自动控制原理基础课件.ppt

第二章控制系统的数学模型 2 1微分方程式建立的一般方法和步骤 2 2传递函数的定义和特点 2 4典型系统及其传递函数 2 5控制系统动态结构图 End 2 6动态结构图的等效变换及简化 2 3推导传递函数的方法及步骤 本章重点和难点 重点 数学模型的建立方法 微分方程传递函数 方块图的等效变换与化简 难点 非线性方程的线性化 方块图的化简 误差传递函数的求法 教学方法 对比法 多媒体 2 1微分方程式建立的一般方法和步骤 1 定义 数学模型是指出系统内部物理量 或变量 之间动态关系的表达式 2 1 1数学模型基础 2 5 2 建立数学模型的目的 建立系统的数学模型 是分析和设计控制系统的首要工作 或基础工作 自控系统的组成可以是电气的 机械的 液压或气动的等等 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的 因此 通过数学模型来研究自动控制系统 可以摆脱各种不同类型系统的外部特征 研究其内在的共性运动规律 2 2 2 3 2 4 3 建模方法 微分方程 或差分方程 传递函数 或结构图 频率特性状态空间表达式 或状态模型 5 由数学模型求取系统性能指标的主要途径 4 常用数学模型 2 1 2微分方程式建立的一般方法和步骤 一 微分方程的列写 微分方程的列写步骤 1 确定系统的输入 输出变量 2 从输入端开始 按照信号的传递顺序 根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程 3 消去中间变量 写出输入 输出变量的微分方程 4 变换成标准形式 例2 1图为机械位移系统 试列写质量m在外力F作用下位移y t 的运动方程 整理得 解 阻尼器的阻尼力 弹簧弹性力 例2 2如图RLC电路 试列写以ur t 为输入量 uc t 为输出量的网络微分方程 解 返回 例2 3如图双RC电路 试列写以ur t 为输入量 uc t 为输出量的网络微分方程 非线性系统 用非线性微分方程描述 二 微分方程的类型 线性定常系统 用线性微分方程描述 微分方程的系数是常数 线性系统的重要性质 满足叠加性和均匀性 齐次性 即 如果输入r1 t 输出y1 t 输入r2 t 输出y2 t 则输入ar1 t br2 t 输出ay1 t by2 t 线性系统 用线性微分方程描述 线性时变系统 用线性微分方程描述 微分方程的系数是随时间而变化的 2 1 2 2 1 3 2 1 4 三 非线性元件微分方程的线性化 小偏差线性化 用台劳级数展开 略去二阶以上导数项 一 假设 x y在平衡点 x0 y0 附近变化 即x x0 x y y0 y 二 近似处理 略去高阶无穷小项 严格地说 实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性 而非线性微分方程的求解非常困难 如果某些非线性特性在一定的工作范围内 可以用线性系统模型近似 称为非线性模型的线性化 三 数学方法 2 1 1 2 1 4 2 1 2 求解方法 经典法 拉氏变换法 零状态响应 零输入响应 四 线性定常微分方程的求解 例2 3已知R1 1 C1 1F uc 0 0 1v ur t 1 t 求uc t 拉氏变换法求解步骤 1 考虑初始条件 对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换 得到变量s的代数方程 2 求出输出量拉氏变换函数的表达式 3 对输出量拉氏变换函数求反变换 得到输出量的时域表达式 即为所求微分方程的解 解 零初始条件下取拉氏变换 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 1传递函数的定义 2 2传递函数的定义及特点 线性定常系统 在零初始条件下 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数 例2 4如图RLC电路 试列写网络传递函数Uc s Ur s 解 1 零初始条件下取拉氏变换 传递函数 2 变换到复频域来求 2 2 2 传递函数的性质 1 传递函数是复变量S的有理真分式函数 分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n 所有系数均为实数 2 传递函数只取决于系统和元件的结构 与输入信号无关 3 传递函数与微分方程有相通性 可经简单置换而转换 4 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应 5 传递函数是在零初始条件下定义的 它只反应系统的零状态特性 零初始条件含义要明确 2 3推导传递函数的方法和步骤 1 定义法 微分方程 拉氏变换 传递函数 2 复阻抗法 复阻抗表示 电路定律 传递函数 3 结构图推导法 数学工具 拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义设函数f t 满足 t0时 f t 分段连续则f t 的拉氏变换存在 其表达式记作 拉氏变换基本定理线性定理位移定理延迟定理终值定理 数学工具 拉普拉斯变换与反变换续 初值定理微分定理积分定理 拉氏反变换F s 化成下列因式分解形式 a F s 中具有不同的极点时 可展开为 b F s 含有共扼复数极点时 可展开为 c F s 含有多重极点时 可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同 3 2 3一阶系统的典型响应 r t R s C s F s R s c t 一阶系统典型响应d t 11 t t 一阶系统的典型响应 例2 5已知R1 1 C1 1F 1 求零状态条件下阶跃响应uc t 2 uc 0 0 1v ur t 1 t 求uc t 3 求脉冲响应g t 对上式进行拉氏反变换 解 1 比例环节 G s K积分环节 G s 1 s微分环节G s s 2 4典型系统及其传递函数 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 2 2 2 3 2 1 2 5 1结构图的组成和绘制 2 5控制系统动态结构图 例2 7绘出RC电路的结构图 信号线 表示信号传递通路与方向 方框 表示对信号进行的数学变换 方框中写入元件或系统的传递函数 比较点 对两个以上的信号进行加减运算 表示相加 表示相减 引出点 表示信号引出或测量的位置 同一位置引出的信号数值和性质完全相同 结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成 它包括 例2 8绘出图示双RC网络的结构图 返回 动画演示 串联方框的简化 等效 2 6结构图的等效变换和简化 反馈连接方框的简化 等效 并联方框的简化 等效 C s G s E s E s R s H s C s C s G s R s H s C s 例 2 5 1 比较点和引出点的移动 等效原则 前向通道和反馈通道传递函数都不变 例2 9 引出点移动 1 引出点前移C s G s R s 2 引出点后移 1 相加点前移 相加点的移动 3 交换或合并相加点 2 相加点后移 C s G s R s B s C s G s R s B s G s R s G s B s C s E1 s V2 s R s V1 s V2 s R s V2 s V1 s 例2 10结构图化简 1 结构图化简方案 返回 2 4 2 2 4 1 3 结构图化简方案 2 结构图化简方案 原电路 1 等效为单位反馈系统 其它等价法则 2 负号可在支路上移动E s R s H s C s R s 1 H s Cs R s H s C s 例2 11双RC网络的结构图简化 特征式 所有单独回路增益之和 在所有互不接触的单独回路中 每次取其中两个回路增益乘积和 在所有互不接触的单独回路中 每次取其中三个回路增益的乘积之和 梅逊公式为 余因子式 即在信号流图中 把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的 值 2 6 0梅逊增益公式 选 其中 n 从输入节点到输出节点之前向通路总数 Pk 从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益 动画示例 2 5 1 2 5 3 例4 系统结构图 分别用等效变换和梅逊公式法求系统的闭环传递函数 解 2 梅逊公式法 系统有2条前向通道 5个回路 无不相交回路 1 输入信号作用下的闭环