第二章-矩阵及其计算.doc

第二章 矩阵及其计算2.1矩阵的基本概念2.1.1矩阵的定义个数()排成行列的表格：称为矩阵，简记为英文字母（如：）、阿拉伯字母（如：）或.2.1.2几类特殊的矩阵(1)行矩阵只有一行的矩阵：称为行矩阵.(2)列矩阵只有一列的矩阵：称为列矩阵.(3)零矩阵如果矩阵中所有元素都是，则称其为零矩阵，记作.(4)方阵如果矩阵中，则称阶矩阵或方阵，记作.(6)阶梯矩阵若矩阵的零行（元素全为0的行）在最下方且非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A为阶梯形矩阵.例如：.(7)转置矩阵将矩阵的行列互换得到新的矩阵称为转置矩阵,记为.(8)矩阵的阶子式设是一个矩阵，的任意的行与列()交叉处的个元素，按原来的次序所构成的阶行列式，称为矩阵的阶子式.注：阶行列式的顺序主子式为：由()行和()列所确定的子式.（9）矩阵的顺序主子式设A为阶矩阵，子式称为A的i阶顺序主子式。对于阶的矩阵A，其共有n阶顺序主子式，即矩阵A的顺序主子式由共n个行列式按顺序排列而成。2.1.3几种特殊的方阵(1)对称矩阵设是阶矩阵，若,即(),则称为对称矩阵.(2)反对称矩阵设是阶矩阵，若,即(),则称为反对称矩阵.(3)对角矩阵设是阶矩阵，若(),则称其为对角矩阵,记为.注：若对角矩阵的主对角线上元素都是1，称为阶单位矩阵，记为(若要强调其阶数，则记为).且对于阶方阵，规定.(4)逆矩阵设是阶矩阵，若存在阶矩阵,使,则称是可逆矩阵，是的逆矩阵，的逆矩阵唯一，记为.注：称为矩阵和的乘积; 矩阵可逆的充要条件是.证：若可逆，则,故（参见2.2），所以；若时，由于（参见2.2），所以,由逆矩阵的定义可知可逆.(5)正交矩阵设是阶矩阵，若,则称是正交矩阵.注：正交向量的充要条件：的行(列)向量是两两正交的单位向量(参见3.1.2).(6)伴随矩阵设是阶矩阵，则行列式的各元素的代数余子式所构成的阶矩阵称为的伴随矩阵，记为.2.2矩阵的计算(1)加法设，是两个矩阵，则矩阵称为矩阵和的和，记为.(2)数乘设是两个矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为.(3)乘法设是两个矩阵，是两个矩阵，那么矩阵，其中，称为矩阵和的乘积，记为.注：矩阵的乘法不满足交换律：,其中,都为阶行列式； 矩阵的乘法满足结合律：,其中，.(4)矩阵计算的一些重要结论（证明略）； ； ；.【例2.1】已知，求矩阵使得.解：由于,所以可逆，且，所以.【例2.2】已知，求.解：设，所以对于，有：解得：，其中，为任意常数.2.3矩阵的初等变换2.3.1矩阵的初等变换的定义下述三种对矩阵的的行(列)的变换称为矩阵的初等行(列)变换：(1)对调矩阵的两行(列)；(2)用非零常数乘以行(列)中的所以元素；(3)把矩阵某行(列)所有元素的倍加至另一行对应的元素上去.2.3.2初等矩阵与矩阵等价(1)初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.(2)初等矩阵的性质用初等矩阵左乘,所得就是对矩阵作了一次与同样的行初等变换；用初等矩阵右乘,所得就是对矩阵作了一次与同样的列初等变换.初等矩阵都可逆，且其逆是同类型的初等矩阵.例如：.(3)矩阵的等价矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,则称矩阵与矩阵等价，记作.两个型矩阵A与B等价的充分必要条件是：存在可逆矩阵P与Q,使得证：必要性：由于A与B等价，所以存在有限个m阶初等矩阵及有限个n阶初等矩阵使得（即A经