=3a1=9=32,a3=3a2=33，an=3an-1=3n，由此可知该数列的第n项an与序号n之间的关系可以表示为an=3n并且又可以表示为an= 3 (n=1)3an-1 (n1)以上是学生中的观点之一，其实还可以有很多种看法（比如递增数列等等）师：若数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（比如an=7n+9和an=3n都是通项公式），我们可以根据数列的通项公式写出数列。而如果由an= 3 (n=1)3an-1 (n1)给出数列的方法叫做递推法。而an=3an-1 （n1）叫做递推公式。师：例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：1，- 1 ， 1 ，- 1 ，2 3 4 2，0，2，0，例1的解答过程就是算法思想的体现，因为解答一道题的算法不只一个，因此通项公式不唯一，通项公式的求解是本节的难点之一。例2是由图形呈现数列的例子，数列与函数一样，可以用图象、列表等方法表示，由解答例2的过程得知数列的图象是一系列孤立的点，列表法的定义域必须从1开始：即 n 1 2 n an a1 a2 an 例3是递推公式给出数列的例子与例1是相反的。课堂小结：1、数列中的数是按照