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附录1 一些有用的数学结论1. 矢量关系矢量、为单位矢量，其方向分别为x、y、z三个坐标轴的正方向,如图B.1所示。 图B.1 单位矢量、在坐标轴上的正方向 任何矢量都可用这些单位矢量进行表示，例如矢量可以表示为 矢量的模为 设矢量为 则矢量的加减运算规则为 矢量的标量积(点乘)为 式中为矢量与之间的夹角。矢量的矢量积（叉乘）为 =（假设）矢量积的模为 式中为矢量与之间的夹角。矢量既垂直于也垂直于 ，形同下例 微分算子（del）在直角坐标系中表示为 该算子如同上面描述的矢量和一样，也可进行标量乘和矢量乘。假设为标量，则算子与的乘积即为的梯度（grad ） 矢量的散度定义为 矢量的旋度定义为 算子自身的标量乘为 在球形极坐标下，矢量被表述为 式中是指向r增加方向的单位矢量，是指向增加方向的单位矢量，是指向增加方向的单位矢量，如图B.2所示。 图B.2 坐标转换的示意在球形极坐标下，标量的梯度（grad ）被表述为 在球形极坐标下，矢量的散度和旋度被表述为标量三重积: 括号表示首先要进行矢量积，而后再求与的“点乘”。如果等于或，则标量三重积为零，这是因为所得的结果是一个既垂直于也垂直于的矢量，如果这个矢量再与或求标量积，则由于二者垂直，所以其结果为零。进一步地，对于任意矢量有 标量三重积中的矢量可以顺序交换位置而结果不变，即 =矢量三重积: 括号表示首先要进行的矢量积，而后再求与的“叉乘”。对于任意矢量有 矢量积分: 在各类相关教科书中都可以找到高斯（Gauss）积分定理和斯托克斯（Stokes）积分定理以及这些定理的证明，这里只引用其结论：（i）高斯（Gauss）积分定理散度定理 对于任意矢量C，有 式中是表面积s所包围的体积V中的体积元；是面积元ds上指向朝外的单位法向矢量。（ii）斯托克斯（Stokes）积分定理 对于任意矢量C，有 式中是面积s的边界所构成的闭合曲线上的线元；是面积元ds上指向朝外的单位法向矢量。2. 使用雅可比行列式进行坐标转换在第7章中，我们使用雅可比行列式将坐标下的体积元转换为坐标下的延迟体积元。下面以二维的情况为例介绍其转换过程，上撇号坐标系统将与坐标系统相对应。 (a) 坐标系 (b) 坐标系图B.3我们所需了解的问题是：微面积元如何与坐标系统中的面积元相对应？面积元中的直线对应于x-y平面上的曲线，例如 对应于 点的坐标是，该点对应于坐标中的点。假设当从点移动到点时, 仅仅在方向发生变化，这时有点的x坐标=x+仅仅在方向发生变化时x的变化量 =点的y坐标=y+仅仅在方向发生变化时y的变化量 =类似地，可以写出点s的坐标为 （，）三角形的面积可以根据其坐标用行列式进行表示，如三角形PSQ的面积为 用第二行减去第一行，并用第三行减去第一行，则行列式的值应保持不变。这时，三角形的面积
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